Найдите значение производной функции в указанной точке y arccos3 sin x

Обновлено: 02.07.2024

Месяц или 2 назад скачал крякнутую NeuroNative, там такие же странные задачи были, но с постепенным усложнением.

Суть в том, что ты вспоминаешь как можно было бы получить число справа, к примеру, 9 -- это три умножить на три.

Потом, смотришь, есть ли в последовательности участник получения, условно, девятки. К примеру, в последовательности 1, 2, 3 есть тройка.

Потом, смотришь, можно ли из оставшихся цифр получить других участников получения, условно, девятки. К примеру, можно ли из 1 и 2 получить тройку?

Иногда, оставались числа, которые мне были не нужны, и так как каждое следующее число больше предыдущего на 1, то на их разницу, к примеру на (-5+6), можно умножить всё остальное и тогда результат не изменится! Кроме того, из пары соседних чисел можно получить не только 1, но и -1, а если сложить 1 и -1, то получится ноль, сложение с которым тоже никак не повлияет на результат!

Такие задачи с подбором и угадыванием, очень похожи на то, чем занимаются хакеры, когда пытаются понять, куда в программу можно вставить свой код, не сломав её, или по какому адресу в памяти лежит доступ к нужной переменной, или к нужному функционалу.

$$- \frac <9 x^\operatorname^<\left (x \right )>> <\left(- x^+ 1\right)^>> \sin <\left (x \right )>+ \frac<18 x \operatorname<\left (x \right )>> <\left(x^- 1\right)^> \sin <\left (x \right )>- \frac<9 x \operatorname^<\left (x \right )>> <\left(- x^+ 1\right)^>> \cos <\left (x \right )>- \cos <\left (x \right )>\operatorname^ <\left (x \right )>- \frac<18 \operatorname<\left (x \right )>> \cos <\left (x \right )>+ \frac<9 \operatorname^<\left (x \right )>> <\sqrt<- x^+ 1>> \sin <\left (x \right )>- \frac<3 \operatorname^<\left (x \right )>> <\left(- x^+ 1\right)^>> \sin <\left (x \right )>- \frac> <\left(- x^+ 1\right)^>>$$

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> --> Введите выражение функции Найти производную функции f(x)

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу. Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Определение производной

Определение. Пусть функция $ y = f(x) $ определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку $ x_0 $. Дадим аргументу приращение $ \Delta x $ такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции $ \Delta y $ (при переходе от точки $ x_0 $ к точке $ x_0 + \Delta x $ ) и составим отношение $ \frac $. Если существует предел этого отношения при $ \Delta x \rightarrow 0 $, то указанный предел называют производной функции $ y=f(x) $ в точке $ x_0 $ и обозначают $ f'(x_0) $.

Для обозначения производной часто используют символ $ y' $. Отметим, что $ y' = f(x) $ - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией $ y = f(x) $, определенная во всех точках $x$, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции $ y = f(x) $.

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции $ y = f(x) $ в точке с абсциссой $ x=a $ можно провести касательную, непараллельную оси $y$, то $ f(a) $ выражает угловой коэффициент касательной:
$ k = f'(a) $

Поскольку $ k = tg(a) $, то верно равенство $ f'(a) = tg(a) $ .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция $ y = f(x) $ имеет производную в конкретной точке $ x $:
$$ \lim_ \frac = f'(x) $$
Это означает, что около точки $x$ выполняется приближенное равенство $ \frac \approx f'(x) $, т.е. $ \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x $.
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке $x$.
Например, для функции $ y = x^2 $ справедливо приближенное равенство $ \Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $. Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение $ x $, найти $ f(x) $
2. Дать аргументу $ x $ приращение $ \Delta x $, перейти в новую точку $ x+ \Delta x $, найти $ f(x+ \Delta x) $
3. Найти приращение функции: $ \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Составить отношение $ \frac $
5. Вычислить $$ \lim_ \frac $$
Этот предел и есть производная функции в точке $x$.

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в точке $x$, то ее называют дифференцируемой в точке $x$. Процедуру нахождения производной функции $y=f(x)$ называют дифференцированием функции $y=f(x)$.

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x$. Тогда к графику функции в точке $ M(x; \; f(x)) $ можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен $ f'(x) $. Такой график не может «разрываться» в точке $M$, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке $x$.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x$, то выполняется приближенное равенство $ \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x $. Если в этом равенстве $ \Delta x $ устремить к нулю, то и $ \Delta y $ будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция $ y=|x|$ непрерывна везде, в частности в точке $x=0$, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция $ y=\sqrt[3] $ непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке $x=0$. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке $x=0$. Но в этой точке касательная совпадает с осью $y$, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид $x=0$. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и $ f'(0) $

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если $C$ — постоянное число и $ f=f(x), \; g=g(x) $ — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> --> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что $ -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 $. Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где $ |a| \leqslant 1 $, имеет на отрезке $ 0 \leqslant x \leqslant \pi $ только один корень. Если $ a \geqslant 0 $, то корень заключён в промежутке $ \left[ 0; \; \frac<\pi> \right] $; если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что $ -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 $. Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где $ |a| \leqslant 1 $, на отрезке $ \left[ -\frac<\pi>; \; \frac<\pi> \right] $ имеет только один корень. Если $ a \geqslant 0 $, то корень заключён в промежутке $ \left[ 0; \; \frac<\pi> \right] $; если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале $ \left( -\frac<\pi>; \; \frac<\pi> \right) $ только один корень. Если $ |a| \geqslant 0 $, то корень заключён в промежутке $ \left[ 0; \; \frac<\pi> \right) $; если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) - 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 - sin 2 (х), получаем
2 (1 - sin 2 (х)) - 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) - 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y - 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = - 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; $ x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> + \pi n, \; n \in \mathbb $
Ответ $ x = (-1)^n \frac<\pi> + \pi n, \; n \in \mathbb $

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) - 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 - sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) - 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) - 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 - 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

1) $ sin(6x) = 1 \Rightarrow 6x = \frac<\pi> +2\pi n \Rightarrow x = \frac<\pi> +\frac<\pi n>, \; n \in \mathbb $
2) $ sin(6x) = \frac<1> \Rightarrow 6x = (-1)^n \text \frac<1> +\pi n \Rightarrow $
$ \Rightarrow x = \frac \text \frac<1> +\frac<\pi n>, \; n \in \mathbb $
Ответ $ x = \frac<\pi> +\frac<\pi n>, \;\; x = \frac \text \frac +\frac<\pi n>, \; n \in \mathbb $

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) - 2 = 0

Используя формулы $ \sin(x) = 2\sin\frac \cos\frac, \; \cos(x) = \cos^2 \frac -\sin^2 \frac $ и записывая правую часть уравпения в виде $ 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac + \cos^2 \frac \right) $ получаем

$ 4\sin\frac \cos\frac + \cos^2 \frac - \sin^2 \frac = 2\sin^2 \frac + 2\cos^2 \frac $

Поделив это уравнение на $ \cos^2 \frac $ получим равносильное уравнение $ 3 \text^2\frac - 4 \text\frac +1 = 0 $
Обозначая $ \text\frac = y $ получаем уравнение 3y 2 - 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

1) $ \text\frac = 1 \Rightarrow \frac = \frac<\pi> +\pi n \Rightarrow x = \frac<\pi> +2\pi n, \; n \in \mathbb $
2) $ \text\frac = \frac \Rightarrow \frac = \text\frac +\pi n \Rightarrow x = 2 \text \frac +2\pi n, \; n \in \mathbb $
Ответ $ x = \frac<\pi> +2\pi n, \;\; x = 2 \text \frac +2\pi n, \; n \in \mathbb $

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях $ a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 $ можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на $ \sqrt $:

Введём вспомогательный аргумент $ \varphi $, такой, что Таким образом, уравнение можно записать в виде
$ \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = \frac> $
откуда Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вспомогательного угла.

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, $ \sqrt = 5 $. Поделим обе части уравнения на 5:

$ \frac<4>\sin(x) + \frac\cos(x) = 1 $
Введём вспомогательный аргумент $ \varphi $, такой, что $ \cos \varphi = \frac<4>, \; \sin \varphi = \frac $ Исходное уравнение можно записать в виде
$ \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = 1, \;\; \sin(x+\varphi) = 1 $
откуда

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) - sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) - sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x - 1) = 0

2) $ 2 \cos(x) -1 =0, \; \cos(x) = \frac12, \; x = \pm \frac<\pi> +2\pi n, \; n \in \mathbb $

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х - х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Заметим, что числа $ \pi n $ содержатся среди чисел вида $ x = \frac<\pi n>, \; n \in \mathbb $
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) - sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 - sin 2 (x) - sin 2 (x), cos(2x) = 1 - 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 - cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 - cos(2x)) + 2 (1 - cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

Читайте также: