Координата тела изменяется по закону x t sin t найти мгновенную скорость

Обновлено: 05.07.2024

При прямолинейном движении зависимость координаты тела x от времени t имеет вид:

Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 c при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду.)

При равноускоренном движении зависимость координаты тела от времени в общем виде следующая:

Сравнивая с выражением, данным в условии, получаем, что проекция начальной скорости равна а ускорение Таким образом, скорость тела в момент времени равна

Скажите пожалуйста, как вы нашли а? (а=v/t)

Самый просто способ нахождения ускорения по известному закону изменения координаты со временем — описан в решении. Нужно сравнить конкретный закон с общей формулой для равноускоренного движения. Коэффициент при — это половина ускорения.

Если Вы хорошо ориентируетесь в дифференциальном исчислении, то можно поступить следующим образом: ускорение — это вторая производная координаты по времени. Имеем

что-то не могу понять никак

v0* Коэффициент при t^2 =4*2=8 м/с^2 .

Давайте еще раз, более подробно.

Внимательно смотрим на данный нам в задаче закон изменения координаты со временем

Замечаем, что координата квадратично зависит от времени, вспоминаем, что это характерно для движения с постоянным ускорением. Выписываем общую формулу для координаты при таком движении.

Здесь — начальное положение тела в момент времени ; — начальная скорость; — ускорение.

Сравнивая конкретную формулу из условия и общую формулу получаем, что , следовательно, ускорение равно .

Теперь применяем формулу для скорости при равноускоренном движении

Для момента времени имеем:

Он применим для абсолютной любой зависимости координаты тела от времени, даже для случаев, когда тело двигается с переменным ускорением, но для того, чтобы его использовать необходимо: 1) уметь вычислять производные функций; 2) понимать, что скорость тела в некоторый момент времени — это производная координаты по времени в этот момент времени.

Для данной конкретной задачи. Закон изменения координаты имеет вид

Продифференцируем эту функцию по времени и получим функцию, описывающую изменение скорости со временем (штрих обозначает производную по времени)

Поставим в эту формулу момент времени и получим искомую величину.

Пример более сложного случая. Пусть координата изменяется по закону

Тут координата уже кубично зависит от времени, это не равноускоренное движение, ускорение меняется со временем, а значит, первый способ применить нельзя. Воспользуемся вторым

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается fили

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается или f'''(x). Производную n-го порядка обозначают f (n) (x) или y (n) .

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть

Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S'; a=v')

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним механический смысл производной:

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону (S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.

скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .

Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).

Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол

Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;

б) в какой момент времени маховик остановится?

Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ'. Тогда ω=(4t-0,2t 2 )=4-0,4t.

Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с).

б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю (ω=0) . Поэтому 4-0,4t=0.. Отсюда t=10 c.

Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.

Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.

Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3.

Производная второго порядка. Производная n-го порядка.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y''' или f'''(x) Производную n-го порядка обозначают f (n) (x) или y (n) .

Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:

1) f(x)= sin 2x

f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x

f (x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x

f'''(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x

f (4) (x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x

f (x)= 9∙ 2 3x ∙ln 2 2

f'''(x)= 27∙ 2 3x ∙ln 3 2

f (4) (x)= 81∙ 2 3x ∙ln 4 2

Механический смысл второй производной.

Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t 2 -3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.

найдём скорость точки в любой момент времени t.

Вычислим скорость в момент времени t=4 c.

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с 2 ) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с 2 ).

Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t 3 -3t 2 +5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.

Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma.

Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.

v=S’=(t 3 -3t 2 +5)’=3t 2 -6t.

Тогда v(4)=3∙4 2 -6∙4=24 (м/с).

Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t 2 -6t)’=6t-6.

Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с 2 ).

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Напишите производную третьего порядка для функции:

f(x)= 3cos4x-5x 3 +3x 2 -8

Решим данную задачу:

f’’’(x)=( 3cos4x-5x 3 +3x 2 -8)’’’=(((3cos4x-5x 3 +3x 2 -8)’)’)’=((-12sin4x-15x 2 +6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.

Ответ: 192sin4x-30

№ 2. Тип задания: выделение цветом

Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t 2 +2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.

v=38 м/с; a=6 м/с 2
v=38 м/с; a=5 м/с 2
v=32 м/с; a=6 м/с 2
v=32 м/с; a=5 м/с 2

Решим данную задачу:

Воспользуемся механическим смыслом второй производной:

v= S’(t)=( 3t 2 +2t-7)’=6t+2.

Вычислим скорость в момент времени t=6 c.

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t+2)’=6 и a(6)= 6 (м/с 2 ) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Точка движется по закону $s(t)=1+3t$. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от $t=0,8$ до $t=1$.

Определение производной. Физический смысл производной

Найдите среднюю скорость движения точки на отрезке [1; 1,2], если закон её движения $S= S(t)$ задан формулой:

Определение производной. Физический смысл производной

Точка движется по координатной прямой, причем в любой момент времени t ее координата равна $3+12t−t^$. Поставьте в соответствие на сколько переместится точка в каждый промежуток времени:

Найдите разницу конечной и начальной координаты точки

Определение производной. Физический смысл производной

Найдите приращение функции $f$ в точке $x_$, если:

1) $f(x)=2x^-3, x_=3, \triangle x=-0,2$

2) $f(x)=2x+1, x_=5, \triangle x=-0,01$

3) $f(x)=2x-3, x_=-2, \triangle x=0,1$

Определение производной. Физический смысл производной

Для заданной функции $f(x)$ найти $f(x+h)$

Определение производной. Физический смысл производной

На рисунке изображен график движения автомобиля. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени:

Определение производной. Физический смысл производной

Закон движения точки задан формулой $S(t)= 0,25t +2$. Найдите среднюю скорость движения от $t=4$ до $t=8$

Определение производной. Физический смысл производной

Найдите приращение $\triangle f$ в точке $х_0$, если:

$f(x)=cos^2x,x_0=\frac,x=\frac$
$f(x)=4x−x^2,x_0=2,5,x=2,6$
$f(x)=tgx,x_0=\frac,x=\frac$
$f(x)=\sqrt ,x_0=1,22,x=1,345$

Определение производной. Физический смысл производной

Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до точки М этой прямой изменяется по закону $S (t ) = ^ + \frac ^ - ^ +8 $. Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 3 секунды после начала движения? (Подчеркните верный ответ)

Определение производной. Физический смысл производной

Тело движется по прямой так, что расстояние S (в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону $S (t) = t> ^ - \frac ^ +3 ^ -21$. Чему будет равна мгновенная скорость через 3 секунды после начала движения?

Определение производной. Физический смысл производной

Поставьте в соответствие времени скорость: тело движется прямолинейно, его расстояние (в метрах) от начала отсчета изменяется по закону $S(t)=3t^−4t+5$. Определите скорость движения тела через t с после начала движения.

Определение производной. Физический смысл производной

Выберите варианты, где речь идет о средней скорости:

Самолет летит из Санкт-Петербурга в Москву со скоростью 800 км/ч;
Пуля вылетает из винтовки со скоростью 800 м/с;
Велосипедист едет по шоссе со скоростью 12 км/ч;
Прибор показывает скорость тепловоза 75 км/ч.

Вспомнить, что такое средняя скорость, а что такое мгновенная скорость

Определение производной. Физический смысл производной

Закон движения точки задан графиком зависимости пути S от времени t.

Точка движется по закону $s(t)=1+3t$. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от $t=0,8$ до $t=1$.

Определение производной. Физический смысл производной

Найдите среднюю скорость движения точки на отрезке [1; 1,2], если закон её движения $S= S(t)$ задан формулой:

Определение производной. Физический смысл производной

Найдите разницу конечной и начальной координаты точки

Определение производной. Физический смысл производной

Найдите приращение функции $f$ в точке $x_$, если:

1) $f(x)=2x^-3, x_=3, \triangle x=-0,2$

2) $f(x)=2x+1, x_=5, \triangle x=-0,01$

3) $f(x)=2x-3, x_=-2, \triangle x=0,1$

Определение производной. Физический смысл производной

Для заданной функции $f(x)$ найти $f(x+h)$

Определение производной. Физический смысл производной

На рисунке изображен график движения автомобиля. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени:

Определение производной. Физический смысл производной

Закон движения точки задан формулой $S(t)= 0,25t +2$. Найдите среднюю скорость движения от $t=4$ до $t=8$

Определение производной. Физический смысл производной

Найдите приращение $\triangle f$ в точке $х_0$, если:

$f(x)=cos^2x,x_0=\frac,x=\frac$
$f(x)=4x−x^2,x_0=2,5,x=2,6$
$f(x)=tgx,x_0=\frac,x=\frac$
$f(x)=\sqrt ,x_0=1,22,x=1,345$

Определение производной. Физический смысл производной

Выберите варианты, где речь идет о средней скорости:

Самолет летит из Санкт-Петербурга в Москву со скоростью 800 км/ч;
Пуля вылетает из винтовки со скоростью 800 м/с;
Велосипедист едет по шоссе со скоростью 12 км/ч;
Прибор показывает скорость тепловоза 75 км/ч.

Вспомнить, что такое средняя скорость, а что такое мгновенная скорость

Определение производной. Физический смысл производной

Закон движения точки задан графиком зависимости пути S от времени t.

Читайте также: