Исследуйте функцию на монотонность y x4 2x2 3
Обновлено: 05.07.2024
Отметим данные точки по порядку на числовой прямой (- 3), 0, 1. Они делят числовую прямую на 4 промежутка: 1) (- ∞; - 3); 2) (- 3; 0); 3) (0; 1); 4) (1; + ∞). На 1 и 4 промежутках производная положительна, а сама функция - возрастает. На промежутках 2 и 3 производная отрицательна, а сама функция убывает. Точки х = - 3 - точка минимума., х = 1 - точка максимума.
Ответ. Возрастает на (- ∞; - 3); (1; + ∞). Убывает на (- 3; 0); 3) (0; 1). х = - 3 - точка минимума., х = 1 - точка максимума.
а) y=x^4-2x^2-3 1. Находим производную: y'=4x^3-4x 2. Сравнение с нулем: 4x^3-4x=0 4x(x^2-1)=0 4x=0 или x^2-1=0 x=0 или x=±1 3. Теперь на каждом промежутке определяем знак производной. На (-∞;-1): y'(-2)=4*(-2)^3-4*(-2) = -32+8=-24 <0 (убывает) На (-1;0): y'(-0,5)=4*(-0,5)^3-4*(-0,5) = -0,5+2=1,5 >0 (возрастает) На (0;1): y'(0,5)=4*(0,5)^3-4*0,5= 0,5-2=-1,5 <0 (убывает) На (1;+∞): y'(2)=4*2^3-4*2 = 32-8=24 >0 (возрастает) Функция убывает на промежутках (-∞;-1) и (0;1). Функция возрастает на промежутках (-1;0) и (1;+∞). б) y=5x^5-1 1. y'= 25x^4 2. 25x^4=0 х=0 3. Отмечаем 0 на числовой прямой и определяем знак производной на каждом промежутке: На (-∞;0): y'(-1)= 25*(-1)^4 = 25 >0 На (0;+∞): y'(1)= 25* 1^4 = 25 >0 => функция возрастает в) y=(1-2x)/(3+2x) 1. y'=((1-2x)'(3+2x) - (1-2x)(3+2x)') / (3+2x)^2 = (2(3+2x) - (1-2x)2) / (3+2x)^2 = (6+4x-2+4x) / (3+2x)^2 = (8x-4) / (3+2x)^2 2. (8x-4) / (3+2x)^2 =0 8x-4=0 8x=4 x=1/2 (3+2x)^2 ≠ 0 9+12x+4x^2 ≠ 0 Д=b^2-4ac = 144-4*4*9=144-144=0 x≠ -b / 2a = -12/8= -3/2=-1,5 3. Отмечаем точки на прямой ( точка -1,5 будет выколотой). Определяем знаки производной. На (-∞;1/2): y'(-2)= -12<0 (убывает) На (1/2;+∞): y'(-1)= 24 >0 (возрастает)
а). Исследуем функцию y = 3/(x + 1) – 4 на монотонность по следующей схеме:
1). Найдем ОДЗ функции: х + 1 ≠ 0 → х ≠ 1. х ∈ (-∞; - 1) U (-1; ∞).
2). Найдем производную: y‘ = (3/(x + 1) – 4)’ = 3/( x + 1) 2 .
3) Найдем критические точки производной из ОДЗ: 3/( x + 1) 2 = 0 → х ≠ 1.
Функция существует при всех х, кроме х = -1.
Значит, х = -1 – единственная критическая точка.
4). Критическая точка х = -1 разбивает числовую ось на два промежутка:
5). Определим интервалы знакопостоянства производной y‘ :
y‘>-1 на промежутке (-∞; -1), так как y‘ = 3/( -2 + 1) 2 = 3> 0;
y‘>-1 на промежутке (-1; +∞), так как y‘ = 3/( 0 + 1) 2 = 3> 0.
Функция терпит разрыв в точке х = -1, график её гипербола.
Ответ: функция возрастает на ОДЗ, не монотонна.
2) Определим с помощью дискриминанта, сколько корней имеет уравнение, в зависимости от p: -x 2 + 6х – 2 = р.
-x 2 + 6x - 2 - p = 0 →D = 6 2 – 4 * (-1) * (-(2 – p)) = 36 – 8 – p = 28 – p.
В зависимости от знака дискриминанта квадратного уравнения зависит количество корней.
Провести исследование и построить график y=x^4-2x^2+3
Решение
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является четной.
у(-х)=(-х)^4-2*(-x)^2+3=x^4-2x^2+3
y(-x)=y(x)
3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=+бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=+бесконечность.
Горизонтальных асимптот нет
Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→бесконечность)(x^4-2x^2+3)/x=+бесконечность
4) f(x)=0
x^4-2x^2+3=0
D=4-4*3 < 0
Точек пересечения с осью Ох нет.
При х=0 у=3
(0;3) - точка пересечения с осью Оу.
Знак производной
_-__ (-1) ___+___ (0) __–__ (1 ) __+__
x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на -
x=-1 и х=1 - точки минимума, производная меняет знак с - на +
Функция убывает при x∈ (-бесконечность;-1) и x∈ (0;1)
возрастает при x∈ (-1;0) и (1;+бесконечность)
7)y``=(4x^3-4x)`=12x^2-4
y``=0
12x^2-4=0
x= ± sqrt(1/3) -точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вниз на (- бесконечность ;-sqrt(1/3)) и на (sqrt(1/3);+ бесконечность )
выпукла вверх на (-sqrt(1/3);sqrt(1/3))
Читайте также: