Как найти наибольший отрицательный корень уравнения sin
Обновлено: 18.05.2024
Как мне кажется, самое простое в высшей математике - это тригонометрия. Если изначально ухватить ее за хвост, то и думать тут негде. Но, чтобы так было, ее нужно правильно преподнести. Долго разглагольствовать по этому поводу не буду. Просто приведу решение, которое в основном дается в школах, а потом свое.
Вот, к примеру, такое уравнение:
Кто дает эту дебильнейшую формулу? Как, бля, детям ее понять, и плюс найти корни на промежутке, еще и с периодом Пк/2, ничего не упустив? Господа-препода, вы что, бредите? Есть же легкие формулы по синусу. Их две, и они конкретные.
С помощью них и, решив простое неравенство, можно получить фактические корни, и ни в чем не сомневаться. Ведь математика - это точная наука!
Для кого-то я, безусловно, Америку не открою, и обращаюсь сейчас к тем ребятам, кто не знает этих формул, либо не владеет абсолютно точным методом определения корней на промежутке. Будем разбирать данное уравнение. Для начала формулы по синусу:
По-моему, здесь все предельно ясно. Где находятся корни, и куда их выставить на этом злополучном круге. Благо, что промежуток дан такой. Возможно понять, что отнимем 5П, да и попадем куда надо. А, если промежуток дан "кривой", плюс период вышел из уравнения типо П/4. Что тогда? Гадать на кофейной гуще? Не, не надо. Можно точно все просчитать и ни в чем не сомневаться. Смотри:
Соответственно так же просчитываем остальные корни. В данном случае к= только -5, но бывает и так, что к= нескольким целым числам. Допустим:
И помни, этот "страшный" ноль является целым числом!
Много писанины, согласна. Зато, во-первых, это стопудово, а во-вторых, это экзамен, и ты ни в чем не должен сомневаться!
И еще одна рекомендация, которая так "не по вкусу", а относится она к любому заданию:
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:
Решением уравнения cosx=a являются два корня:
Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.
Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.
Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон n от –2 до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: –3 и 3, –4 и 4 и так далее. Вычисляем:
При n = – 2 х1= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х2= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5
При n = – 1 х1= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х2= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5
При n = 0 х1= 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х2= 3∙0 – 5,5 = – 5,5
При n = 1 х1= 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х2= 3∙1 – 5,5 = – 2,5
При n = 2 х1= 3∙2 – 4,5 = 1,5 х2= 3∙2 – 5,5 = 0,5
Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5
Найдите наименьший положительный корень уравнения:
Решением уравнения sin x = a являются два корня:
Либо (он объединяет оба указанные выше):
Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от –90 о до 90 о синус которого равен a.
Значит
Выразим x (умножим на 4 и разделим на Пи):
Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n=0,1,2 …
При n = 0 х = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4
При n = 1 х = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6
При n = 2 х = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12
Проверим при n=–1 х=(–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2
Значит наименьший положительный корень равен 4.
Найдите наименьший положительный корень уравнения:
Решением уравнения tg x = a является корень:
Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90 о до 90 о , тангенс которого равен a.
Выразим x (умножим на 6 и разделим на Пи):
Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения n=0,1,2,3 … Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения. В составе экзамена по математике в первой части имеется задание связанное с решением уравнения — это простые уравнения, которые решаются за минуты, многие типы можно решить устно. Включают в себя: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.
В этой статье мы рассмотрим тригонометрические уравнения. Их решение отличается и по объёму вычисления и по сложности от остальных задач этой части. Не пугайтесь, под словом «сложность», имеется виду их относительную сложность по сравнению с другими заданиями.
Кроме нахождения самих корней уравнения, необходимо определить наибольший отрицательный, либо наименьший положительный корень. Вероятность того, что вам на экзамене попадёт тригонометрическое уравнение, конечно же, мала.
Их в данной части ЕГЭ менее 7%. Но это не означает, что их нужно оставить без внимания. В части С тоже необходимо решить тригонометрическое уравнение, поэтому хорошо разобраться с методикой решения и понимать теорию просто необходимо.
Понимание раздела «Тригонометрия» в математике во многом определяет ваш успех при решении многих задач. Напоминаю, что ответом является целое число или конечная десятичная дробь. После того, как получите корни уравнения, ОБЯЗАТЕЛЬНО сделайте проверку. Много времени это не займёт, а вас избавит от ошибки.
В будущем мы также рассмотрим и другие уравнения, не пропустите! Вспомним формулы корней тригонометрических уравнений, их необходимо знать:
Алгоритм восстановления этих значений прост, он также приведён в теории, полученной вами во втором письме после подписки на рассылку. Если ещё не подписались, сделайте это! В будущем также рассмотрим, как эти значения можно определить по тригонометрической окружности. Не даром её называют «Золотое сердце тригонометрии».
Сразу поясню, во избежание путаницы, что в рассматриваемых ниже уравнениях даны определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса с использованием угла х для соответствующих уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, где х может быть и выражением. В примерах ниже у нас аргумент задан именно выражением.
Итак, рассмотрим следующие задачи:
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решением уравнения cos x = a являются два корня:
Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.
Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.
Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон n от – 2 до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: – 3 и 3, – 4 и 4 и так далее.
При n = – 2 х1= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х2= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5
При n = – 1 х1= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х2= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5
При n = 0 х1= 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х2= 3∙0 – 5,5 = – 5,5
При n = 1 х1= 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х2= 3∙1 – 5,5 = – 2,5
При n = 2 х1= 3∙2 – 4,5 = 1,5 х2= 3∙2 – 5,5 = 0,5
Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5
В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решением уравнения sin x = a являются два корня:
Либо (он объединяет оба указанные выше):
Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от – 90 о до 90 о синус которого равен a.
Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи):
Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n мы получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n = 0,1,2 …
При n = 0 х = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4
При n = 1 х = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6
При n = 2 х = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12
Проверим при n = –1 х = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2
Значит наименьший положительный корень равен 4.
В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решением уравнения tg x = a является корень:
Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90 о до 90 о , тангенс которого равен a.
Выразим x (умножим обе части уравнения на 6 и разделим на Пи):
Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения n = 1,2,3. Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:
Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.
Определение котангенса: Арккотангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу (0;П), котангенс которого равен a.
Здесь хочу добавить, что в уравнениях в правой части может стоять отрицательное число, то есть тригонометрическая функция от аргумента может иметь отрицательное значение. Если в ходе решения вы не сможете определить угол, например, для
ОММО. Тригонометрия
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
4 sin(3x) + 13 cos(3x) = 8 sin(x) + 11 cos(x).
Эта задача была в варианте 1 Объединённой межвузовской математической олимпиады (ОММО) 2 февраля 2020 года. Упоминание варианта здесь важно, потому что в двух вариантах из четырёх метод, предложенный ниже, не работает.
Из школьного курса алгебры мы знаем формулы для синуса тройного угла и косинуса тройного угла:
sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x);
cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x).
Подставим эти формулы в уравнение:
12 sin(x)-16 sin^3(x)+52 cos^3(x)-39 cos(x)=8 sin(x)+11 cos(x);
4 sin(x)-16 sin^3(x)+52 cos^3(x)-50 cos(x)=0;
2 sin(x)-8 sin^3(x)+26 cos^3(x)-25 cos(x)=0;
Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
sin^2(x)+cos^2(x)=1
и сделаем уравнение однородным:
2 sin(x) (sin^2(x)+cos^2(x))-8 sin^3(x)+26 cos^3(x)-25 cos(x) (sin^2(x)+cos^2(x))=0;
cos^3(x)+2 sin(x) cos^2(x)-25 cos(x) sin^2(x)-6 sin^3(x)=0.
Теперь заметим, что из-за основного тригонометрического тождества синус и косинус одновременно не могут равняться нулю. А в уравнении если синус равен нулю, то и косинус равен нулю. Поэтому можно поделить на sin^3(x):
ctg^3(x)+2 ctg^2(x)-25 ctg(x)-6=0.
Сделаем замену z=ctg(x) и получим кубическое уравнение:
z^3+2z^2-25z-6=0.
Согласно теореме о рациональных корнях уравнения с целыми коэффициентами, если целые корни у уравнения есть, то они из множества 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6. Подставим эти числа в уравнение, получим, что z=-6 - корень.
Квадратное уравнение имеет корни z=2-sqrt(5) и z=2+sqrt(5),
где sqrt(s) - квадратный корень из s.
Значит, либо ctg(x)=-6, либо ctg(x)=2-sqrt(5), либо ctg(x)=2+sqrt(5).
Для удобства перейдём к тангенсам:
либо tg(x)=-1/6, либо tg(x)=-2-sqrt(5), либо tg(x)=sqrt(5)-2.
Понятно, что наибольший отрицательный корень должен располагаться на той ветви тангенса, что между -pi/2 и pi/2.
Но atctg(sqrt(5)-2)>0, а arctg(-2-sqrt(5))<arctg(-1/6).
Поэтому наибольший отрицательный корень уравнения - x=-arctg(1/6).
Аналогичным образом решается и задание из варианта 3:
Найдите наименьший положительный корень уравнения
2 sin(6x) + 9 cos(6x) = 6 sin(2x) + 7 cos(2x).
А вот задания из вариантов 2 и 4 этому методу неподвластны.
2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
sin(x) + 8 cos(x) = 4 sin(8x) + 7 cos(8x).
4. Найдите наименьший положительный корень уравнения
14 sin(3x) − 3 cos(3x) = 13 sin(2x) − 6 cos(2x).
Читайте также: