Решите уравнение sin 2 x 3 sin x 0
Обновлено: 05.07.2024
Здравствуйте!
Помогите решить уравнение sin ^ 2 x – 3 sin x = 0. Нужно подробное объяснение.
Спасибо!
Подобные уравнения, в которых произведение равно нулю, решаются с помощью разбиения его на два уравнения, более простых по сравнению с исходным, в которых каждый из множителей приравнивается к нулю:
или
Далее решается отдельно каждое уравнения, а результаты их решений и будут являться решением исходного уравнения.
Итак, начнем с первого уравнения, в котором синус х равен нулю. С помощью таблицы значений синуса запишем все его возможные корни, не забывая о периоде синуса:
Переменная s может быть равна любому целому числу.
Для решения второго уравнения перенесем постоянную в правую часть и получим:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 7π/2].
Решение
Все решения
По формуле синуса двойного угла
sin2x=2*sinx*cosx
sinx=0 или 2cosx+sqrt(3)=0
x=πk, k∈Z или сosx=-sqrt(3)/2
x=± arccos(-sqrt(3)/2)+2πn, n∈Z
x=± (π- arccos sqrt(3)/2)+2πn, n∈Z
x=± (π- (π/6))+2πn, n∈Z
x=± (5π/6))+2πn, n∈Z
О т в е т. а)πk; ± (5π/6))+2πn, k, n∈Z
б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 7π/2].
Для этого составим неравенство
5π/2 < πk < 7π/2, k∈Z
или
5/2 < k < 7/2, k∈Z - неравенство верно при k=3
Составим второе неравенство
5π/2 < (5π/6))+2πn < 7π/2, n∈Z
или
5/2 < (5/6)+2n < 7/2, n∈Z
Составим третье неравенство
5π/2 < (-5π/6))+2πn < 7π/2, n∈Z
или
5/2 < (-5/6)+2n < 7/2, n∈Z
Можно рассмотреть эти корни на единичной окружности.
О т в е т. б) 17π/6; 3π; 19π/6.
2) sin2x - тригонометрическая формула двойного угла. Разложим по формуле: sin2x = 2sinxcosx.
Подставим полученную величину в исходное уравнение.
3) Получаем: 2sin^2x - 2√3sinxcosx = 0.
4) Вынесем общий множитель за скобки, это 2sinx. Получаем: 2sinx(sinx - √3cosx) = 0. Произведение двух множителей равно 0, тогда и только тогда когда хотя бы один из множителей равен 0.
5) 2sinx = 0; x = Пиn, n ∈ Z.
6) sinx - √3cosx = 0; Делим на cosx. Получаем: tgx - √3 = 0; tgx = √3; x = arctg √3 + Пиk, k ∈ Z; x = Пи/3 + Пиk, k ∈ Z.
Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.
К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.
С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Читайте также: