В каком классе проходят sin и cos
Обновлено: 05.07.2024
С понятиями синус, косинус, тангенс и котангенс учащиеся впервые знакомятся в 8 классе на курсе геометрии (прямоугольный треугольник, теорема Пифагора). Далее, тригонометрия продолжается в программе геометрии 9 класса, и изучается в курсе алгебры (9 класс). Более глубокое изучение предмета продолжается в курсе алгебры и начала анализа - 10 класс. То есть, школьная программа создана специальным образом - постепенное изучение от тригонометрии треугольника к тригонометрическим функциям числового аргумента
ДРУГИЕ ОТВЕТЫ (3)
Пользователь
Зависит от образовательного учреждения, обычно с 10-го, но есть и с 9-го класса, в редких случаях с 11-го
Пользователь
Сейчас программы в школах очень разные. Почти везде есть отдельные классы с каким-либо уклоном. Конечно, в классах с математическим уклоном тригонометрию раньше начинают осваивать, чем в классах с гуманитарным.
Пользователь
Тригонометрия – один из больших разделов школьной математики, изучаемой в курсе геометрии 8, 9 классов и в курсе алгебры 9 класса, алгебры и начал анализа в 10 классе.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:
sin ∠ A = C B A B
cos ∠ A = A C A B
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
sin ∠ B = A C A B
cos ∠ B = B C A B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .
Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .
Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Теорему Пифагора и тригонометрические функции острого угла можно использовать для вычисления элементов только в прямоугольном треугольнике.
Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
a sinA = b sinB = c sinC
(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).
Теорема синусов используется для вычисления:
неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;
неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения sin 180 ° − α = sin α .
Наиболее часто используемые тупые углы:
sin120 ° = sin 180 ° − 60 ° = sin60 ° = 3 2 ; sin150 ° = sin 180 ° − 30 ° = sin30 ° = 1 2 ; sin135 ° = sin 180 ° − 45 ° = sin45 ° = 2 2 .
Радиус описанной окружности
a sinA = b sinB = c sinC = 2 R , где \(R\) — радиус описанной окружности.
Выразив радиус, получаем R = a 2 sinA , или R = b 2 sinB , или R = c 2 sinC .
Теорема косинусов
Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно \(2\) данных величин (две стороны или сторона и угол).
Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы \(3\) данных величины.
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cosA .
Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cosB ;
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cosC .
Теорема косинусов используется для вычисления:
неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;
вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.
Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения cos 180 ° − α = − cos α .
Наиболее часто используемые тупые углы:
cos120 ° = cos 180 ° − 60 ° = − cos60 ° = − 1 2 ; cos150 ° = cos 180 ° − 30 ° = − cos30 ° = − 3 2 ; cos135 ° = cos 180 ° − 45 ° = − cos45 ° = − 2 2 .
Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.
а ордината точки \(M\) равна синусу числа \(t\) (записывают\(sin\) \(t\)).
тогда M t = M x ; y ; x = cos t ; y = sin t .
Поэтому − 1 ≤ cos t ≤ 1 ; − 1 ≤ sin t ≤ 1
Отношение синуса числа \(t\) к косинусу того же числа называют тангенсом числа \(t\) и обозначают \(tg t\).
Отношение косинуса числа \(t\) к синусу того же числа называют котангенсом числа \(t\) и обозначают \(ctg t\).
Получим, что: tg t = sin t cos t ; ctg t = cos t sin t .
Из уравнения числовой окружности x 2 + y 2 = 1 , заменяя \(x\) и \(y\) на \(cos\) \(t\) и \(sin\) \(t\), получаем равенство
cos 2 t + sin 2 t = 1 .
Отметим также несколько важных свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
Свойство 1. Для любого числа \(t\):
sin ( − t ) = − sin t ; cos ( − t ) = cos t ; tg ( − t ) = − tg t ; ctg ( − t ) = − ctg t .
Свойство 2. Для любого числа \(t\):
sin ( t + 2 π k ) = sin t ; cos ( t + 2 π k ) = cos t .
Свойство 3. Для любого числа \(t\):
sin ( t + π ) = − sin t ; cos ( t + π ) = − cos t ; tg ( t + π ) = tg t ; ctg ( t + π ) = ctg t .
В общем виде:
tg ( t + π k ) = tg t ; ctg ( t + π k ) = ctg t .
Свойство 4. Для любого числа \(t\):
sin t + π 2 = cos t ; cos t + π 2 = − sin t .
Для синуса и косинуса есть геометрическая иллюстрация на числовой окружности.
Дадим геометрическую иллюстрацию для тангенса и котангенса.
Проведём сначала в координатной плоскости к числовой окружности касательную в точке \(A\).
Эту касательную \(l\) будем считать числовой прямой, ориентированной так же, как ось \(y\), и с началом в точке \(A\) (см. рис.)
Из подобия треугольников \(OMK\) и \(OPA\) следует равенство:
MK OK = PA OA ; sin t cos t = PA 1 .
Т. е. \(PA = tg t\)
Итак, если числу \(t\) соответствует на числовой окружности точка \(M\), то, проведя прямую \(OM\),
получим в пересечении её с числовой прямой \(l\) точку \(P\), которая имеет на числовой прямой \(l\) координату \(tg\) \(t\).
Числовую прямую \(l\) называют линией тангенсов .
Аналогично можно ввести линию котангенсов — числовая прямая \(m\) с началом в точке \(B\) (см. рис.).
Читайте также: