Как записать sin 2 x в c

Обновлено: 01.06.2024

Постановка задачи. Вычислить значение тригонометрической функции sin(x) от произвольного значения аргумента x.

Вариант решения 1. Поищем готовый вариант решения. Тригонометрия – раздел математики. Предположим, что в библиотеке System реализован класс, связанный с математическими функциями (в библиотеках прежних языков всегда была функция извлечения квадратного корня из числа – sqrt()). Как же узнать название класса?

Воспользуемся интеллектуальной подсказкой. Внутри метода Main() консольного приложения наберем одну букву M в английской раскладке. В выпадающем меню выберем класс Math (по-английски математика – Mathematics или maths). Наведя мышкой на это слово, прочитаем:
«class System.Math. Предоставляет константы и статические методы для тригонометрических, логарифмических и иных общих математических функций».
Мы почти у цели.

Программа, реализующая вычисление sin(a), угол а задан в градусах, представлена ниже:

Результат выполнения программы:

Вариант решения 2.

Заглянем в справочник по высшей математике, раздел «Ряды». Из него мы узнаем, что функция sin(x) может быть представлена бесконечным рядом:

В теории, вы скажете все красиво, но бесконечный ряд – это бесконечное время вычислений, кроме того, возможно переполнение при возведении в степень и вычислении знаменателя.

То есть каждый следующий член ряда будет вносить в сумму все меньший и меньший вклад, поэтому можно использовать столько членов ряда, сколько нужно для достижения заданной точности вычислений. Например, если n=9, то | r₁₁ / r₉ | <=1/110 (более чем в 100 раз).

Что следует предпринять, если |x| >> 1 (много больше 1), ведь в этом случае наш критерий работать не будет? Тут пригодится знание такого свойства функции sin(x) как периодичность. Для угла x, заданного в радианах:
sin(x+2πk) = sin(x), где k – любое целое число, 0, ±1, ±2, ±3, … .
Для угла а, заданного в градусах:
sin(a+360°·k) = sin(a), где k – любое целое число.
Таким образом, если угол х по модулю не будет больше 2π, |x|<=2π, то тогда оценка отношения двух соседних членов ряда не превысит:
|r_n₊₂ / r_n | = 4π 2 / ((n+2)(n+1))
т.е., начиная с n=7 убывание гарантировано.

Наша функция, также как и библиотечная, получает на вход значение угла в радианах и возвращает значение sin(x). Тип аргумента и самой функции задан как double. Приступим к разработке начинки метода Sin2() – блока в фигурных скобках.

Решение

sin2x= 2*sinx*cosx , просто нужно выразить отношение для угла .

Wolfrahm101101, Имхо, там не двойной угол, а квадрат синуса. Его можно выразить через косинус двойного, но, кажется, суть вопроса не в этом.

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Вычислить первое из чисел sin(x), sin(sin(x)), sin(sin(sin(x))), . , меньшее по модулю 10^-4
1)Вычислить y - первое из чисел sinx, sin sinx,sin sin sinx. меньшее по модулю 10^-4 .

Вычислить у - первое из чисел sin х, sin sin x, sin sin sin x, ., меньшее по модулю 10-4
Вычислить у - первое из чисел sin х, sin sin x, sin sin sin x, . меньшее по модулю 10-4 Видел.

Для заданных n и x посчитать выражение s=sin x+sin sin x+. +sin sin sin. sin x
Для заданных n и x посчитать выражение s=sin x+sin sin x+. +sin sin sin. sin x (n раз).

Как записать sin^2 x

Цикл: Вычислить значение контрольной суммы sin(x)/1 + sin(2x)/2 + . + sin(n*x)/n.
Задача вычислить значение контрольной суммы sin(x)/1 + sin(2x)/2 + . + sin(n*x)/n Код получился.

Пример

Давайте для примера возьмём разложение 4+4+3, а потом обобщим.

Итак, задача: вычислить значение sin x для произвольного x .

Шаг 1. Приведём аргумент x к нашей шкале, поделив его на константу pi/4 (назовём его x' ).

Шаг 2. В зависимости от значения аргумента x' используя формулы (1) выберем нужную функцию таким образом, чтобы аргумент её был в диапазоне от 0 до 1 (включительно) (назовём x'' . На этом шаге также нужно будет отметить знак получаемого результата.

[предположим для примера, что получился синус]

Шаг 3. Воспользуемся таблицами (напомню, что их 3), при этом индексами в таблице будут "битовые поля" в двоичном представлении аргумента x'' — первые 4 бита после запятой, потом ещё 4, и ещё 3, а оставшиеся не при делах биты пойдут в остаток.

Табличные синус назовём S1, S2, S3, табличные косинусы — C1, C2, C3.

Поскольку угол мы делили на pi/4 , то чтобы получить остаток в радианах, его надо умножить на эту же величину. "Битовый" остаток, умноженный pi/4 , обозначим как A. Тогда его синус будет равен A, а косинус — 1.

Шаг 4. Объединяем всё, что получилось:

|sin x| = S123 + C123 A (если на шаге 2 получили синус)
|sin x| = C123 - S123 A (если на шаге 2 получили косинус)

Шаг 5. Если на шаге 2 мы сочли, что результат должен получиться отрицательным, то этот минус надо ввести в результат.

Применение

Предположим, что мы работаем с числами одинарной точности IEEE-754 они имеют имена float, single и т.п. В мантиссе 23 знака, значит нам надо получить относительную погрешность 2^-23 .
Давайте оценим, как глубоко надо опуститься, чтобы построить таблицы аргументов.

Для синуса будем отбрасывать кубический член, поэтому нам нужно, чтобы его отношение к линейному было меньше чем допустимая погрешность, откуда выходит, что: 1 - (x - x^3/3!) / x = x^2/6 должно быть меньше 2^-23, откуда следует, что для аргументов не более чем 0.000846 радиана нам достаточно точности приближенного вычисления для синуса. Для косинуса, если отбрасывать квадратичный член, нужна точность примерно в 2 раза лучше — 0.000488 радиана.
Итак, нам не надо иметь табличные значения для аргумента меньше чем 0.000488 радиана.

Для построения таблицы перенормируем входной аргумент так, чтобы значению 0 соответствовал угол 0°, а для значения 1 — угол 45°, или pi/4=0.78539816 радиан. Тогда минимальный угол, полученный выше, будет пересчитан в 0.0006217 радиан, или примерно 1/1600 — это больше чем 1/2048 = 2^-11 .

Дальше нужно будет выбрать шаг таблиц исходя из того, как мы хотим распределить вычисления, показатель степени 11 мы разделим на несколько частей. Например, можно разбить его на две части: 11=6+5, тогда нам понадобятся две таблицы размером 64 и 32 записи (итого 96), или на три части: 11=4+4+3 (размер таблиц 16+16+8=40 записей), но будет больше операций умножения — конкретный выбор будет зависеть от задачи и располагаемых ресурсов.

Ремарка: запись в таблице — это пара синус и косинус аргумента. Если храним с одинарной точностью, то размер записи 8 байт.

как записать на языке си , sin квадрат 2х

Да вы что, совсем? Особенно, если квадрат, то только так:

Процессор в среднем может перемножать числа по две штуки за такт (т.е. 3,6 миллиардов за 1 секунду на 1,8ГГЦ процессоре).
А вот функция Pow использует формулу: , а, как известно, логарифмы очень не тривиально считаются.

Надеюсь, я вас убедил использовать функцию pow только в случае рациональных чисел.

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Как записать sin^2 x
Как записать в С++---- sin2(х) - 2a?

Математика

Давайте вспомним некоторые простые формулы из школьного курса.

Начнём с простых:
(1)

sin x = cos (90° - x)
cos x = sin (90° - x)
sin -x = -sin x
cos -x = cos x
В общем случае sin (90°N ± x) = ±cos x для нечётных N и ±sin x для чётных. Знак берётся исходя из знака аргумента в соответствующей четверти круга.

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - .
cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - .

Косинус/синус любого угла может быть приведён к аргументу в диапазоне от 0° до 45°, используя формулы первой группы.

Для малых углов тригонометрические функции могут быть сведены к асимптотическим разложениям, если отбрасываемые члены заведомо выходят за разрядную сетку.

Все промежуточные углы могут быть получены суммированием больших углов с некоторым шагом (а для них тригонометрию можно считать таблично), и остатков, которые рано или поздно дадут линейное разложение.

Заключение

Аналогичный подход может использоваться как для вычисления в вещественных числах любого размера, так и, например, для реализации специализированной арифметики с фиксированной запятой. Собственно, в своё время именно последняя задача меня и сподвигла поковыряться в эту сторону, но это было давно.

Ещё немного о тригонометрии в вычислениях

На Хабре было уже много статей, посвящённых быстрым вычислениям тригонометрии, когда сильно надо, но я хотел бы дополнить их одной небольшой заметкой с отсылкой к школьной тригонометрии.

Иногда может не быть аппаратной реализации тригонометрии, иногда могут быть иные причины, чтобы изобретать методы ускорения вычисления.

Читайте также: