Как найти sin b в прямоугольном треугольнике
Обновлено: 07.07.2024
Две стороны, которые образуют этот прямой угол назвали катетами.
Третью сторону назвали гипотенузой.
В прямоугольном треугольнике кроме прямого угла есть еще два угла, они острые.
Если взять длину катета, который находится напротив острого угла треугольника (назовем этот угол А) и разделить ее на длину гипотенузы -- то вот это отношение назвали синусом угла А
sinA = противолежащий углу А катет / гипотенуза
А косинусом назвали отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
cosA= катет, прилежащий к углу А / гипотенуза.
Если ты знаешь длины сторон прямоугольного треугольника, ты можешь найти эти отношения, разделить тот или другой катет на гипотенузу.
Это и будет sin или cos. Назвали их так, для краткости. Чтобы не говорить длинное предложение : отношение прилежащего к углу А катета к гипотенузе. Короче ведь сказать или написать ---cosA
Всё! Свои слова кончились :)
Косинус и синус это числа, которые получаются, если разделить одну сторону треугольника на его самую большую сторону. В прямоугольном треугольнике она находиться напротив угла 90Своими словами - это в любви объясняться. а в определении понятий таких важных нужны строгость и четкость.
для каждого острого угла один из катетов является ПРОТИВОлежащим. другой-ПРИлежащим.
отношение ПРО к Гипотенузе это синус
отношение ПРИ к гипот. это косинус того же угла
отношение ПРО к ПРИ - это ТАНГЕНС.
тангенс определяется еще как отношение синуса к косинусу.
смотри таблицу и возьми на вооружение - сокращения ПРО и ПРИ.
Вычисление синуса, косинуса и тангенса угла треугольника
В треугольнике \(ABC\) : \(\angle C = 90^\) , \(\sin = \dfrac\) . Найдите \(AC\) , если \(AB = 6\sqrt\) .
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[\dfrac = \dfrac\qquad\Rightarrow\qquad BC = \dfracAB = 4\sqrt.\]
По теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36\cdot 5 - 16\cdot 5 = 20\cdot 5 = 10^2\) , тогда \(AC = 10\) .
Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) , причем \(\angle C=90^\circ\) . Известно, что \(\cos \angle B=\dfrac13\) , \(AB=9\) . Найдите \(BC\) .
По определению косинуса \[\cos\angle B=\dfrac=\dfrac13 \quad \Leftrightarrow \quad BC=\dfrac13\cdot AB=\dfrac13\cdot 9=3\]
Дан треугольник \(ABC\) , причем \(\angle C=90^\circ\) . Найдите длину его гипотенузы, если \(AC=8, \ \cos \angle A=\dfrac45\) .
По определению косинуса \[\cos \angle A=\dfrac=\dfrac45 \quad \Leftrightarrow \quad AB=AC\cdot \dfrac54=10\]
Большее основание равнобедренной трапеции равно \(34\) . Боковая сторона равна \(14\) . Синус острого угла равен \(\dfrac>7\) . Найдите меньшее основание.
Проведем \(BH\perp AD\) . Из \(\triangle ABH\) : \[\dfrac>7=\sin\angle A=\dfrac\quad\Rightarrow\quad BH=4\sqrt\] Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt<14^2-(4\sqrt)^2>=6\] Так как \(AH=0,5(AD-BC)\) , то \(BC=AD-2AH=34-12=22\) .
В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\) , \(CH\) – высота, \(AB=13\) , \(\mathrm\,\angle A=0,2\) . Найдите \(AH\) .
Так как по определению из \(\triangle ABC\) : \[\dfrac=\mathrm\,\angle A=\dfrac 15\] то можно принять \(BC=x\) , \(AC=5x\) . Следовательно, по теореме Пифагора \[BC^2+AC^2=AB^2\quad\Rightarrow\quad x^2+(5x)^2=13^2\quad\Rightarrow\quad x^2=\dfrac2\] Из \(\triangle AHC\) : \[\cos \angle A=\dfrac\] Из \(\triangle ABC\) : \[\cos \angle A=\dfrac\] Следовательно: \[\dfrac=\dfrac\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac=\dfrac=\dfrac2=12,5\]
В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\) , \(CH\) – высота, \(AB=26\) , \(\mathrm\,\angle B=5\) . Найдите \(AH\) .
По определению из \(\triangle ABC\) : \[\dfrac=\mathrm\,\angle B=\dfrac 51\] Следовательно, можно принять \(AC=5x\) , \(BC=x\) . Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(5x)^2=26^2\) , откуда \(x=\sqrt\) .
Тогда \[\sin\angle B=\dfrac=\dfrac5<\sqrt>\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle B=\angle HCA\) . Следовательно, из \(\triangle HCA\) : \[\dfrac5<\sqrt>=\sin \angle HCA=\dfrac\quad\Rightarrow\quad AH=25\]
В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\) , \(AB=17\) , \(\mathrm\,\angle A=0,25\) . Найдите высоту \(CH\) .
По определению из \(\triangle ABC\) : \[\dfrac=\mathrm\,\angle A=\dfrac 14\] Следовательно, можно принять \(AC=4x\) , \(BC=x\) . Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(4x)^2=17^2\) , откуда \(x=\sqrt\) .
Так как площадь прямоугольного треугольника \(ABC\) , с одной стороны, равна \(0,5CH\cdot AB\) , а с другой стороны, равна \(0,5BC\cdot AC\) , то \[CH\cdot AB=BC\cdot AC\quad\Rightarrow\quad CH=\dfrac=4\]
Уметь оперативно и правильно решать задачи ЕГЭ на вычисление элементов многоугольника необходимо всем выпускникам вне зависимости от того, базовый или профильный уровень экзамена они сдают. Причем этой теме традиционно посвящается несколько заданий. Поэтому, если учащийся рассчитывает получить достойные баллы по итогам прохождения ЕГЭ, то ему обязательно стоит уделить внимание задачам, в которых требуется найти синус, косинус и тангенс угла треугольника.
Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете восполнить пробелы в знаниях и отточить необходимый навык. Весь теоретический и практический материал составлен и изложен таким образом, чтобы все выпускники могли без особых затруднений справляться с задачами ЕГЭ, в которых требуется вычислить тангенс, синус или косинус угла треугольника.
Основные моменты
Первое, что нужно сделать при решении подобных задач в ЕГЭ, - вспомнить, что такое тангенс, косинус и синус угла треугольника. Далее рекомендуется следовать такому алгоритму:
- Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который требуется найти.
- Определяем известные элементы и выявляем тригонометрическую функцию, которая их связывает.
- Записываем получившееся соотношение и применяем подходящую формулу.
Научившись правильно выполнять упражнения на вычисление элементов многоугольника, а также, например, по теме «Окружность, описанная около многоугольника», которые представлены в данном разделе образовательного портала «Школково», вы сможете закрепить материал и без труда справляться с подобными заданиями на аттестационном экзамене.
Вычисление синуса, косинуса и тангенса угла треугольника (страница 4)
Дан треугольник \(YES\) , причем \(\angle S=90^\circ\) . Известно, что \(\mathrm\,\angle Y=1,5\) . Найдите \(\mathrm\,\angle E\) .
По определению тангенса и котангенса: \[\mathrm\,\angle Y=\dfrac \qquad \text \qquad \mathrm\,\angle E=\dfrac\]
Таким образом мы видим, что \(\mathrm\,\angle Y=\mathrm\,\angle E=1,5.\)
Дан треугольник \(YES\) , причем \(\angle S\) — прямой. Найдите синус угла \(E\) , если синус угла \(Y\) равен \(\dfrac35\) .
По определению синуса: \[\sin \angle E=\dfrac=\cos \angle Y\]
Т.к. \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) для любого угла \(\alpha\) , то \(\cos^2\angle Y=1-(0,6)^2=0,64\) , следовательно, \(\cos\angle Y=0,8\) .
Значит и \(\sin \angle E=0,8\) .
Дан треугольник \(YES\) , причем \(YS\perp ES\) . Найдите \(\mathrm\,\angle Y\) , если \(\mathrm\,\angle E=4\) .
По определению тангенса: \[\mathrm\,\angle Y=\dfrac=\mathrm\,\angle E\]
Т.к. \(\mathrm\,\alpha\cdot \mathrm\,\alpha=1\) для любого угла \(\alpha\) , то \[\mathrm\,\angle E=\dfrac1<\mathrm\,\angle E>=\dfrac14\]
Следовательно, \(\mathrm\,\angle Y=\frac14=0,25\) .
В параллелограмме \(ABCD\) : \(AB = 15\) , \(\sin = 0,4\) . Найдите длину \(h\) – высоты, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AD\) .
В параллелограмме сумма односторонних углов равна \(180^\) , тогда \(\sin = \sin <(\pi - \angle D)>= \sin = 0,4\) .
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[0,4 = \dfrac = \dfrac \qquad\Rightarrow\qquad h = 6.\]
Дан прямоугольный треугольник \(CAT\) , причем \(\angle C=90^\circ\) , а \(CH\) – высота этого треугольника.
Известно, что \(\sin \angle ACH=\frac25\) , \(AT=8\) . Найдите \(AH\) .
По определению синуса \(\sin \angle ACH=\dfrac\) . Для того, чтобы найти \(AH\) , необходимо найти \(AC\) .
Т.к. высота прямоугольного треугольника \(CAT\) , опущенная из вершины прямого угла, делит его на два треугольника, каждый из которых подобен \(\triangle CAT\) , то \(\angle ACH=\angle ATC\) . Значит, и \(\sin \angle ACH=\sin \angle ATC=\frac25\) .
Но по определению \[\sin \angle ATC=\dfrac \quad \Rightarrow \quad \dfrac25=\dfrac8 \quad \Leftrightarrow \quad AC=\dfrac5\]
Значит, \[\dfrac25=\dfrac \quad \Rightarrow \quad AH=AC\cdot \dfrac25=\dfrac=1,28.\]
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
На этом уроке мы затронем изучение одного из важнейших разделов математики – тригонометрии. Тригонометрия является своеобразным мостиком между алгеброй и геометрией, поскольку в одинаковой степени важна и там, и там. На этом уроке мы начнём «строительство» этого мостика со стороны геометрии, то есть именно из того раздела математики, где впервые возникла задача, которая и привела к появлению тригонометрии. Чуть позже мы расширим понятие тригонометрических функций, а в старших классах узнаем об их «алгебраических корнях». Мы введём понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла, изучим связь между этими величинами и докажем основное тригонометрическое тождество.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки:
Читайте также: