X4 16 решите уравнение

Обновлено: 28.06.2024

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями. Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> --> |x| или abs(x) - модуль x

Введите уравнение или неравенство с модулями
Решить уравнение или неравенство

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу. Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Уравнения и неравенства с модулями

В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что $ |x-a| $ - это расстояние на числовой прямой между точками x и a: $ |x-a| = \rho (x;\; a) $. Например, для решения уравнения $ |x-3|=2 $ нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: $ x_1=1 $ и $ x_2=5 $.

Второй способ
Преобразуем уравнение к виду 2|x – 2| + |x + 3| = 8. Переведём эту аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки М(х), которые удовлетворяют условию $ 2\rho(x; \;2)+ \rho(x; \;-3) =8 $ или
MA + 2MB = 8
( здесь A = A(–3), B = B(2) ).

Интересующая нас точка М не может находиться левее точки А, поскольку в этом случае 2MB > 10 и, следовательно, равенство MA + 2MB = 8 выполняться не может.
Рассмотрим случай, когда точка $ M_1(x) $ лежит между А и В. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(2 – х) = 8,
откуда находим: x = –1.
Рассмотрим случай, когда точка $ M_2(x) $ лежит правее точки B. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(х – 2) = 8,
откуда находим: х = 3.
Ответ: –1; 3.

Пусть теперь требуется решить неравенство $ |f(x)| |f(x)| $. Отсюда сразу следует, что $ g(x) > 0 $. Воспользуемся тем, что при $ g(x) > 0 $ неравенство $ |f(x)| 0, \\ -g(x) 0 \\ f(x) -g(x) \end\right. $

Третий способ.
Воспользуемся тем, что при $ g(x) > 0 $ обе части неравенства $ |f(x)| 0 \\ (f(x))^2 0 \\ x^2 - 3x + 2 -(2x - x^2) \end\right. $
Решая эту систему, получаем:
$ \left\<\begin x(x - 2) 0 \\ (x^2 - 3x + 2)^2 0 \end\right. \Rightarrow $
$ \left\<\begin 0 0 \end\right. \Rightarrow $
$ \left\<\begin 0 05 \end\right. $
Из последней системы находим: $ 05 g(x) $. Освободиться от знака модуля можно тремя способами.

Первый способ
Если $f(x) \geqslant 0$, то $ |f(x)| = f(x) $ и заданное неравенство принимает вид $ f(x) > g(x) $.
Если $f(x) g(x) $.
Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
$ \left\ f(x) \geqslant 0 \\ f(x) > g(x) \end\right. $ $ \left\ f(x) g(x) \end\right. $

Второй способ.
Рассмотрим два случая: $ g(x) \geqslant 0, \; g(x) g(x) $ выполняется для всех x из области определения выражения f(x).
Если $ g(x) \geqslant 0 $, то воспользуемся тем, что согласно утверждению 3) в самом начале данной теории неравенство $ |f(x)| > g(x) $ равносильно совокупности неравенств $ f(x) g(x) $.
Таким образом, заданное неравенство сводится к совокупности трёх систем:
$ \left\ g(x) g(x) \end\right. $

Третий способ.
Воспользуемся тем, что при $ g(x) \geqslant 0 $ неравенство $ |f(x)| > g(x) $ равносильно неравенству $ (|f(x)|)^2 > (g(x))^2 $. Это позволит свести неравенство $ |f(x)| > g(x) $ к совокупности систем:
$ \left\ g(x) (g(x))^2 \end\right. $

ПРИМЕР 5. Решить неравенство $ |x^2 - 3x + 2| \geqslant 2x - x^2 $

Первый способ
Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
$ \left\ x^2 - 3x + 2 \geqslant 0 \\ x^2 - 3x + 2 \geqslant 2x - x^2 \end\right. $ $ \left\ x^2 - 3x + 2 0 $, то заданное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$ \left[\begin x^2 - 3x + 2 \geqslant 2x - x^2 \\ x^2 - 3x + 2 \leqslant -(2x - x^2) \end\right. $
Таким образом, получаем совокупность неравенства и двух систем неравенств:
$ 2x - x^2 \leqslant 0; $ $ \left\ 2x - x^2 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 \geqslant 2x - x^2; \end\right. $ $ \left\ 2x - x^2 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 \leqslant -(2x - x^2) \end\right. $
Решив неравенство $ 2x - x^2 \leqslant 0 $, получим: $ x \leqslant 0,\; x \geqslant 2 $
Решив первую систему, получим: $ 0 0 $, то обе части заданного неравенства можно возвести в квадрат. Таким образом, получаем совокупность неравенства и системы неравенств:
$ 2x - x^2 \leqslant 0; $ $ \left\ 2x - x^2 > 0 \\ (x^2 - 3x + 2)^2 \geqslant (2x - x^2)^2 \end\right. $
Решив неравенство $ 2x - x^2 \leqslant 0 $, получим: $ x \leqslant 0,\; x \geqslant 2 $
Решая систему, получаем последовательно:
\( \left\ x(x - 2)

Дано уравнение
$$x^ = 16$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4] = \sqrt[4]$$
$$\sqrt[4] = \left(-1\right) \sqrt[4]$$
или
$$x = 2$$
$$x = -2$$
Получим ответ: x = 2
Получим ответ: x = -2
или
$$x_ = -2$$
$$x_ = 2$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^ = 16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^$$
подставляем в уравнение
$$r^ e^ = 16$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^ = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin <\left(4 p \right)>+ \cos <\left(4 p \right)>= 1$$
значит
$$\cos <\left(4 p \right)>= 1$$
и
$$\sin <\left(4 p \right)>= 0$$
тогда
$$p = \frac<\pi N>$$
где N=0,1,2,3.
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_ = -2$$
$$z_ = 2$$
$$z_ = - 2 i$$
$$z_ = 2 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_ = -2$$
$$x_ = 2$$
$$x_ = - 2 i$$
$$x_ = 2 i$$

Дано уравнение
$$x^ - 16 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4] = \sqrt[4]$$
$$\sqrt[4] = \left(-1\right) \sqrt[4]$$
или
$$x = 2$$
$$x = -2$$
Получим ответ: x = 2
Получим ответ: x = -2
или
$$x_ = -2$$
$$x_ = 2$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_ = -2$$
$$x_ = 2$$
$$x_ = - 2 i$$
$$x_ = 2 i$$

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, $ a \neq 1$, х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, $ a \neq 1$ равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 - 2 • 3 x - 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х - 2 , получаем 3 х - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 х - 2 • 25 = 25,
откуда 3 х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как $ 7^x \neq 0 $ , то уравнение можно записать в виде $ \frac = 1 $, откуда $ \left( \frac \right) ^x = 1 $, х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х - 4 • 3 х - 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x - 2 = 5 х + 2 х - 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 - 2 x - 2 = 5 х - 2 • 5 х - 2 , откуда
2 х - 2 (3 • 2 3 - 1) = 5 х - 2 ( 5 2 - 2 )
2 х - 2 • 23 = 5 х - 2 • 23
$ \left( \frac \right) ^ = 1 $
x - 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х - 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, $ 3 \neq 1$, то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 - 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a - заданное положительное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, $ a \neq 1$

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, $ a \neq 1$, не имеет корней, если $ b \leqslant 0$, и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Читайте также: