Найти формулу для n й производной функции y sin x
Обновлено: 05.07.2024
Заметим, что если аргумент у синуса есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто $x$), то производную нужно находить по следующей формуле:
Примеры вычисления производной синуса
Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \sin x$
Решение. Запишем искомую производную:
По правилам дифференцирования выносим двойку за знак производной:
и производная от синуса равна косинусу:
Ответ. $y^<\prime>(x)=2 \cos x$
Производная синуса не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Продифференцировать функцию $y(x)=\sin 2 x$
Решение. Искомая производная
Так как аргумент синуса является сложной функцией (там вместо просто $x$ стоит $2x$), то находим производную сложной функции, то есть находим производную синуса и умножаем на производную аргумента:
Константу выносим за знак производной, а производная от независимой переменной $x$ равна единице:
$$y^<\prime>(x)=\cos 2 x \cdot 2 \cdot(x)^<\prime>=2 \cos 2 x \cdot 1=2 \cos 2 x$$
Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если и , то
(4) .
Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.
Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.
Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Формула производной синуса доказана.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x .
Пример 1
Найти производную от sin 2x.
Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
( sin 2x )′ = 2 cos 2x.
Пример 2
Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .
Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.
Пример 3
Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .
Производные высших порядков
Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .
Докажем это, применяя метод математической индукции.
Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.
Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .
Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).
Биномиальные коэффициенты являются коэффициентами разложения бинома по степеням и :
.
Также число является числом сочетаний из n по k .
Доказательство формулы Лейбница
Применим формулу производной произведения двух функций:
(2) .
Перепишем формулу (2) в следующем виде:
.
То есть мы считаем, что одна функция зависит от переменной x , а другая – от переменной y . В конце расчета мы полагаем . Тогда предыдущую формулу можно записать так:
(3) .
Поскольку производная равна сумме членов, и каждый член является произведением двух функций, то для вычисления производных высших порядков, можно последовательно применять правило (3).
Тогда для производной n-го порядка имеем:
.
Учитывая, что и , мы получаем формулу Лейбница:
(1) .
Доказательство методом индукции
Приведем доказательство формулы Лейбница методом математической индукции.
Еще раз выпишем формулу Лейбница:
(4) .
При n = 1 имеем:
.
Это формула производной произведения двух функций. Она справедлива.
Предположим, что формула (4) справедлива для производной n -го порядка. Докажем, что она справедлива для производной n + 1 -го порядка.
Подставим в (5) и учтем, что :
.
Отсюда видно, что формула (4) имеет тот же вид и для производной n + 1 -го порядка.
Итак, формула (4) справедлива при n = 1 . Из предположения, что она выполняется, для некоторого числа n = m следует, что она выполняется для n = m + 1 .
Формула Лейбница доказана.
Пример
Вычислить n-ю производную функции
.
Применим формулу Лейбница
(2) .
В нашем случае
;
.
Находим производные от функции .
По таблице производных имеем:
.
Применяем свойства тригонометрических функций:
.
Тогда
.
Отсюда видно, что дифференцирование функции синус приводит к ее сдвигу на . Тогда
.
Находим производные от функции .
;
;
;
, .
Поскольку при , то в формуле Лейбница отличны от нуля только первые три члена. Находим биномиальные коэффициенты.
;
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(1) ;
2) Свойство непрерывности функции синус:
(2) ;
3) Значение первого замечательного предела:
(3) ;
4) Свойство предела от произведения двух функций:
Если и , то
(4) .
Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1) ;
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.
Сделаем подстановку . При , . Используем свойство непрерывности (2):
.
Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Тем самым мы получили формулу производной косинуса.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x ; y = cos 3 x и y = cos n x .
Пример 1
Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx.
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .
Итак, находим производную от функции
y = cos nx .
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Подставим :
(П1) .
Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.
Пример 2
Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2 x ; y = cos 3 x ; y = cos n x .
В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции – косинуса в степени n:
y = cos n x .
Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.
Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.
Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Подставим :
(П2) .
Далее мы можем применить формулу для произведения синуса и косинуса:
.
Тогда
.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .
Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.
Читайте также: