При каких значениях параметра p многочлен p2 4 x4 2x3 2p 1 x 6

Обновлено: 04.07.2024

Многочлен P_n (x) = a _n x n + a _{n – 1} x n – 1 + a _{n – 2} x n – 2 + . + a ₁ x + a ₀ , где a≠0, aₖ, k=0,1,2,3. aₖ,k=0,1,2,3. n - числа, x - переменная, называется многочленом n -ной степени .
Традиционно aₙ называется старшим коэффициентом, a₀ - свободным членом многочлена.

Стоит отметить, что каждый многочлен степени больше 2 можно разложить на множители.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен Р(а).

Следствие. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен

Рₙ(х)= a₀ x n + a ₁ x n – 1 + . + a _{n – 1} x + a _n делится без остатка на двучлен х-а.

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0,

где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнением над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса.

Мы рассмотрим многочлены одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Многочлен ax + b, где a≠0, a, b - числа, x - переменная, называется многочленом первой степени.
Многочлен ax²+bx+c, где a≠0, a, b, c - числа, x - переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).
Многочлен ax³+bx²+cx+d, где a≠0, a, b, c, d - числа, x - переменная, называется многочленом третьей степени.

Вообще, многочлен P_n (x) = a _n x n + a _{n – 1} x n – 1 + a _{n – 2} x n – 2 + . + a ₁ x + a ₀, где a≠0, aₖ, k=0,1,2,3. aₖ,k=0,1,2,3. n - числа, x - переменная, называется многочленом n -ной степени.
Традиционно aₙ называется старшим коэффициентом, а a₀ - свободным членом многочлена.

Стоит отметить, что каждый многочлен степени больше 2 можно разложить на множители.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида

где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

является алгебраическим уравнением четвертой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над множеством вещественных чисел.

Теорема Безу, невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов. В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен Р(а).

Доказательство. Разделим Р(х) c остатком на (x - а).

Получим Р(х)= (x - а)·Q(х) + R; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени (x - a), т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях R на самом деле является числом – нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство Р(х)= (x - а)·Q(х) + R значение x = a, мы получим Р(a)= (a - а)Q(х) + R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).

Эту закономерность отметил и математик Безу.

Следствие. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен

Рₙ(х)= a₀ x n + a ₁ x n – 1 + . + a _{n – 1} x + a _n делится без остатка на двучлен х-а.

Историческая справка

Этьенн Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьенна Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный "Курс математики", написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей. В элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

Примеры алгебраических уравнений

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Разложим на множители многочлен:

Ответ: ))

Решить уравнение: х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0.

Решение: Целые корни многочлена Р(х) = х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть числа -1, 1, 3, -3.

3.8. Используя данные, постройте эскиз графика функции f(x): а) функция на промежутке возрастает, на промежутке [1 2 б) функция на промежутках (-оо; … 1] и [3; +оо) возрастает, на про- межутке [1; 3] убывает; в) функция на промежутках (-оо; -4] и [1; +оо) убывает, на про- межутке [-4; 1] возрастает; г) х. = -1, x - 2, f(-1) = 2, f(2) = -3; д) f(x) четная функция, х = 1, f(0) = 4, f(1) = 0; e) f(x) нечетная функция, х = 5, f(0) = 2, f(5) = -3. max = min 0, x min max min

1) При каких значениях а корни уравнения
х 2 -2ах + (а + 1)(а - 1) = 0
принадлежат промежутку [-5; 5]?

2) При каких значениях р корни уравнения
х 2 -2(р + 1)х + р(р + 2) = 0
принадлежат промежутку [-1; 3]?

(1) х 2 -2ах+(а+1)(а-1) = 0
1) x 2 -2ах+a 2 -1 = 0

Ответ: при -4 ≤ а ≤ 4 .

Ответ: при -1 ≤ р ≤ 1.

Многочлен P_n (x) = a _n x n + a _{n – 1} x n – 1 + a _{n – 2} x n – 2 + . + a ₁ x + a ₀ , где a ≠ 0, a_k, k = 0,1, 2, 3. a_k, k = 0,1, 2, 3. n - числа, x - переменная, называется многочленом n - ной степени.

a_n - старший коэффициент,

a₀ - свободный член многочлена.

Каждый многочлен степени больше 2 можно разложить на множители.

Корнем Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен Р(а).

Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен

P_n(х) = a₀ x n + a₁x n – 1 + . + a_{n – 1} x + a_n делится без остатка на двучлен х-а.

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n) = 0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Многочлен P(x) и его корень. Алгебраическое уравнение

Докажем теорему Безу

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х - а) равен Р(а).

Доказательство. Разделим Р(х) c остатком на (x - а).

Получим Р(х) = (x - а) · Q(х) + R; по определению остатка, многочлен R либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени (x - a), т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях R на самом деле является числом – нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство Р(х) = (x - а) · Q(х) + R значение x = a, мы получим Р(a) = (a - а)Q(х) + R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).

Читайте также: