Решение уравнения sin t a

Обновлено: 02.07.2024

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. М: Мнемозина, 2013.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник. М: Мнемозина, 2013.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий повышенного и высокого уровней сложности. Решения и комментарии: учебно-методическое пособие / Е.Н.Васильева, Л.С. Ольховая. – Ростов-на-Дону: Легион, 2014.

Организационный этап (1 минута)

Приветствие. Проверка присутствующих в классе.

Краткое повторение изученного материала, актуализация опорных знаний (5 минут)

Повторение способов решения уравнения вида sin t = a, (де а – действительное число), с помощью числовой окружности.

Решим уравнения: sin t = .

Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости (рисунок 1), получаем пару решений данного уравнения:

Введение проблемной ситуации: Любое ли тригонометрическое уравнение вида sin t = a можно решить с помощью числовой окружности? Как решать уравнение sin t = .

Оглашение темы урока и постановка целей (1 минута)

Сегодня мы с вами узнаем, как решать подобные уравнения, и как записывать решения подобных уравнений.

Тема сегодняшнего урока: «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

Сегодня на уроке мы введем понятие арксинуса; выведем общую формулу решения уравнения sin t = a; выработаем алгоритм решения данного уравнения.

Изучение нового материала (26 минут)

Давайте попробуем решить уравнение sin t = .

С помощью числовой окружности (рисунок 2) получим:

t = t ₁ + , t = t ₂ + .

где t ₁ – длина дуги АМ , а t ₂ – длина дуги АР (так как АР=АС-РС, АС=π, а РС=АМ , получаем что t ₂ = π- t ₁ ).

Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arcsin а . Читается: арксинус а («arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t ₁ и t ₂ записываются следующим образом:

t ₁ = arcsin , t ₂ = π – arcsin ..

Теперь с помощью этого символа корни уравнения sin t = а можно записать так:

Давайте попробуем ответить на вопрос: «Что же означает arcsin а ?»

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

Решим уравнение sin t = – .

С помощью числовой окружности (рисунок 3) и символа arcsin а получим:

Ответим на вопрос: «Что же означает arcsin ( - ) ?»

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен ( - ) и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.

Сформулируем определение арксинуса в общем виде:

Если , то arcsin а – это такое число из отрезка , синус которого равен а.

Заметим два обстоятельства:

Дуги АМ и А L равны по длине и противоположны по направлению, значит (рисунок 4)

АК=АС+СК=АС+ L А=

=АС-А L =π- arcsin ( - )

Обобщим полученные выше решения и запишем:

Если , то уравнение sin t =a имеет две серии решений:

Существует три частных случая, когда решения записывают более простым соотношением, они записаны на форзаце вашего учебника (рисунок 5).

Рассмотрим примеры на вычисление арксинуса.

Пример 1. Вычислите arcsin .

Значит, поскольку и Итак, arcsin =

Пример 2. Вычислите arcsin . .

Пример 3. Вычислите arcsin 0.

Отметим, что для любого а справедлива формула:

Две полученные выше формулы для решения уравнения можно объединить в одну общую формулу для решения уравнения sin t =a :

Обобщение изученного материала

Итак, давайте составим алгоритм решения уравнения вида sin t =a :

составить общую формулу;

вычислить значение arcsin a ;

подставить найденное значение в общую формулу

Пример 4. Решите уравнение sin t = .

Составим общую формулу решения:

Вычислим значение арксинуса:

Подставим найденное значение в формулы решений:

Пример 5. Решите уравнение sin t = .

Пример 6. Решите уравнение sin t = .

Пример 7. Решите уравнение sin t = - 1,2.

Домашнее задание

§16, с. 92 – 98. (изучить теоретический материал).

№ 16.2 (в,г) ,16.5 (в,г) , 16.6 (в,г)

Итоги урока

Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арксинуса; вывели общую формулу решения уравнения sin t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.

3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.

Конспект урока "Acrsin. Решение уравнений sint=a"

· познакомиться с понятием arcsin;

· вывести общую формулу решения уравнений вида sin t = a.

Прежде чем перейти к изучению нового материала, давайте выполним несколько упражнений.

Напомним ещё раз, что же называется arccos a.

Сегодня на уроке, мы познакомимся с понятием arcsin и научимся решать простейшие тригонометрические уравнения вида sin t = a, где а принадлежит промежутку [-1; 1].

Функцию arccos мы вводили как обратную функцию для функции cos t. Аналогично, введём функцию arcsin a. Для того, чтобы на некотором промежутке существовала обратная функция, необходимо, чтобы функция была непрерывна и монотонна на этом промежутке.

Давайте теперь сформулируем определение арксинуса в общем виде.

Обратите внимание, что арксинусом любого числа является угол.

Сформулируем основное свойство арксинуса.

Отметим важное равенство, связывающее arccos a и arcsin a, из промежутка [-1; 1].

Введённое понятие арксинуса, помогает решать уравнение вида sin t = a, где а не является табличным значением и принадлежит отрезку [-1; 1].

Решим уравнение sin t = a, модуль которого не превышает единицы в общем виде.

Рассмотрим частные случаи решения тригонометрического уравнения sin t = a.

Давайте ещё раз сформулируем алгоритм решения тригонометрических уравнений вида sin t = a.

Давайте рассмотрим более сложное уравнение и постараемся его привести к простейшему уравнению sin t = a.

Итак, в результате мы получили формулы корней для уравнений cos t = a и sin t = a, при условии, что модуль а не превышает единицы.

Переменную мы пока обозначали буквой t для удобства, подчёркивая тем самым, что вся информация получена с помощью числовой окружности. Но когда имеется готовая формула, переменная может быть обозначена любой буквой, в том числе более традиционной для уравнений буквой x. Так мы чаще всего и будем поступать при решении тригонометрических уравнений.

Определите правильный порядок действий для решения уравнений вида sin t = a .

Укажите порядок следования

1) определить выполняется ли условие \(\left|a\right|\le1\)

3) записать ответ.

4) если условие выполняется, то записать решение в общем виде

5) если arcsin a - табличное значение, то вычислить его

Вопрос 4

Какой угол t называется arcsin a

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

Вопрос 5

Выберите правильное окончание утверждения:

"Уравнения вида sin t = a . "

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

если \(\left|a\right|\le1\) , то имеют решения вида \(^<\left(-1\right)^k>\arcsin\ a+\pi k,\ k\in Z\)

если \(\left|a\right|\ge1\) , то имеют решения вида \(^<\left(-1\right)^k>\arcsin\ a+\pi k,\ k\in Z\)

если \(\left|a\right|\ge1\) , то не имеют решений

если \(\left|a\right|\le1\) , то не имеют решений

Вопрос 6

Какие из предложенных чисел являются решениями уравнения sin t = 1 ?

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = - 1, y ₂ = - 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

a sin x + b cos x = c ,

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Читайте также: