Y sin 1 x график функции y
Обновлено: 05.07.2024
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin<\left (\frac<1> \right )> = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_ = \frac<\pi>$$
Численное решение
$$x_ = 0.318309886183791$$
подставляем x = 0 в x*sin(1/x).
$$0 \sin<\left (\frac<1> \right )>$$
Результат:
$$f <\left (0 \right )>= 0$$
Точка:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac f <\left (x \right )>= 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac f <\left (x \right )>= $$
Первая производная
$$\sin<\left (\frac \right )> - \frac \cos<\left (\frac \right )> = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac>> f <\left (x \right )>= 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac>> f <\left (x \right )>= $$
Вторая производная
$$- \frac> \sin<\left (\frac \right )> = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ = \frac<\pi>$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_ = 0$$
$$\lim_\left(- \frac> \sin<\left (\frac \right )>\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_\left(- \frac> \sin<\left (\frac \right )>\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Используем вид записи для поиска переменных, используемых для вычисления амплитуды, периода, сдвига по фазе и вертикального сдвига.
Модуль - это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Заменим величины и в уравнении для фазового сдвига.
Нанесите опорный угол, находя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.
Применяем опорный угол, находя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Делаем выражение отрицательным, поскольку синус является отрицательным в четвертом квадранте.
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin<\left (\frac<1> \right )> = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_ = \frac<\pi>$$
Численное решение
$$x_ = 0.318309886183791$$
подставляем x = 0 в sin(1/x).
$$\sin<\left (\frac<1> \right )>$$
Результат:
$$f <\left (0 \right )>= \sin <\left (\tilde<\infty>\right )>$$
Точка:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac f <\left (x \right )>= 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac f <\left (x \right )>= $$
Первая производная
$$- \frac> \cos<\left (\frac \right )> = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ = \frac$$
$$x_ = \frac<\pi>$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_ = \frac$$
Максимумы функции в точках:
$$x_ = \frac<\pi>$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac>> f <\left (x \right )>= 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac>> f <\left (x \right )>= $$
Вторая производная
$$\frac> \left(2 \cos<\left (\frac \right )> - \frac \sin<\left (\frac \right )>\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ = 0.103846901037$$
$$x_ = -0.274454050228$$
$$x_ = -0.152014178762$$
$$x_ = 0.0786021471386$$
$$x_ = 0.0452868282238$$
$$x_ = -0.103846901037$$
$$x_ = 0.274454050228$$
$$x_ = -0.92861375863$$
$$x_ = 0.152014178762$$
$$x_ = 0.0227129780568$$
$$x_ = -0.052757414359$$
$$x_ = 0.92861375863$$
$$x_ = 0.0631567855111$$
$$x_ = -0.0786021471386$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_ = 0$$
- пределы не равны, зн.
$$x_ = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_ = \frac<\pi>$$
Максимумы функции в точках:
$$x_ = \frac$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac>> f <\left (x \right )>= 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac>> f <\left (x \right )>= $$
Вторая производная
$$\frac<\sin<\left (x \right )>> \left(1 + \frac<\left (x \right )>><\left (x \right )>>\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_ \frac<\sin<\left (x \right )>> = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_ \frac<\sin<\left (x \right )>> = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
Читайте также: