N1 sin 1 n2 sin 2 какой закон
Обновлено: 25.06.2024
Исследовать на сходимость:Σ(((sin(n))^2)/n), где n от 1 до бесконечности.Я сперва понизила степень.Затем разложила косинус по Тейлору и в итоге получилось: n-(2(n)^2)/3+n^3/3.Это знакопеременный ряд, поэтому я сперва посмотрела модуль этого выражения и получилось, что необходимое условие сходимости не выполнено, т.е. по абсолютной величине ряд расходится.Значит проверяю на условную сходимость по признаку Лейбница: и получилось, а n-ый не стремится к 0, значит моя ряд расходится.Правильно ли я сделала?Или нельзя было раскладывать по Тейлору?
задан 4 Ноя '13 14:15
Формулу Тейлора здесь применять нельзя, так как $%n$% стремится к бесконечности, а не к нулю. Идею решения высказал ниже @all_exist, но эта задача на самом деле достаточно трудная технически, и из расходимости гармонического ряда напрямую вывод не следует, потому что для подпоследовательностей ряд может получаться сходящимся.
2 ответа
начит проверяю на условную сходимость по признаку Лейбница: - откуда она возьмётся. ведь ряд положительный.
Про Тейлора тоже неверно. и степень понижать было не зачем.
Я бы выбирал подпоследовательность чисел, для которых $%(\sin x)^2 \ge a > 0$% при некотором $%a$%. и воспользоваться признаком сравнения.
UPD: @falcao, идея построения, конечно, основана на том мы выкидываем часть значений, при которых $%|\sin x| < a$%, соответствующему дуге меньше одного радиана.
Но доказательство расходимости можно построить на замечании того, что можно выбрать подпоследовательность следующим образом: $%x_n=k\in B \; \Rightarrow (x_=k+3\in B)\; or \;(x_=k+4\in B)$%. при этом построенная последовательность мажорируется арифметической прогрессией, что гарантирует расходимость оставшегося в рассмотрении куска ряда.
отвечен 4 Ноя '13 17:10
ведь нужно найти еще такое а.или можно взять и сравнить исходное выражение с а/n и говорить,что так как а/n расходится то и исходный расходится?
@all_exist: тут нужно несколько более хитрое решение, потому что для подпоследовательности ряд может оказаться сходящимся.
@falcao, понятно, что стремимся выбрать расходящийся кусок. всёс правки.
Попробую изложить подробное формальное решение. Будем различать два случая: когда синус числа $%n$% "мал" по модулю, и когда он "велик". К первому случаю отнесём те $%n$%, для которых $%|\sin n| < 1/10$%, а ко второму -- все остальные. Обозначим через $%S$% множество элементов первого вида, и через $%B$% -- множество элементов второго вида. Иными словами, $%n\in S$% означает $%|\sin n| < 1/10$%, и $%n\in B$% означает $%|\sin n| \ge 1/10$%.
Теперь рассмотрим единичную окружность и проведём две прямые: $%y=1/10$% и $%y=-1/10$%. Между ними возникает полоса, которая пересекается с окружностью по двум маленьким дугам: дуге $%D_1$% вблизи точки $%(1;0)$%, и дуге $%D_2$% вблизи точки $%(-1;0)$%.
Из геометрических соображений должно быть очевидно следующее: если повернуть дуги $%D_1$% и $%D_2$% на угол 1 радиан (это около 57 градусов), то обе дуги попадут в область вне полосы между проведёнными прямыми. Из этого вытекает, что если $%n\in S$%, то $%n+1\in B$%. Это основной момент, и его надо осмыслить. Здесь сказано следующее: если синус угла $%n$% был "мал" по модулю, то точка единичной окружности, изображающая угол $%n$%, лежала внутри полосы, а потому на одной из дуг. Прибавив к $%n$% единицу, мы заведомо вышли за пределы этой полосы, поэтому синус числа $%n+1$% стал "большим", то есть по модулю он уже не меньше $%1/10$%.
Теперь доказательство завершается следующим образом. Ряд из условия задачи можно представить в виде суммы двух рядов, в одном из которых $%n$% принимает значения из $%S$%, а в другом -- из $%B$% (фактически мы просто рассматриваем два таких ряда). Наш ряд, члены которого неотрицательны, сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба рассматриваемых ряда. Для членов ряда $$\sum\limits_
отвечен 4 Ноя '13 21:16
Еще можно было бы сперва понизить степень,а затем домножить этот косинус на sin1 и поделить на него же.потом подставить пару чисел вместо n под косинусом .и потом разложить произведение синуса на косинус по формуле и получится,что все слагаемые уходят кроме первого и последнего. После чего мы сможем оценить полученное выражение. ( то есть по признаку Абеля-Дирихле сделать можно было)
@Яська: такого способа решения я не понимаю. Например, что означает выражение "понизить степень" в данном случае?
Я допускаю, что может быть какой-то другой способ доказательства, основанный, например, на признаках Абеля - Дирихле, но объяснения пока что не понимаю.
Какой смысл этого критерия? Надо показать, что при увеличении номера элемента последовательности разница между ближайшими элементами стремится в ноль. То есть чем дальше берём элемент, тем он меньше растёт.
В нашем случае Xn отличается от X(n-1) на последнее слагаемое. А записывается так:
|Xn- X(n-1)|=|(sinN)/2^(N)| - модуль берём, так как знак не интересует, а интересует только стремление в ноль.
А как мы определим это стремление в ноль? Надо взять любое самое маленькое придуманное число, назовем его h (эпсилон не изобразить) . Если найдем значение N при котором последовательность возрастает только на это маленькое число, то значит найдём всегда и на более меньшее число, значит разница между элементами исчезает и стремится в ноль. Теперь ищем это N :
|(sinN)/2^(N)|=h, можем заменить sinN=1 и найти N по полученной формуле. Задача решена.
Отношение "N+1"-го члена последовательности к "N"-му загоните под знак предела при N->беск. , получите 0, что недвусмысленно указывает на сходимость ряда
(sin x)' = cos x = sin (x + pi/2)
(sin x)'' = (cos x)' = -sin x = sin (x + pi) = sin (x + 2*pi/2)
Ну и т. д.
Заметил закономерность?
(sin x) n = sin (x + n*pi/2), где (sin x) n означает n-ю производную.
Ну, если уж строго, то нужно доказать это методом индукции:
при n = 1 имеем (sin x)' = cos x,
при n = m+1 имеем (sin x) n = ((sin x) m)' = (sin (x+m*pi/2))' = cos (x + m*pi/2) = sin (x + m*pi/2 + pi/2) = sin (x + (m+1)*pi/2) = sin (x + n*pi/2)
quod erat demonstrandum
ну так первая производная sinx равна cosx
вторая производная -sinx, третья -cosx, четвертая sinx и так далее по кругу
SIN, COS, -SIN, -COS, SIN, COS, -SIN, -COS.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина:
а) При каких натуральных значениях n это выражение положительно?
б) При каких натуральных значениях n это выражение отрицательно?
в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
Похожие решебники
Популярные решебники 10 класс Все решебники
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Читайте также: