Решите уравнение корень 2 sin п 4
Обновлено: 05.07.2024
Вообще в задании 13 дают не только тригонометрию, так что на видео также рассмотрены и другие.
Практика (101)
a) tg(Pi+x)cos(2x-Pi/2) = cos(-Pi/3)
а) tg(2Pi+x)cos(Pi/2+2x) = cosPi
а) Решите уравнение tg(Pi-x)cos(3Pi/2 - 2x) = sin 5Pi/6
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2Pi; -Pi/2]
а) Решить уравнения сos^2x-cos2x=0,75.
б) Отбор корней на отрезке [2Pi;-Pi/2]
cos2x+sin^2x = 3/4, [Pi; 2,5Pi]
sin(Pi/2+x) = sin2x, [-Pi; Pi/2]
cos2x-5sqrt(2)cosx-5 = 0, [-3Pi; -3Pi/2]
2sin(x+Pi/3)+cos2x = sqrt(3)cosx+1, [-3Pi, -3Pi/2]
а) Найдите корень уравнения sqrt(2)sin^2x = sinx
б) Найдите все корни этого уравнения, удовлетворяющие неравенству cosx < 0. (13)
б) Отбор корней на промежутку [-Pi; 5Pi/2] (15)
а) 8*16^(sin^2x) - 2*4^(cos2x) = 63
a) (2cosx+1)(sqrt(-sinx)-1) = 0
а) Решите уравнение cos2x+0,5=cos^2x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2Pi/-Pi/2]
а) Решите уравнение sin2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7Pi/2; -5Pi/2]
а) Решите уравнение 4cos^3x+3sin(x-Pi/2)=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2Pi;-Pi].
а) Решите уравнение sin2x=2sinx-cosx+1
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-2Pi;-Pi/2]
а) Решите данное уравнение 2cos^2x+2sin2x=3.
б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [-3Pi/2; -Pi/2]
а) Решите уравнение cos2x=1-cos(Pi/2-x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5Pi/2;-Pi)
а) Решите уравнение
(4sin^2x-1)sqrt(64Pi^2-x^2) = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-30; -20]
б) Отобрать корни из отрезка [-3Pi; 7Pi]
а)cos2 x +3cos(3π/2+x)-2=0
б)[-5π;-3π]
а) Решите уравнение (9^(sin2x)-3^(2sqrt(2)sinx)) / (sqrt(11sinx)) = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7Pi/2; 5Pi]
a) Решите уравнение -cos2x+sqrt(2)cos(Pi/2+x)+1 = 0
б) Отберите корни из данного отрезка [2Pi; 3,5Pi]
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [m][-\frac<9\pi>; -3\pi][/m]
a) Решить уравнение 4sin^2x-3sinx*cosx-cos^2x = 0
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; Pi/4]
а) Решить уравнение cos4x-cos2x = 0
б) Отобрать корни на промежутке [Pi/2; 2Pi]
а) Решить уравнение log(-cosx)(1-0,5sinx) = 2
б) Отобрать корни на отрезке [14Pi; 16Pi]
б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [m][\frac<9\pi>; 6\pi][/m]
9^(cosx) + 9^(-cosx) = 10/3
а) Решить уравнение sinx+2sin(2x+Pi/6) = sqrt(3)sin2x+1,
б) Отобрать корни на отрезке [-7Pi/2; -2Pi]
а) Решите уравнение tg^2x+5tgx+6=0
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–2π;–π/2]
решите уравнение 4cos^2 x + 8sin (3П/2 - x) - 5 = 0
и укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку [-7П/2; -2П]
решить уравнение и указать корни этого уравнения принадлежащие отрезку
2sin^3 (x + 3П/2) + cosx = 0
[5П/2; 4П]
решите уравнение и укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку
2√2sin (x + П/3) + 2cos^2 x = √6cosx + 2
[-3П; -3П/2]
решите уравнение и укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку
√2sin (x + П/4) + cos(2x) = sinx - 1
[7П/2; 5П]
решить уравнение и указать корни этого уравнения принадлежащие отрезку
2sin (2x + П/6) + cosx = √3 sin(2x) - 1
[4П; 11П/2]
решить уравнение и указать корни этого уравнения принадлежащие отрезку
2cos^3 x = sin (П/2 - x)
[-4П; -5П/2]
решить уравнение и указать корни этого уравнения принадлежащие отрезку
8sin^2 x - 2√3cos (П/2 - x) - 9 = 0
[-5П/2; -П]
решить уравнение и указать корни этого уравнения принадлежащие отрезку
cos2x + √2sin (П/2 + x) + 1 = 0
[2П; 7П/2]
а) Решите уравнение (6/5)^(cos3x)+(5/6)^(cos3x) = 2,
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [4Pi; 9Pi/2)
(sinx+cosx)sqrt(2) = tgx+ctgx, [-Pi; Pi/2]
а) Решите уравнение log(1,75)(2-sin^2x-sinx-cos2x) = 1
б) Отобрать корни на отрезке [-7Pi/2; - 2Pi]
а) Решите уравнение tg(2Pi-x)cos(3Pi/2 + 2x) = sin(-Pi/2)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие [2Pi; 7Pi/2]
а) Решите [m]log^2_ (4x^3) -2 = log_ (4x)[/m]
б) Отбор корней на промежутке [m] [\frac; \frac<\sqrt[10]>] [/m]
а) Решите уравнение 8sinx+4cos^2x = 7;
б) Найдите корни на отрезке [-3Pi/2; -Pi/2]
a) Решите уравнения cos^2(x/2)-sin^2(x/2) = sin((Pi/2)-2x)
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [Pi; 5Pi/2]
[block]а) Решить уравнение (cos^2x+sqrt(3))/(sqrt(3)cos^2x) = (sqrt(3)+4)/(2sqrt(3)cosx)[/block]
б) Найдите корни на промежутке [-1;3]
Решите уравнение sin2x=cos(pi/2-x)
Найти все корни на промежутка [-Pi;0]
Решить уравнения 2sin^2x-5sinxcosx+2cos^2x=0
Выбрать корни принадлежащие [Pi/2;3Pi/2]
Решите уравнение cos4x-cos2x=0
Укажите корни, принадлежащие отрезку [Pi/2;2Pi]
2cos^2x+2sqrt(2)cos(п/2-x)+1=0;
Корни на промежутке [3п/2;3п]
1) Решите уравнение 2sin^2x - 3sqrt(2)sin (3Pi/2) - 4 = 0
2) Найдите корни, принадлежащие отрезку [Pi; 5Pi/6]
Решите неравенство 2sin^2x-2√2cos+1=0
корни на промежутке [5п/4 4п]
2sin²x+3√2cos(3π/2+x) +2 =0
a) Решите уравнение sqrt(x^(2)-2x+1) + sqrt(x^(2)+2x+1) = 2
б) Отбор корней на промежутке [1;2]
Найти корень уравнения 3+2sin2x=tgx+ctgx, принадлежащий интервалу (50°;90°)
а) Решить уравнение [m]3cos\fraccos\fracsin\frac = \frac[/m]
б) Укажите корни, принадлежащие интервалу (-2Pi; -3Pi/2)
3log^2(8)(sinx) - 5log(8)(sinx) - 2
[-7π/2; 2π]
Решить уравнение
(tg ^2 x -2 tgx-3)*log5(-2sinx)
Отберите корни на отрезке [П/2;3П]
а) Решите уравнение (3ctg^2x+4ctgx)/(5cos^2x–4cosx)=0
б) отберите корни на промежутке [5п/2;5п]
Пожалуйста с отбором корней подробнее
а) Решите уравнение (log^2_(2)(sinx)+log2(sinx)) / (2cosx+sqrt(3))=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π/2]
ctgx - 2cos(П/2 - 2x) = 0
Условие [ - П; П/2 ]
а) Решите уравнение 2/(tg^2x+1) = 3sin(3Pi+2x)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3Pi/2; Pi]
а) Решите уравнение (sin2x-2cosx)*log2(log(1/3)(x+5)) = 0 [Л13]
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-3Pi/2; 0)
а) Решите уравнение 20^(cosx)=4^(cosx)⋅5^(−sinx).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−9π/2;−3π].
а) Решите уравнение sinx+2sin(2x+Pi/6) = sqrt(3)sin2x+1
б) Отбор корней на отрезке [-7Pi/2; -2Pi]
а) Решить 2*9^x-11*6^x+3*4^(x+1) = 0,
б) Отбор корней: [0, 3]
а) Решить уравнение 8^(2sqrt(3)cosx) = 64^(sin2x),
б) Отбор корней на отрезке [2Pi; 7Pi/2]
а) Решить уравнение sqrt(x^3-4x^2-10x+29) = 3-x,
б) Отбор корней [-sqrt(3); sqrt(30)]
(1+tg^2x)cos(Pi/2+2x) = 2/sqrt(3), [-3Pi/2; Pi]
tg(Pi+x)cos(2x-Pi/2)=cos(-Pi/3), [7Pi; 17Pi/2]
tg(Pi-x)cos((3Pi/2) - 2x) = sin(5Pi/6), [-2Pi; -Pi/2]
Решите уравнение 2sinx*sin3x=cos2x, и найдите корни из промежутка (0;П)
а) log(sinx) (1+cos2x+cos4x) = 0
б) Укажите решение уравнения принадлежащее отрезку [0; Pi]
а) Решите уравнение 2ctg^(2)x = 3/sinx
б) Отобрать корни [0, 2π)
а) Решить уравнение tg^2x+1 = 1/cos((3Pi/2)+2x)
б) Отобрать корни на отрезке [-Pi/2; 5Pi/2]
а) Решить уравнение 2sin(x+Pi/6)-2sqrt(3)cos^2x = cosx-2sqrt(3)
б) Отобрать корни на отрезке [-5Pi/2; -Pi]
а) Решить уравнение (1+2sinx)sinx = sin2x+sin(Pi/2-x)
б) Отбор корней на отрезке [-3Pi/2; 0]
sqrt(2cos^2x-sqrt(2))+sqrt(2)sinx = 0, [-7Pi; -11Pi/2] (л13)
а) Решить уравнение 2cos^2x = sin(Pi/2-x)
б) Отбор корней на отрезке [5Pi/2; 4Pi]
а) Решить уравнение cos4x-cos2x = 0
б) Отобрать корней на отрезке [Pi/2; 2Pi]
а) Решить уравнение sqrt(3)sinx+2sin(2x+Pi/6) = sqrt(3)sin2x+1
б) Отобрать корни на отрезке [-3Pi; -3Pi/2]
a) Решите уравнение sqrt(4cos2x-2sin2x)=2cosx
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-13Pi/6; -Pi/2]
а) Решить уравнение: (sin(Pi-x))/(2sin^2(x/2)) = 2cos^2(x/2)
б) Сделать отбор корней на отрезке [7Pi/2;5Pi]
а) Решите уравнение 2/(tg^2x+1)=3sin(3Pi+2x).
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3Pi/2 ; Pi].
а) Решить уравнение 9*81^(cosx)-28*9^(cosx)+3 = 0,
б) Отбор корней на отрезке [5Pi/2; 4Pi]
а) Решите уравнение: 4cos2x=2cos(Pi/2-x)+1
б) Выполните отбор корней: [-3Pi/2; Pi/2]
а) Решить уравнение sin2x / sin(3Pi/2-x) = sqrt(2)
б) Отбор корней на отрезке [2Pi; 7Pi/2]
а) Решите уравнение (25^(sin2x)-5^(2sqrt(2)sinx))/sqrt(17sinx) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3Pi/2; 4Pi]
а) Решить уравнение 16^(sin(2x+Pi/4)) =4^(sqrt(2)(sin2x+tgx*ctgx))*16^(sinx)
б) Отобрать корни на отрезке [3Pi/2; 3Pi]
а) Решите уравнение: sqrt(2)sin(2x-Pi/4)-sqrt(3)sinx = sin2x+1
б) Выполнить отбор корней: [-3Pi/2; 0]
а) Решить уравнение cos4x+sin2x = 0,
б) Выполнить отбор корней на промежутке 90°< x< 180°
а) Решить уравнение sin2x=2sinx-cosx+1
б) Выполнить отбор корней на отрезке [-2Pi;-Pi/2]
а) Решить уравнение:36^(2cosx+1)+16*4^(2cosx-1)=24*12^(2cosx)
б) Выполнить отбор корней: [-Pi/2;0]
a) Решите уравнение sin(2x+Pi/6) = cosx+cos(x+Pi/6)sinx
б) Определите, какие из его корней принадлежать отрезку [-5Pi; -7Pi/2]
а) Решить уравнение: 2cos(x-3Pi/2)+sqrt(2)cosx = sin2x-sqrt(2)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5Pi;-7Pi/2]
а) Решите уравнение 3-2cos^2x+3sin(x-Pi) = 0
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [7Pi/2; 11Pi/2)
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Решим уравнение:
б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном промежутке лежат корни:
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 318. (Часть C)а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Последовательно получаем:
Б) Отбор корней сделаем с помощью единичной окружности.
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Последовательно получаем:
б) Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Последовательно получаем:
Покажем, что решения уравнения не удовлетворяют исходному уравнению, в котором должно выполняться условие:
«Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: и Проверим их пригодность для исходного уравнения поочередно, руководствуясь тем, что логарифм по допустимому основанию существует лишь для положительных чисел.
Заметим, что наименьший положительный период функции есть число (как наименьшее общее кратное положительных периодов слагаемых функций: для функции — это для функции — число ). Следовательно, в дополнительной проверке нуждаются решения, соответствующие четным и нечетным значениям
Если то Ясно, что
Но Следовательно, при нечетных числа вида не могут быть решениями исходного уравнения.
Отсюда и выводы:
— решения уравнения-следствия, представляемые числами вида лишь при четных значениях могут быть решениями исходного уравнения;
Исследование этой серии корней проводится аналогично с тем, как это было сделано для серии корней Однако при этом все решения уравнения-следствия окажутся подходящими и для исходного уравнения. Докажем это.
б) Нетрудно заметить, что на отрезке лежит единственный корень
1. Символ в записи «» означает, что уравнение является следствием уравнения у которого множество решений, быть может, шире, нежели у уравнения — посылки; расширение множества решений в нашем случае могло произойти только за счет расширения множества значений переменной, на котором оно (уравнение) может рассматриваться. Потому потребовалась проверка пригодности найденных решений и отсеивание посторонних.
2. Предложение ««Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: и » не следует рассматривать как некорректность применения союза «и». В контексте приведенного предложения союз «и» играет всего лишь роль союза, применяемого между однородными членами предложения; здесь союз «и» не может служить логической связкой, образующей некую конъюнкцию двух элементарных высказываний (предикатов), впрочем, которой здесь и нет.
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Преобразуем уравнение
Первый шаг в решении был переходом к следствию, поэтому могли появиться посторонние корни. Проведем проверку: если или то аргументы обоих логарифмов в исходном уравнении положительны. Следовательно, эти серия дают решения уравнения для всех целых k. Если или то логарифмы не определены.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 309. (Часть C)а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
Вернемся к исходной переменной:
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку Для этого воспользуемся тригонометрической окружностью. На отрезке лежат корни
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 312. (Часть C)а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Левая часть уравнения обращается в нуль в двух случаях. Если второй множитель равен нулю:
Или если первый множитель равен нулю, а второй при этом определён.
Неравенству удовлетворяют только корни серии
Объединяя два рассмотренных случая, заключаем, что решениями уравнения являются и
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 311. (Часть C)а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Сведём уравнение к квадратному относительно синуса, используя формулу Имеем:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку (см. рис.), получим число
Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С).Александр Иванов, здравствуйте!
Я давно пользуюсь вашим сайтом и читаю вопросы ребят. Почему вы всегда ерничаете? Почему нельзя изначально написать корректное, подробное решение. Вроде бы это обучающий сайт, а в ваших решениях иногда ничего не понятно. Так нельзя. Вы меня извините, но мне кажется, что надо объяснять более доступно.
РЕШУ ЕГЭ − это, конечно, обучающий сайт. Но не надо снимать ответственности с обучающегося. Было бы странно в разделе, посвященном тригонометрическим уравнениям, объяснять учащимся как решаются квадратные уравнения, каков порядок действий при вычислениях или как пользоваться таблицей умножения. (А некоторые просят это объяснять.)
Решение данного задания, корректное и подробное.
Александр, спасибо вам за ваш бесценный труд. Не мог пройти мимо претензии в вашу сторону. Действительно, это глупо объяснять простейшие вещи во 2 части. Я считаю, если не понимаешь, то открой тригонометрию и учи все формулы. Прежде чем решать, нужна какая-то база, а раз её нет, то неудивительно, что люди не могут разобраться. А вам, Александр, ещё раз ОГРОМНОЕ СПАСИБО за ваш ТРУД.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> --> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу. Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.
Тригонометрические уравнения
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> \right] \); если a
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi>; \; \frac<\pi> \right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> \right] \); если а
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi>; \; \frac<\pi> \right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> \right) \); если а
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos 2 (х) - 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos 2 (х) на 1 - sin 2 (х), получаем
2 (1 - sin 2 (х)) - 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) - 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y - 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = - 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> + \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> + \pi n, \; n \in \mathbb \)
Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) - 4 = 0
Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 - sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) - 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) - 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 - 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
2) \( sin(6x) = \frac<1> \Rightarrow 6x = (-1)^n \text \frac<1> +\pi n \Rightarrow \)
\( \Rightarrow x = \frac \text \frac<1> +\frac<\pi n>, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = \frac<\pi> +\frac<\pi n>, \;\; x = \frac \text \frac +\frac<\pi n>, \; n \in \mathbb \)
Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c
Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) - 2 = 0
Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac \cos\frac, \; \cos(x) = \cos^2 \frac -\sin^2 \frac \) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac + \cos^2 \frac \right) \) получаем
\( 4\sin\fracПоделив это уравнение на \( \cos^2 \frac \) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac - 4 \text\frac +1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac = y \) получаем уравнение 3y 2 - 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):
\( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = \frac> \)
откуда Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вспомогательного угла.
Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:
\( \frac<4>\sin(x) + \frac\cos(x) = 1 \)Введём вспомогательный аргумент \( \varphi \), такой, что \( \cos \varphi = \frac<4>, \; \sin \varphi = \frac \) Исходное уравнение можно записать в виде
\( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = 1, \;\; \sin(x+\varphi) = 1 \)
откуда
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin(2х) - sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) - sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x - 1) = 0
Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х - х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.
Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) - sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 - sin 2 (x) - sin 2 (x), cos(2x) = 1 - 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 - cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 - cos(2x)) + 2 (1 - cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0
Читайте также: