В шаре радиусом 2 провели сечение чему равен радиус сечения если оно
Обновлено: 05.07.2024
19.1. Определения шара, сферы и их элементов
С шаром и сферой мы уже знакомы. Напомним их определения.
Определение. Сферой называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, равном данному R. Данные точка и расстояние R называются соответственно центром и радиусом сферы.
ЗАДАЧА (3.106). Найти в пространстве множество вершин всех прямых углов, опирающихся на данный отрезок АВ.
Следовательно, площадь полной поверхности пирамиды равна
Также говорят, что плоскость касается сферы (шара) .
Справедливо и обратное: если прямая a касается окружности большого круга сферы в точке М , то эта прямая касается в точке М самой сферы.
Для плоскости, касательной к сфере, справедливы теоремы, аналогичные теоремам о прямой, касательной к окружности на плоскости.
Теорема 31. Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Справедлива обратная теорема.
Теорема 32. Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она касается сферы.
Так как сечение шара плоскостью есть круг, то можно доказать, что для шара выполняются следующие метрические соотношения:
— диаметр шара, делящий его хорду пополам, перпендикулярен этой хорде;
Цилиндр при этом называют вписанным в шар. Около любого цилиндра можно описать шар. Центром шара служит середина оси цилиндра, а радиус шара равен радиусу круга, описанного около осевого сечения цилиндра.
Конус при этом называют вписанным в шар.
Центр шара, описанного около конуса, совпадает с центром круга, описанного около осевого сечения конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.
Определение. Шар называется вписанным в конус, если основание и все образующие конуса касаются шара.
Определение. Шар называется вписанным в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
При нахождении радиуса r вписанного в многогранник шара (если таковой существует) удобно пользоваться соотношением
Не около всякого многогранника можно описать шар. Например, около любой правильной или любой треугольной пирамиды шар описать можно, а около четырёхугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом, шар описать нельзя (около ромба нельзя описать окружность). Более того, нельзя описать шар около любой наклонной призмы.
Вообще, для того чтобы около многогранника можно было описать шар, необходимо, чтобы около любой его грани можно было описать круг. При этом центр описанного шара может лежать как внутри многогранника, так и вне его или на его поверхности (даже на ребре многогранника), и проектируется в центр описанного около любой грани круга. Кроме того, перпендикуляр, опущенный из центра описанного около многогранника шара на ребро многогранника, делит это ребро (как хорду шара) пополам.
Мы уже говорили о пирамидах, все рёбра которых одинаково наклонены к основанию. Около таких пирамид всегда можно описать шар, центр которого лежит на луче, содержащем высоту пирамиды.
Высота h пирамиды, радиус R к описанного около основания пирамиды круга и радиус R описанного около этой пирамиды шара связаны соотношением:
Приведём формулы для вычисления радиусов вписанных и описанных шаров для правильных многогранников с ребром a.
19.7. Площади поверхностей шара и его частей
На рисунке 214 изображены различные элементы шара и сферы (шаровой сектор имеет простейший вид).
Рассмотрим вопрос о вычислении площадей сферы, сегментной поверхности, шарового пояса и шарового сектора.
Поверхность Ф является объединением поверхностей, образованных вращением звеньев ломаной линии, вписанной в полуокружность, вокруг её диаметра. Этими поверхностями являются боковые поверхности либо конуса (для первого и последнего звеньев ломаной), либо цилиндра (для звеньев, параллельных оси вращения; их может и не быть), либо усечённого конуса (для всех остальных звеньев ломаной).
Проделайте эти рассуждения самостоятельно.
Решени е. Решим эту задачу двумя методами.
Центр О сферы равноудалён от всех вершин △ АBС, поэтому принадлежит прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС.
△ SLC (по теореме косинусов):
Плоскость CSL проходит через центр О сферы, следовательно, пересекает сферу по большой окружности, которая описана около △ CSL. Значит, радиус R этой окружности равен радиусу сферы, описанной около данной пирамиды. Найдём длину радиуса R.
Находим площадь Q сферы:
В этой системе координат вершины основания пирамиды имеют координаты: А (0; 0; 0), B (2; 2 ; 0), C (4; 0; 0).
Решая систему уравнений
Таким образом, вершина S имеет следующие координаты:
S .
После вычитания третьего уравнения системы из первого её уравнения получаем:
Будем пересекать наши фигуры плоскостями, параллельными данным плоскостям и удалёнными от центра шара на расстояние x (0 ⩽ x ⩽ R ).
Мы показали, что в шаре радиуса R объём любого шарового сегмента высоты h может быть вычислен по формуле:
или в другом виде
Выведем теперь формулу для вычисления объёма шарового сектора.
Отметим, что объём шарового слоя с радиусами оснований r 1 и r 2 и высотой Н вычисляется по формуле
В правильном △ AВС со стороной 2 R имеем:
Тогда в прямоугольном △ AРP 2 :
или после элементарных преобразований:
Задания для работы с интернет-ресурсами
1. Посмотрите в Интернете и отберите рисунки по темам: «Тело вращения», «Поверхность вращения». Они помогут вам при построении рисунков к решению задач.
2. Сравните материалы Интернета и учебника по темам: «Цилиндр», «Конус», «Цилиндрическая и коническая поверхности вращения», «Касательная плоскость к цилиндру и конусу», «Формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра и конуса», «Формулы для вычисления объёма цилиндра и конуса», «Развёртки цилиндра и конуса», «Модели цилиндра и конуса». Что нового вы узнали из Интернета?
3. Вы узнаете много нового и интересного о замечательных кривых, сделав запрос в Интернете по темам: «Сечения цилиндра и конуса плоскостью», «Кривые второго порядка», «Конические сечения».
4. Найдите рисунки по темам: «Призма, вписанная в цилиндр и описанная около цилиндра», «Пирамиды, вписанные в конус и описанные около конуса». Удачные рисунки скопируйте в «Избранное» или в «Картотеку», чтобы можно было ими пользоваться при решении задач.
5. Найдите в Интернете теоремы о параллельных сечениях конуса. Посмотрите рисунки усечённых конусов. Найдите формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей усечённого конуса и его объёма.
7. Найдите в Интернете формулы для вычисления площадей сферы, сегментной поверхности, шарового пояса, поверхности шарового сектора, объёмов шара, шарового сегмента, шарового сектора, шарового слоя.
8. Обратите особое внимание на материал: «Шары и сферы, вписанные в двугранный угол и многогранный угол», «Шары и сферы, вписанные в многогранники (особенно в правильные многогранники) и описанные около них», «Шары и сферы, вписанные в цилиндр, конус и описанные около них».
9. Посмотрите рисунки и материалы по темам: «Комбинации геометрических тел», «Комбинации геометрических фигур в окружающем нас мире, в архитектуре». Тем, кто интересуется черчением и графикой, предлагаем найти статьи: «Техническое черчение: цилиндр и конус», « Пересечение двух цилиндров с перпендикулярными осями», «Резьбы и резьбовые соединения», «Цилиндрическая винтовая линия».
Вопросы для самооценки
1. Оцените результаты изучения этой главы. Довольны ли вы ими?
2. Что нового вы узнали в этой главе?
3. Как могут пригодиться вам эти знания в повседневной жизни?
4. Какие задания в этой главе были для вас самыми трудными? Почему?
5. Использовали ли вы при выполнении заданий дополнительные источники: справочники, пособия, интернет-ресурсы?
Читайте также: