Свободные колебания системы с 2 степенями свободы уравнения движения и его решение

Обновлено: 04.07.2024

Свободные колебания системы с двумя степенями свободы

Рассмотрим малую вибрацию механической системы с 2 степенями свободы, подчиненную голономной идеальной связи и квазисвязи. Qb dg обозначает обобщенные координаты, определяющие положение системы в пространстве. Кинетическая энергия такой системы становится однородной формой обобщенной скорости 2-го порядка. г-г а я 2л л е. 1 В этой формуле коэффициенты Au, Aa, Lm являются функциями обобщенных координат. Положение устойчивого равновесия, при котором небольшие движения системы происходят вблизи, считается началом обобщенного coordinates. В положении равновесия все обобщенные координаты будут равны нулю. Разложим каждый коэффициент ряда Маклорина по степени обобщенных координат n.

Обобщенные координаты и скорости считаются малыми величинами, поэтому они ограничены первым членом разложения и для простоты указывают постоянные коэффициенты L 0 a , 3 Найти конечное выражение кинетической энергии системы 7 y и значения vc, vc, называются коэффициентами инерции. Если система движется в пределах потенциального силового поля, потенциальная энергия системы передается в ряд Маклорина n И. — Н 0 г, 1 г, т ю 2 О. 5 Поскольку выбор точки отсчета потенциальной энергии произволен, поместите потенциальную энергию системы в сбалансированное положение, равное нулю. П 0 0. 6 В положении равновесия все обобщенные силы исчезают.

В некоторых задачах динамики материальной точки и системы материальных точек можно значительно упростить решение путем применения так называемых общих теорем динамики. Людмила Фирмаль

Так, в разложении 5 терм с обобщенными координатами 1-го порядка исчезает. При этом потенциальная энергия системы совершает небольшое движение вблизи положения устойчивого равновесия и приобретает равномерную квадратичную обобщенную форму. Координаты —y КР сЧЧЧММ КР 8 Здесь для краткости показаны постоянные коэффициенты Коэффициенты Cs, Hz называются квазичастицами. Полученные значения кинетической энергии и потенциальной энергии вводятся в уравнение Лагранжа..

Из уравнения 13 следует отношение амплитуды СС—baats о — КГА, 1 Д СС- ААЦ-СС — АИ Определитель 14 представляет собой отношение между амплитудами, найденными независимо от 1-го и 2-го уравнений 13. таким образом, если условие 16 выполнено, то уравнение 13 имеет вид По ним можно определить только отношение амплитуд. Открыв определитель 14 или ia 15, мы находим частотное уравнение, или то, что называется вековым уравнением. птам-а 9 к — aishi а СС-2s1aa12 а УОНИ-ы, 0.

Поскольку исследуемое движение мало, то если корни этого уравнения положительны, то равновесие устойчиво. A 0, A 0. 17 если k или Aj отрицательны или сложны, то решение 12 содержит гиперболическую функцию, и движение вокруг положения равновесия не уменьшается. Если неравенство выполнено, то корни A и AJ будут положительными. Ря Оса афазия- и o СС 0, СС 0,ССС-С, 0. 1 5 Возможны 2 особых случая. Первый случай В этом случае гармоническая вибрация одинаковой частоты соответствует обеим координатам. 2-й случай Oufia — 0. 21 В этом случае 1 из корней частотного уравнения исчезает. После нахождения корней частотных уравнений Aj и Aj определяется основная вибрация системы.

Наряду с уравнением Лагранжа можно применить теорему общей динамики для формулировки дифференциального уравнения для малых колебаний в системе с 2 степенями свободы. При решении задач с изучением малых колебаний консервативной системы с 2 степенями свободы рекомендуется следующая последовательность действий Первый метод заключается в использовании уравнения Лагранжа. 1 Выберите обобщенные координаты Два 2 Создайте выражение кинетической энергии t 3 определить потенциальную энергию системы Р или рассчитать обобщенную силу. 4 получить систему из 2 дифференциальных уравнений малых колебаний путем введения уравнений и или обобщенных сил в уравнение Лагранжа.

Поиск конкретного решения для этой системы, подставляя конкретное решение для системы дифференциальных уравнений движения. 6 Убрав амплитуду колебаний из полученной системы алгебраических уравнений, вы найдете уравнение частоты. 7 после решения уравнения частоты определите собственную частоту системы. 8 вводя найденные частоты в конкретное решение, получаем формулу, описывающую 2 основных колебания. 9 добавьте уравнение основной вибрации для каждой обобщенной координаты, и вы найдете общее решение. 10 из начальных условий движения определить 4 произвольные константы.

При этом следует иметь в виду, что внешние и внутренние силы могут зависеть как от времени, так и от положений, скоростей и ускорений точек системы. Людмила Фирмаль

Суммируя уравнения главных колебаний каждой обобщенной координаты, находим общее решение системы. 7 определить любую интегральную постоянную, используя начальные условия движения. Задание 18.23.На абсолютно гладкой горизонтальной поверхности находятся 2 объекта, масса которых равна u и n. первый корпус прикреплен к стене пружиной, а его коэффициент жесткости равен cv а с По вопросу 18.23. Корпус крепится к первой пружине, коэффициент ее жесткости равен ct рисунок а. В положении, определить уравнение движения системы, если 2-й орган уведомляется о скорости Vf, когда обе пружины не растягиваются. Найдите собственную частоту системы. Решение. Система имеет 2 степени свободы.

Его местоположение можно определить по 2 обобщенным координатам. Первые обобщенные координаты определяют смещение первого объекта из первой позиции, а вторая обобщенная координата измер2 измеряет смещение второго объекта из первой позиции рисунок а. Примените уравнение Лагранжа, чтобы создать небольшое дифференциальное уравнение вибрации для системы. Найти выражение кинетической энергии системы Р-. 1 2 потенциальная энергия пружинного жабра Система состоит из потенциальной энергии Р С14. 41-41 2 2н2 2 потому что ft является продолжением первой пружины, а ft —ft является продолжением второй пружины.

Продолжайте составлять дифференциальные уравнения Лагранжа д дл ГЛ-ООН л ш — dqt DQL по Поскольку система имеет 2 степени свободы, 1, 2.С — Футовый 4 Тогда первое дифференциальное уравнение движения системы имеет вид Мл C191 Ки фунто-футов. Ы Мб г МЮ 1 5 6 Тогда двумерное дифференциальное уравнение движения можно описать как М — т фут -.фут. — 7 Таким образом, мы получаем систему из 2 дифференциальных уравнений 5 и 7 движения. Чтобы найти общий Интеграл этой системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, найдите конкретное решение в виде фут B грех т а, м Дсин а а. 8 Для этого введем значения 7 в формулы b и 8.

Уменьшив общий коэффициент sln W a Б-вст КТ Д-Б 0.1 ДК Т-КТ Д-В 0. 9 Эти 2 уравнения, 3 неизвестных, Б, D, и K. Из этих, коэффициент амплитуды определяется. Из первого уравнения мы узнаем Из 2-го уравнения В С 0 м с,-м Б-С Д-с У П Выровняйте правую часть последних 2 уравнений, и вы найдете уравнение. Где получено отношение частот сі с — OTife ы з, ы, — МДж 12 Из этого бикубического уравнения определяется собственная частота системы Г 4 O, 26 i i —г.. 14 Таким образом, есть 2 реальные частоты и kt. Учитывая линейность одновременных уравнений 5 и 7, общий Интеграл можно найти как сумму 2 частных решений 8, обусловленных частотой, амплитудой и начальной фазой.

Здесь модель QX грех к 4 ч, qт Ди греха кДж топор Объясняет первую крупную вибрацию системы 91-б, грех кДж а, ц ДФ грех кДж в — 2-й главный качели. Отношение амплитуд первого основного колебания, с другой стороны, определяется из 10 подстановкой fe Ax. 15 16 17 −5 54 1 — 18 Аналогично, мы получаем примерно 2-ю основную вибрацию о 9 Здесь вводится обозначение p1 p2 для brevity. So, общее решение 15 принимает вид ч Пксл х Sin кДж Х PjD2 грех кДж в, 1 92 D1sin А1 D1sin дя. Дж Любые константы Di, Dt, alt a2 определяются начальными условиями движения.

В зависимости от условия задачи при T 0 71 0 0 71 0 00 21 Вводя эти значения переменных в уравнение 20 P1D1 грех ИИ рао2 греха АА 0, грех ctj да грех АА 0 потому что а PiDj я, потому что а 0,со Dtkt косинус в ва, дж Здесь определяются все произвольные интегральные константы ai aa 0, то есть начальная фаза обоих главных колебаний равна нулю, а амплитуда главных колебаний равна N на е N РО 1 1 — Р1 Р1-Р. Согласно 20, движение системы представляет собой суперпозицию 2 гармонических колебаний различной частоты. Для составления дифференциальных уравнений движения, можно применить другой метод, используя установленные законы динамики.

Рассмотрим произвольное расположение системы, определяемое обобщенными координатами qlt qt рисунок B. Затем мы используем уравнение динамики массы и, учитывая упругую силу пружины, создаем дифференциальное уравнение для движения каждой нагрузки. Я Я вв в интернет -фифт М 1 — cllql-К1- 24 Эти уравнения совпадают с уравнениями 5 и 7, полученными с использованием уравнения Лагранжа.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Все характерные особенности малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы можно изучить, рассматривая систему. с двумя степенями свободы. Дальнейшее увеличение числа степеней свободы всегда приведет только к непринципиальному усложнению уравнений и не внесет каких-либо новых особенностей в исследование малых колебаний системы. Поэтому изучение малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы ограничим только изучением колебаний системы с двумя степенями свободы. Это ограничение представляет и чисто практический интерес, так как огромное число задач практики относится к системам с двумя степенями свободы.

Выражение кинетической, потенциальной энергии и функции рассеяния

Итак, рассмотрим малые движения голономной системы с идеальными стационарными связями, обладающей двумя степенями свободы. Обозначим обобщенные координаты системы соответственно через . Пусть на систему действуют консервативные силы и силы сопротивления среды, пропорциональные первой степени скорости. На основании результатов предыдущей главы кинетическую энергию системы Т, потенциальную энергию П и функцию рассеяния Ф запишем в виде:

Заметим, что в последних соотношениях принято, что

Как уже указывалось, по своему физическому смыслу кинетическая энергия Т и функция рассеяния Ф должны быть существенно положительными величинами. Далее, малые движения системы

рассматриваются вблизи положения устойчивого равновесия, от которого отсчитываются координаты и принято, что в этом положении Следовательно, во всех положениях системы, близких к равновесному, потенциальная энергия будет также существенно положительна. Условия положительности Т, П и Ф накладывают дополнительные ограничения на коэффициенты, определяющие их. Найдем эти условия для коэффициентов, определяющих Т. Для этого запишем Т в виде:

Из последнего равенства следует, что Т будет положительным при у положительном

представляет собой уравнение параболы. Чтобы у было положительно при всех х, нужно, чтобы эта парабола располагалась выше оси абсцисс. Для этого необходимо и достаточно существования мнимых корней уравнения

и условия, чтобы при каком-либо х, например при было положительно или

Решая последнее квадратное уравнение относительно х, найдем

Отсюда условие мнимости корней квадратного уравнения имеет вид:

Итак, условие того, что кинетическая энергия Т существенно положительна, накладывает на коэффициенты ограничения вида:

Проведя аналогичные рассуждения относительно потенциальной энергии П и функции рассеяния Ф, найдем условия, ограничивающие коэффициенты, определяющие эти функции вида:

Уравнения движения

Предполагая, что на систему, обладающую двумя степенями свободы, действуют помимо сил потенциального поля и сил сопротивления среды возмущающие гармонические силы, на основании результатов предыдущей главы уравнения, движения системы запишем в виде:

Теория свободных колебаний систем с несколькими степенями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены в § 21 одномерные колебания.

Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат , имеет минимум при . Вводя малые смещения

и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты и входят в (23,2) умноженными на одну и ту же величину , то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам

В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид

(см. (5,5)), полагаем в коэффициентах и, обозначая постоянные посредством , получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы

Коэффициенты тоже можно всегда считать симметричными по индексам

Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:

Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k, a k на i; учитывая при этом симметричность коэффициентов , получим:

Отсюда видно, что

Поэтому уравнения Лагранжа

Они представляют собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций в виде

где — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (23,6) в систему (23,5), получаем по сокращении на систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные :

Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель

Уравнение (23.8) - так называемое характеристическое уравнение представляет собой уравнение степени s относительно Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины называются собственными частотами системы.

Вещественность и положительность корней уравнения (23,8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у со мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат (23,6) (а с ними и скоростей ) экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии системы в противоречии с законом ее сохранения.

В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (23,7) на и просуммировав затем по получим:

Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов и , действительно,

Они также существенно положительны, а потому положительно

После того как частоты найдены, подставляя каждое из них в уравнения (23,7), можно найти соответствующие значения коэффициентов Если все корни характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты А пропорциональны минорам определителя (23,8), в котором и заменена соответствующим значением обозначим эти миноры через До. Частное решение системы дифференциальных уравнений (23,5) имеет, следовательно, вид

где — произвольная (комплексная) постоянная.

Общее же решение даетбя суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде

где мы ввели обозначение

Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собрй наложение s простых периодических колебаний с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общего интеграла (23,9) указывает путь к решению этой задачи.

В самом деле, рассматривая s соотношений (23,9) как систему уравнений с s неизвестными величинами мы можем, разрешив эту систему, выразить величины через координаты . Следовательно, величины можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальными колебаниями системы.

Нормальные координаты удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на s независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы.

Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот т. е. имеет вид

где — положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (23,9) обе квадратичные формы — кинетическая энергия (23,3) и потенциальная (23,2) одновременно приводятся к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь ) равенствами

Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (23,9), (23,10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль.

Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым ) входят в виде одинаково преобразующихся сумм то их можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.

Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных х, у, z, а кинетическая энергия

(m — масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда

и колебания вдоль осей х, у, z являются главными с частотами

В частном случае центрально-симметричного поля эти три частоты совпадают (см. задачу 3).

Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид

где лагранжева функция свободных колебаний.

Вводя вместо координат нормальные координаты, получим:

где введено обозначение

Соответственно уравнения движения

будут содержать лишь по одной неизвестной функции .

Задачи

1. Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если ее функция Лагранжа

(две одинаковые одномерные системы с собственной частотой связанные взаимодействием — ).

Решение. Уравнения движения

Подстановка (23,6) дает:

Характеристическое уравнение откуда

При уравнения (1) дают а при Поэтому

(коэффициенты соответствуют указанной в тексте нормировке нормальных координат).

При (слабая связь) имеем:

Изменение х и у представляет собой в этом случае наложение двух колебаний с близкими частотами, т. е. имеет характер биений с частотой (см. § 22). При этом в момент, когда амплитуда координаты х проходит через максимум, амплитуда у проходит через минимум и наоборот.

2. Определить малые колебания двойного плоского маятника (рис. 1).

Решение. Для малых колебаний найденная в задаче 1 § 5 функция Лагранжа принимает вид

После подстановки (23,6):

Корни характеристического уравнения:

При частоты стремятся к пределам и соответствующим независимым колебаниям двух маятников.

3. Найти траекторию движения частицы в центральном поле (так называемый пространственный осциллятор).

Решение. Как и во всяком центральном поле, движение происходит в одной плоскости, которую выбираем в качестве плоскости х, у. Изменение каждой из координат х, у — простое колебание с одинаковыми частотами :

где введены обозначения Определив отсюда и составив сумму их квадратов, получим уравнение траектории

Это — эллипс с центром в начале координат). При или я траектория вырождается в отрезки прямой.

Свободные колебания системы с двумя или несколькими степенями свободы

Две системы свободной вибрации Или какая-то степень свободы Две или три такие системы. Степень свободы, как уже говорилось выше, называется такой системой, в любой момент ее расположение можно определить по двум, трем и т. Каждый независимый параметр. 551 типичные вибрационные системы такого рода часто встречаются в машиностроении, валы с несколькими дисками (рис. 532), совершая крутильные колебания, балка с некоторой сосредоточенной

массой(рис. 533), делают боковую вибрацию, etc. В первом случае описывается движение Рис пятьсот тридцать два Рис пятьсот тридцать четыре < URL-адрес Продольное направление вала определяется углом поворота вокруг оси, а во-вторых-вертикальным движением массы, сосредоточенной в направлении, перпендикулярном оси балки. Например, если вы определяете движение массы как в линейном перемещении,

так и в угле поворота, на рисунке показана колебательная система, которая может Людмила Фирмаль

функционировать как схема кузова автомобиля. Пятьсот тридцать четыре Используя принцип Д’Аламбера, мы часто можем получить дифференциальные уравнения движения, как в случае систем с определенной степенью свободы. Мы думаем в системе координат x^z. уравнение равновесия, в результате которого L всех внешних сил, действующих на массу, возглавляется Y и Z Движение массы Т Рис пятьсот тридцать пять Но Таким образом, вдоль оси X, оси Y и оси, это необходимо применять инерционную силу. Силы инерции в направлении X, y, z равны соответственно — TX, — Tu, — Tg. Тогда уравнение движения будет X-mx=0, Y-Tu=0, Z-mz-0. (20.51) если система из нескольких масс считается свободной в пространстве,

то уравнение (20.51)должно быть записано для каждой массы системы. Далее рассмотрим применение принципа Д’Аламбера к уравнению движения колебательной системы (рис. 535, около), Две пружины с постоянными mt и t2 ′ и жесткими q и C2 из 552 двух масс. Предположим, что эти массы могут двигаться только горизонтально вдоль оси x без трения. Движение первой массы обозначается через XX, а второй-через x2. В процессе колебания массы ПА в качестве внешней силы возникает сила qxx натяжения внешней пружины и сила C2 (x2-x.) натяжения второй пружины. Сила

сопротивления игнорируется. Затем, используя принцип Д’Аламбера, уравнение движения первой массы Х-СПАСИБО-О Написание на бланке — +Автомат(Х2-1) — mixl=о, Или W1X1+W1-C2(2 — 1) = 0. (20.52) ПА массу Т2 действует только одна сила натяжения второй пружины-С2 (г-1), и уравнение движения выглядит так t2×2+м(Х2-ХХ)=0. (20.53) если система не имеет более двух смежных связанных масс, то уравнение движения для каждой из масс должно содержать три или более неизвестных координат, например, упругая сила пружины, действующая на массы I-io, полностью определяется перемещениями x, i, xt и x<+|. 535, б). При построении

дифференциальных уравнений движения можно использовать и другой метод. Фактически, учитывая одну и ту же колебательную систему, можно было бы предположить, что существуют две соединенные пружины(рис. 535, б), подвергаясь воздействию силы инерции — /WjXj и-t2×2, прикладываются к месту расположения удаленной массы (точки 1 и 2) соответственно. После этого первая пружина нагружается с усилием-tghg-а вторая-t2×2. В этом случае движение первой массы равно удлинению первой пружины, А движение второй массы определяется суммарным удлинением обеих пружин: слегка трансформируя последнее уравнение, мы, наконец, получаем XjQ+ ^11 + (20.54) + ^2 ( ^ л+ ^22) + ^ 1 ^ 2 = 0- (20.55)

Полученные уравнения движения (20.54) и (20.55) эквивалентны системе уравнений (20.52) Людмила Фирмаль

можно сказать, что в случае колебательного движения определитель указанной системы однородного уравнения относительно L равен нулю, в случае 7, 0 и x2 0. С1+С Г — » 1<2^2° C2 — после записи этого определителя в расширенной форме, после преобразования, вы получите CO4_?)С02+=0 \т х’t2j ’ т г Т2 Эта формула квадратна относительно CO2 и легко показать, что она имеет два реальных положительных корня: 2—л’|С2_ _ _ я Ф и С1+С2! V C1C2. г <2_ _ 1/su4

определяется соотношением X22= = if m, когда начальное условие выбрано как таковое, L12 Теперь=0 и выполняется вторая нормальная вибрация, которая объясняется формулой%12=l2sin (CO2^+a) 2); •^22 ″ ^22^*12 ((’)<2/ -p<x 2). (20.64) Обратите внимание, что собственные частоты, равные числу нормальных форм колебаний, согласуются с числом степеней свободы в колебательной системе, и две нормальные формы колебаний ортогональны. Установив общие принципы определения основных параметров вибрации упругой системы с рядом степеней свободы, можно сделать вывод, что наиболее важной и наиболее часто встречающейся в технике является вибрация.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: