Найди уравнение и реши его 2 класс

Обновлено: 02.07.2024

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с<d, то оно равносильно уравнению , в котором НОД = 1.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = + bt, у = -at, где - целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017. Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

Ещё в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрели как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к олимпиадам, рассматривая контрольно- измерительные материалы Единого государственного экзамена встречаемся с заданиями, в которых предлагали уравнения с двумя переменными.

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c, где а, b, c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

(Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + bу = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

т.е. - решение данного уравнения.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Найти целое решение уравнения 16х - 34у = 7.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с<d, то оно равносильно уравнению , в котором НОД = 1.

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = х₀с + bt, у = y₀c-at, где х₀, y₀ - целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ bу = с НОД(а, b) = 1:

Находится целое решение уравнения ах + bу = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);
Составляется общая формула целых решений данного уравнения х = х₀с + bt, у = y₀c - at, где х₀, y₀ - целое решение уравнения ах + bу = 1, t – любое целое число.

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д.

Найти целые решения уравнения 407х - 2816у = 33.

1. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х - 256у = 3.

2.Решаем уравнение 37х - 256у = 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

3. Общий вид всех целых решений данного уравнения:

х = -83∙3 - 256t = -249 - 256t,

у = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Положив t = -1, получим х₁= 7, у₁= 1 и общие формулы решений примут вид: х = 7 - 256t, у = 1-37t.

2. Метод полного перебора всех возможных значений переменных,

входящих в уравнение.

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.

Выразим из уравнения переменную х через у , так как х и у – натуральные числа, то

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.

3. Решение уравнений методом разложения на множители.

Диофант наряду с линейными уравнениями рассматривал квадратные и кубические неопределенные уравнения. Решение их, как правило, сложно.

Рассмотрим такой случай, когда в уравнениях можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2

Перепишем уравнение в виде: у 2 - х 2 = 23, (у - х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

; ; ; ;

Решая полученные системы, находим:

; ;;;

4. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + ху – у – 2 = 0.

Выразим из данного уравнения у через х:

Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом.

; ;

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата.

Найдите все целочисленные решения уравнения: х 2 - 6ху + 13у 2 = 29.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,

х 2 - 6ху + 13у 2 = (х 2 - 6ху + 9у 2 ) + 4у 2 = (х - 3у) 2 + (2у) 2 = 29, значит (2у) 2 29.

1. у = 0, (х - 0) 2 = 29. Не имеет решений в целых числах.

2. у = -1, (х + 3) 2 + 4 =29, (х + 3) 2 = 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5

3. у = 1, (х - 3) 2 +4 =29,

(х - 3) 2 =25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5

4. у = -2, (х + 6) 2 + 16 = 29, (х + 6) 2 = 13. Нет решений в целых числах.

5. у=2, (х-6) 2 +16=29, (х-6) 2 =13. Нет решений в целых числах.

Ответ: (2; -1); (-8; -1); (8; 1); (-2; 1).

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных.

Решить уравнение в целых числах: 5х 2 +5у 2 +8ху+2у-2х+2=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х 2 + (8у - 2)х + 5у 2 + 2у + 2 = 0

D = (8у - 2) 2 - 4·5(5у 2 + 2у + 2) = 64у 2 - 32у + 4 = -100у 2 - 40у – 40= = -36(у 2 + 2у + 1) = -36(у + 1) 2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Решить в целых числах уравнение:

(х 2 + 4)(у 2 + 1) = 8ху

Заметим, что если – решение уравнения, то – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

тогда их произведение , значит,

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

8.Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: х 2 + у 2 = z 2 .

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т.е. прямоугольник треугольников, у которых и катеты х,у и гипотенуза z выражаются целыми числами.

Для начальных значений u и v формулы приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

3 2 + 4 2 = 5 2 (u = 1, v = 3), 5 2 + 12 2 = 13 2 (u = 1, v = 5), 15 2 + 8 2 = 17 2 (u = 3, v = 5)

Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах, на произвольный общий множитель а.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите уравнение 9х+22у-1=0

Решение: Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой 2:

2. 1 = 9 - 4∙2 = 9 - (22 - 9∙2) ∙2 = 9∙5 + 22∙(-2),

т.е. х₀= 5, у₀= -2 - решение данного уравнения

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

1 ) Найди среди следующих записей уравнения, выпиши их и реши.
30 + x > 40
80 − x
45 − 5 = 40
38 − 8 < 50
60 + x = 90
x − 8 = 10
2 ) Сравни уравнения: чем они похожи, чем различаются?
x + 8 = 48
48 − x = 8

Решение 1

60 + x = 90
x = 30
60 + 30 = 90

x − 8 = 10
x = 18
18 − 8 = 10

Решение 2

x + 8 = 48
x = 40
40 + 8 = 48

48 − x = 8
x = 40
48 − 40 = 8

Уравнения похожи тем, что в них неизвестное число x, а известные числа 8 и 48 . Неизвестное число в обоих уравнениях равно 40 (x = 40 ).
Уравнения отличаются тем, что в первом уравнении неизвестно слагаемое, а во втором вычитаемое.

От куска ленты отрезали 4 м 6 дм 2 см, а потом ещё 5 м 1 дм 3 см. Сколько всего отрезали от ленты?

Можно было перевести все в сантиметры:
4 м 6 дм 2 см = 462 см
5 м 1 дм 3 см = 513 см
462 см + 513 см = 975 см

Математические загадки:
а) Игорь задумал число, прибавил к нему 400 и получил 900. Какое число задумал Игорь?
б) Таня тоже задумала число, вычла из него 600 и получила 200. Какое число задумала Таня?
в) Борис вычел задуманное им число из 700 и получил ответ 300. Какое число задумал Борис?

«После увеличения задуманного числа на 400 получилось 900. Значит, после уменьшения 900 на 400 получится задуманное число. 900 – 400 = 500. Значит, Игорь задумал число 500».

Можно упростить решение с помощью уравнений. По тексту задач можно составить и решить такие уравнения:

а) х + 400 = 900
х = 900 – 400
х = 500

б) х – 600 = 200
х = 600 + 200
х = 800

в) 700 – х = 300
х = 700 – 300
х = 400

Белка принесла в дупло в первый день 7 орехов и 6 грибов. Во второй день – 9 орехов, а грибов – на 5 больше, чем орехов. Заполни схему. Поставь вопросы к этому условию и ответь на них.

По данному условию можно составить задачи, задавая, например, вопросы:
– Сколько всего грибов и орехов принесла белка в первый день? 7 + 6 = 13.
– Сколько грибов принесла белка во второй день? 9 + 5 = 14.
– Сколько всего грибов и орехов принесла белка во второй день? 9 + 14 = 23.
– Сколько всего орехов принесла белка за два дня? 7 + 9 = 16.
– На сколько орехов меньше принесла белка во второй день, чем в первый? 9 – 7 = 2.
– Сколько всего грибов принесла белка за два дня? 6 + 14 = 20.
– Сколько всего грибов и орехов принесла белка за два дня? 13 + 23 = 36.
– В какой день принесла белка больше грибов и орехов – в первый или во второй – и на сколько? 23 – 13 = 10.

Ежу надо пройти до домика 80 м. Он прошёл сначала 26 м, потом на 9м больше и решил передохнуть. Сколько метров ему осталось пройти до домика?

– Чтобы узнать, сколько метров ежу осталось пройти, надо из длины всего пути ежа – 80 м – вычесть пройденный путь. (Ищем часть.) Пройденный путь не известен, но мы можем его найти, сложив расстояние, которое еж прошел сначала и потом. (Ищем целое.) По условию путь, который еж прошел сначала, — 26 м. Путь, который он прошел потом, на 9 м больше. Значит, чтобы его найти, надо к 26 м прибавить 9 м.
1) 26 + 9 = 35 (м) – прошел еж потом;
2) 26 + 35 = 61 (м) – прошел еж всего;
3) 80 – 61 = 19 (м)
Ответ: ежу осталось пройти 19 м.

Вставь в квадраты пропущенные цифры и сделай проверку.

Запиши число 6 в виде суммы нескольких равных слагаемых всеми возможными способами.

Уравнение – равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.

Корень уравнения – это значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство.

Решить уравнение, значит найти его корни.

Основная и дополнительная литература по теме урока

2. Моро М. И., Бантова М. А. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – С. 60.

3. Моро М. И., Волкова С. И. Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – С. 60.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы умеете читать буквенные выражения. Например:

Вы уже знаете, что равенства бывают верные и неверные.

Рассмотрим верное равенство с окошком: + 4 = 12

Запишем вместо окошка маленькую латинскую букву , как в буквенное выражение. Какое число надо поместить вместо буквы х, чтобы равенство стало верным?

Это число 8. Получили верное равенство: сумма чисел 8 и 4 равна 12.

Равенство с буквой , которое мы записали – это уравнение.

Неизвестное число обозначается маленькими латинскими буквами, как и в буквенном выражении.

Решить уравнение – значит найти все такие значения х (если они есть), при которых равенство будет верным. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство, называется корень уравнения.

Решим уравнение 10 – d = 6 способом подбора.

Возьмём число 5. Сейчас проверим, верно ли подобрали число. Заменим d в уравнении числом 5. Получим равенство: 10 – 5 = 6. Оно неверно. Значит, число подобрали неверно.

Попробуем взять другое число. Например, 4. При подстановке его вместо d получили верное равенство: 10 – 4 = 6. Значит, число четыре – корень уравнения, его решение.

Сейчас мы с вами рассмотрим, как по схеме составить уравнение. Перед нами такая схема. Изучим, что обозначает каждое число в схеме. Число 27 обозначает «целое». Оно состоит из двух частей. Первая «часть» – это число 20, вторая «часть» – это число х.

ЧАСТЬ + ЧАСТЬ = ЦЕЛОЕ

Рассмотрим другой пример. Перед вами другая схема. Изучим, где на схеме целое, а где части: х - это «целое», а 30 и 6 – это части.

Вывод: Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Когда решение уравнения находится легко, пользуются способом подбора. Нужно подобрать такое число, чтобы получилось верное равенство.

Читайте также: