Решите уравнение sin 2 x 4 п 4
Обновлено: 07.07.2024
Дано уравнение
$$\sin<\left(2 x + \frac<\pi> \right)> = \frac$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x + \frac<\pi> = 2 \pi n + \operatorname<\left(\frac \right)>$$
$$2 x + \frac<\pi> = 2 \pi n - \operatorname<\left(\frac \right)> + \pi$$
Или
$$2 x + \frac<\pi> = 2 \pi n + \frac<\pi>$$
$$2 x + \frac<\pi> = 2 \pi n + \frac$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$\frac<\pi>$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$2 x = 2 \pi n - \frac<\pi>$$
$$2 x = 2 \pi n + \frac$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
получим ответ:
$$x_ = \pi n - \frac<\pi>$$
$$x_ = \pi n + \frac$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3П/2; П].
Решение:
а) Решите уравнение
ОДЗ уравнения: R
Для преобразования левой части уравнения воспользуемся
формулой разности квадратов a 2 – b 2 = (a – b)(a + b).
Для преобразования правой части воспользуемся тем, что функция косинус – чётная,
тогда cos(x – П/2) = cos(П/2 – x). Преобразуем cos(π/2 – x), воспользуемся формулами приведения. Так как под знаком преобразуемой функции содержится выражение (π/2 – x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. косинус – на синус.
Так как (π/2 – x) – аргумент из первой четверти, то в ней преобразуемая функция косинус имеет знак плюс. Получим cos(π/2 – x) = sinx.
В первом множителе поменяем местами слагаемые, а для второго множителя воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin 2 x + cos 2 x = 1, получим
Используя формулу косинуса двойного угла cos2α = cos 2 α – sin 2 α
и формулу синуса двойного угла sin2α = 2sinα·cosα, получим
Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3П/2; П].
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; 3π/2].
Решение:
а) Решите уравнение
ОДЗ уравнения: R
Используя формулу косинуса двойного угла cos2α = cos 2 α – sin 2 α, получим
Произведение синуса и косинуса равно 1 возможно в двух случаях:
Решим первую систему уравнений:
Найдем общее решение системы, для этого отметим точки на единичной окружности, красным цветом – точки первой серии корней, чёрным цветом – точки второй серии корней.
Общим решением системы является совпадение точек, т. е.
Решим вторую систему уравнений:
Найдем общее решение системы, для этого отметим точки на единичной окружности, красным цветом – точки первой серии корней, чёрным цветом – точки второй серии корней.
В данном случае точки не совпадают, значит, система не имеет решений.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; 3π/2].
Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.
К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.
С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Читайте также: