Чему равняется sin альфа бета
Обновлено: 05.07.2024
Формулы понижения степени
Переход к двойному аргументу позволяет понизить степень тригонометрических функций:
Эти формулы дают обратное преобразование по сравнению с формулами двойного аргумента .
Выражение одних тригонометрических функций через другие
Через косинус угла
, tg x = cos x 1 − cos 2 x
, ctg x = 1 − cos 2 x
Через синус угла
, tg x = 1 − sin 2 x
sin x , ctg x = sin x 1 − sin 2 x
Через тангенс угла
tg x , cos x = 1 + tg 2 x
1 , ctg x = tg x 1 .
sin(альфа + бета) + sin(альфа - бета)
2) Рассмотрим первый синус. sin(a + b). Перед нами тригонометрическая формула сложения. Используем ее. Получаем: sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa.
3) Рассмотрим второй синус. sin(a - b). Перед нами тригонометрическая формула сложения. Используем ее. Получаем: sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa.
4) Подставим, полученные в пунктах 2 и 3 выражения, в исходное. Получаем: sina cosb + sinb cosa + sina cosb - sinb cosa. Приведем подобные слагаемые: 2sina cosb.
Елена Васильевна
sin (α +β)= sin α cos β+ cos α s inβ
cos α=+ — sqrt(1-( sin α)^2)=+-sqrt(1-(-7/25)^2)=+-sqrt(1-49/625)=+-24/25
так как 3π/2 < α < 2 π то есть 4 четверть, а там косинус >0, то cos α=24/25
sin β=+ — sqrt(1-(cos β)^2)=+-sqrt(1-(-0.6)^2)=+-sqrt(1-0.36)=+-0.8
так как π/2 < β < π π то есть 2 четверть, а там синус < 0, то sin β=-0.8
Формулы двойного аргумента
Вычислить sin (α β), если.
Вычислить sin (α +β), если sin α = -7/25, cos β = -0,6; 3π/2 < α < 2 π; π/2 < β < π.
Тригонометрические формулы. Их вывод
Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:
\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin <|l|l|>\hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1& \mathrm\, \alpha \cdot \mathrm\, \alpha =1 \\ &(\sin\alpha\ne 0, \cos\alpha\ne 0)\\[0.5ex] \hline &\\ \mathrm\, \alpha=\dfrac &\mathrm\, \alpha =\dfrac \\&\\ 1+\mathrm^2\, \alpha =\dfrac1 & 1+\mathrm^2\, \alpha=\dfrac1\\&\\ (\cos\alpha\ne 0)& (\sin\alpha\ne 0) \\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Формулы сложения углов: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha & \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &\\ \hline &\\ \mathrm\, (\alpha\pm \beta)=\dfrac<\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta><1 \mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta> & \mathrm\, (\alpha\pm\beta)=-\dfrac<1\mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta><\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta>\\&\\ \cos\alpha\cos\beta\ne 0&\sin\alpha\sin\beta\ne 0\\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Формулы двойного и тройного углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline \sin =2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin && & \cos=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<2\mathrm\, \alpha><1-\mathrm^2\, \alpha> && & \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<\mathrm^2\, \alpha-1><2\mathrm\, \alpha>\\&&&\\ \cos\alpha\ne 0, \ \cos2\alpha\ne 0 &&& \sin\alpha\ne 0, \ \sin2\alpha\ne 0\\ \hline &&&\\ \sin =3\sin \alpha -4\sin^3\alpha && & \cos=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Формулы произведения функций: \[\begin <|c|>\hline \\ \sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigg(\cos-\cos\bigg)\\\\ \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\cos+\cos\bigg)\\\\ \sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\sin+\sin\bigg)\\\\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin=\dfrac<2\mathrm
\(\blacktriangleright\) Формула вспомогательного аргумента: \[\begin <|c|>\hline \text\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>4\right)>\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>6\right)>\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin<\left(x\pm \dfrac<\pi>3\right)>\\\\ \hline \text\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt\cdot \sin<(\alpha\pm \phi)>, \ \ \cos\phi=\dfrac a<\sqrt>, \ \sin\phi=\dfrac b<\sqrt>\\\\ \hline \end\]
Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.
Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.
\(\blacktriangleright\) Вывод формулы косинуса разности углов \(\cos<(\alpha -\beta)>=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)
Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы \(\alpha\) и \(\beta\) . Пусть этим углам соответствуют точки \(A\) и \(B\) соответственно. Тогда координаты этих точек: \(A(\cos\alpha;\sin\alpha), \ B(\cos\beta;\sin\beta)\) .
Рассмотрим \(\triangle AOB: \ \angle AOB=\alpha-\beta\) . По теореме косинусов:
\(AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cdot \cos(\alpha-\beta)=1+1-2\cos(\alpha-\beta) \ (1)\) (т.к. \(AO=BO=R\) – радиус окружности)
По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:
Таким образом, сравнивая равенства \((1)\) и \((2)\) :
Отсюда и получается наша формула.
\(\blacktriangleright\) Вывод остальных формул суммы/разности углов:
Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения \(\sin x=\cos(90^\circ-x)\) и \(\cos x=\sin (90^\circ-x)\) :
разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\)
(при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\mp \mathrm\,\beta\) , при \(\cos\beta=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\pm \mathrm\,\alpha\) ):
Таким образом, данная формула верна только при \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\) .
5) Аналогично, только делением на \(\sin\alpha\sin\beta\ne 0\) , выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.
\(\blacktriangleright\) Вывод формул двойного и тройного углов:
Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:
1) \(\sin 2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) , получим еще две формулы для косинуса двойного угла:
разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,2\alpha=0\) ):
Таким образом, эта формула верна только при \(\cos\alpha\ne 0\) , а также при \(\cos2\alpha\ne 0\) (чтобы существовал сам \(\mathrm\,2\alpha\) ).
По тем же причинам при \(\sin\alpha\ne 0, \sin2\alpha\ne 0\) .
5) \(\sin3\alpha=\sin(\alpha+2\alpha)=\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\cos\alpha\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=\)
6) Аналогично выводится, что \(\cos3\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)
\(\blacktriangleright\) Вывод формул понижения степени:
Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:
1) \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\dfrac2\)
2) \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha=\dfrac2\)
Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна \(2\) в левой части, а в правой части степень косинуса равна \(1\) .
\(\blacktriangleright\) Вывод формул произведения функций:
1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:
Получим: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\Big)\)
2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:
3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
\(\blacktriangleright\) Вывод формул суммы/разности функций:
Обозначим \(\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y\) . Тогда: \(\alpha=\dfrac2, \ \beta=\dfrac2\) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:
Получили формулу суммы косинусов.
Получили формулу разности косинусов.
Получили формулу суммы синусов.
4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:
Аналогично выводится формула суммы котангенсов.
\(\blacktriangleright\) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:
(разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0\) и \(\sin2\alpha=0\) ):)
2) Так же, только делением на \(\sin^2\alpha\) , выводится формула для косинуса.
\(\blacktriangleright\) Вывод формул вспомогательного угла:
Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.
Рассмотрим выражение \(a\sin x+b\cos x\) . Домножим и разделим это выражение на \(\sqrt\,\) :
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt\left(\dfrac a<\sqrt>\sin x+ \dfrac b<\sqrt>\cos x \right)=\sqrt\big(a_1\sin x+b_1\cos x\big)\)
Заметим, что таким образом мы добились того, что \(a_1^2+b_1^2=1\) , т.к. \(\left(\dfrac a>\right)^2+\left(\dfrac b>\right)^2=\dfrac=1\)
Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол \(\phi\) , для которого, например, \(\cos \phi=a_1, \ \sin \phi=b_1\) . Тогда наше выражение примет вид:
\(\sqrt\,\big(\cos \phi \sin x+\sin \phi\cos x\big)=\sqrt\,\sin (x+\phi)\) (по формуле синуса суммы двух углов)
\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:
\(a) \ \sin x\pm\cos x=\sqrt2\,\left(\dfrac1\sin x\pm\dfrac1\cos x\right)=\sqrt2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>4\right)\)
\(b) \ \sqrt3\sin x\pm\cos x=2\left(\dfrac2\sin x\pm \dfrac12\cos x\right)=2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>6\right)\)
\(c) \ \sin x\pm\sqrt3\cos x=2\left(\dfrac12\sin x\pm\dfrac2\cos x\right)=2\,\sin\left(x\pm\dfrac<\pi>3\right)\)
Ответы
Читайте также: