Sin 2 5x как разложить

Обновлено: 02.07.2024

Данный калькулятор предназначен для построения графиков функций онлайн.
Графики функций – это множество всех точек, представляющих геометрический вид функции; при этом x – любая точка из области определения функции, а все y - точки, равные соответствующим значениям функции. Другими словами, график функции y=f(x) является множеством всех точек, абсциссы и ординаты которых соответствуют уравнению y=f(x).
Изобразить график функции абсолютно точно в большинстве случаев невозможно, так как точек бесконечно много, трудно найти все точки графика функции. В таких случаях можно построить приблизительный график функции. Чем больше точек берется в расчет, тем график более точный.

Данный сервис дает возможность провести исследование графика функции наиболее точно, так как программа строит график функции онлайн в прямоугольной системе координат на определенном интервале значений с учетом максимального количества точек. Также можно построить несколько графиков функций в одной координатной плоскости. Подробная инструкция с примерами по вводу исходных данных представлена ниже.

$\left(a=\operatorname<const></p> <p> \right)$

Сервис поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции на отрезке \right]" />
нужно написать в строке: f[x],. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты был конкретным, например \right]" />
, нужно ввести: f[x],,.

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],.

Для того, чтобы построить график функции на прямоугольнике \right],y \in \left[ \right]" />
, нужно написать в строке: f[x, y],,. К сожалению, диапазон изменения аппликаты пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Возведение в степень. Формула Муавра

При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример . Найти
Решение.

Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i) 988 . Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень:
(1+i) 2 = 2i , а затем 2i 988/2 = 2i 494 = 2 494 i 494 = 2 494 (-1) 247 = -2 494

abs - модуль комплексного числа |z| . Пример: abs(-5.5-6.6i)
arg - аргумент комплексного числа φ . Пример: arg(5.5+6.6i)

Пример №1 . Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z=-1-4i

2. Находим показательную форму комплексного числа

Пример №2 . Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.

Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е. или x 2 +y 2 =4
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему из двух уравнений:
x 2 +y 2 =4

Выразим и подставим в первое выражение:

Поскольку , то получаем:
или или .

Таким образом, из выражения можно сразу было получить:
,

Преобразуйте в произведение sin^2(5x)-sin^2(3x)

Задача. Два небольших тела движутся вдоль одной прямой так, что их координаты изменяются согласно уравнениям x1=10+5t-4t2 и x2=-26-t+2t2. Описать движ … ение тел. Сделать схематичный рисунок, направив ось ОХ горизонтально влево. Построить графики зависимости проекций скоростей тел от времени. Определить место и время встречи тел.

ПРОШУ СРОЧНО ПОМОГИТЕ Найдите путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от t = 0 до t = 4, если скорость ее движения меняется по зак … ону: V = Rt + а корень t

Найдите значение выражения: а)-3√0,49+√(3^(2 ) ) .б) 2х-1, при х=-3 пожалуйста помогите

106 Раскройте скобки: а) x+(b+c+d-т); б) a-(b-c-d); В) x+y=(b+c— т); г) x+(a+b)=(c+d).СРОЧНО ПЖ.

Разложение в ряд Тейлора

Если для некоторого значения х r_n→0 при n→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции

Логарифмические функции
, -1<x<1 , R = 1

Биномиальные ряды
.

Пример №1 . Разложить в степенной ряд функцию f(x)=2 x .
Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0
f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;
f'(x) = 2 x ln2, f'(0) = 2 0 ln2= ln2;
f''(x) = 2 x ln 2 2, f''(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x<+∞.

Пример №2 . Написать ряд Тейлора по степеням (х+4) для функции f(x)=e x .
Решение. Находим производные функции e x и их значения в точке х=-4.
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f'(x) = е x , f'(-4) = е -4 ;
f''(x) = е x , f''(-4) = е -4 ;
…
f ( n ) (x) = е x , f ( n ) ( -4) = е -4 .
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -∞<x<+∞.

Пример №3 . Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),
( т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х=1).
Решение. Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f'(1)=1, f''(1)=-1, f'''(1)=1*2. f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,

Ряд сходится, если ½х-1½<1, т.е. при 0<x<2. При х=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Пример №4 . Разложить в степенной ряд функцию .
Решение. В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞<x<∞

Пример №5 . Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение. Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х , получим:

Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание.
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример №5а . Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , далее разложим дробь с помощью сервиса.
на элементарные:

Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с областью сходимости |x| < 1/3.

Пример №6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3<x-3<3 , 0< x < 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Пример №7 . Написать ряд Тейлора по степеням ( х -1) функции ln(x+2) .
Решение.

Ряд сходится при , или -2 < x < 5.

Пример №8 . Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Решение. Сделаем замену t=х-2 :

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π /₄t, получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π /₄t<+∞, т.е. при (-∞<x<+∞).
Таким образом,
, (-∞<x<+∞)

Действия с комплексными числами

z₂=-1-i
Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)

Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)

Умножение комплексных чисел

Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)

Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:

Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i) .

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена.
если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: a<c<x (или x<c<a).

Пример №1 . Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Решение. Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример №2 . Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.

так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.

Комплексные числа

Комплексное число должно быть представлено в алгебраическое форме z=x+i*y .

Правила ввода функции

Все математические операции выражаются через общепринятые символы + , - , * , / .
Примеры
≡ 1/2+sqrt(3)*I

Если 0 ≤ arg z ≤ 2π:

Читайте также: