Решите уравнение 2 sin 2x 2 cos 2x
Обновлено: 07.07.2024
Здравствуете, Дорогие друзья! В этой статье мы разберём очередной пример, где требуется решить тригонометрическое уравнение и найти корни принадлежащие заданному отрезку. Способов определения корней, которые принадлежат отрезку несколько.
Кому-то понятнее определять их по тригонометрической окружности, кому-то используя числовую ось. Здесь представлено два алгебраических способа. Каждый из них уже рассматрен отдельно: один в этой статье, другой здесь . Эти способы позволяют найти корни посредством алгебраических вычислений (без построения тригонометрической окружности или числовой оси).
Тригонометрические уравнения, которые будут на ЕГЭ по математике, не требуют ни каких "глубоких" умений в их преобразовании, достаточно знать основные формулы и иметь навык их использования.
Ещё раз отмчу, что для решения подобных заданий необходимо в совершенстве владеть методикой решения простейших тригонометрических уравнений ; знать табличные значения тригонометрических функций углов от 0 до 90 градусов; знать формулы приведения ; уметь проводить преобразования, используя тригонометрические формулы; переводить радианы в градусы и обратно.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку.
а) Преобразуем уравнение (и левую и правую часть по формуле косинуса двойного аргумента):
Произведём замену переменной: пусть cos x = t.
Получили квадратное уравнение 2t 2 + t – 1 = 0.
Изобразим корни на тригонометрической окружности:
б) Первый способ:
Переведём радианы в градусы. Так как Пи радиан это 180 градусов, то отрезок
в градусах будет выглядеть следующим образом: [– 270 0 ; 540 0 ].
Определим корни. Суть подхода: берём произвольные коэффициенты k и подставляем в каждый из корней, далее вычисляем и смотрим – принадлежат ли полученные корни заданному интервалу. Если принадлежат, то отмечаем их как верный ответ.
Ещё раз запишем все полученные (в пункте а) корни:
Таким образом, отрезку [– 270 0 ; 540 0 ] принадлежат корни:
– 180 0 ; – 60 0 ; 60 0 ; 180 0 ; 300 0 ; 420 0 и 540 0
Вопрос: какие «произвольные» коэффициенты k брать?
В пределах от –3 до 3, так как границы заданного интервала в подобных типовых заданиях ЕГЭ обычно лежат «недалеко» от нуля.
Данный способ совершенным назвать нельзя. Но он, безусловно, позволяет находить верное решение. Важно перебрать необходимые значения k и убедиться, что получены все корни принадлежащие данному отрезку.
Для чего углы мы переводили из радианной меры в градусную?
Многим наиболее «понятна» работа с углами в градусной мере.
Суть его заключается в следующем:
1. Берём один из корней.
2. Составляем неравенство (корень принадлежит указанному интервалу).
3. Решаем это неравенство.
4. Находим коэффициент(ы) k
5. Подставляем найденный коэффициент(ты) обратно в этот корень, и затем вычисляем.
И так поступаем с каждым корнем (полученным в пункте а).
Так как число k целое, то значит k1 = 0 k2 = 1
Вычисляем корни, принадлежащие интервалу:
Так как число k целое, то значит k1 = 0 k2 = 1
Вычисляем корни, принадлежащие интервалу:
Так как число k целое, то значит k1 = – 1, k2 = 0, k3 = 1
Для полинома в виде перепишем средний член в виде суммы двух членов, произведение коэффициентов которых равно , а сумма равна .
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Разобьем полином на множители, вынося наибольший общий делитель, .
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , то и все выражение будет равняться .
Найдем обратный синус от обеих частей уравнения, чтобы извлечь из-под синуса.
Функция синуса принимает положительные значения в первом и втором квадрантах. Для определения второго решения вычитаем решение из , чтобы найти решение во втором квадранте.
Для записи в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Модуль - это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Период функции равен , то есть значения будут повторяться через каждые радиан в обоих направлениях.
Найдем обратный синус от обеих частей уравнения, чтобы извлечь из-под синуса.
Функция синуса принимает отрицательные значения в третьем и четвертом квадрантах. Для определения второго решения вычитаем решение из , чтобы найти угол приведения. Затем прибавляем данный угол приведения к , чтобы найти решение в третьем квадранте.
Так как по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1, то sin 2 x = 1 – cos 2 x, следовательно получим уравнение:
Перенесем все в левую часть и решим уравнение:
D = b 2 – 4 * a * c = 3 2 – 4 * 1 * 2 = 9 – 8 = 1.
t1 = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2 = 2 1 ;
t1 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1 = 2 0 .
Сделав обратную подстановку, получим, что
sin 2 x = 1 или sin 2 x = 0.
Решим первое уравнение. Применим формулу понижения степени sin 2 x = (1 – cos 2x) / 2, получим:
Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.
К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.
С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Читайте также: