Использование функции синуса в реальной жизни

Обновлено: 05.07.2024

Данная тема является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки, а также тесно связана с деятельностью человека. Имеет теоретическую и практическую значимость.

Объект исследования: Тригонометрия.

Предмет исследования: Графики тригонометрической функции

Узнать о способах применения графиков тригонометрических функции в жизни человека.

Составить историческую справку о графиках тригонометрических функций.

Описать применение графиков тригонометрических функций в окружающем нас мире и различных отраслях.

Вывести свой биоритм жизни.

Изготовить демонстрационную модель движения графика синуса.

Графики тригонометрических функций широко применяются человеком, начиная с древности, и заканчивая настоящим временем.

Теоретическая часть

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации, например, компьютерной томографии и ультразвук, в химии (Приложение 1, рис.1), в сейсмологии (Приложение 1, рис.2), в метеорологии, в океанографии (Приложение 1, рис.3), в архитектуре (Приложение 1, рис.4), в экономике, в компьютерной графике, в кристаллографии (Приложение 1, рис.5) и многих других областях.

Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.

История возникновения

Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая (Приложение 2, рис.1) . 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры (Приложение 2, рис. 2). Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла.

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птоломей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.

В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:

· точного определения времени суток; (Приложение 2, рис. 3)

· вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;

· нахождения географических координат текущего места;

· вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.

Гномон— древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест), позволяющий по наименьшей длине его тени (в полдень)

определить угловую высоту солнца. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномонавысотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке слева)

Тригонометри́ческие фу́нкции (Приложение 2, рис. 5) — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Синус и косинус относятся к прямым тригонометрическим функциям.

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» ( جيب‎ ). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus — «синус», имеющим то же значение (следует отметить, что именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус). Термин «косинус» (лат. Cosinus) — это сокращение от лат. Complementi sinus — дополнительный синус.

Первый график синусоиды (Приложение 2, рис. 6) появился в книге Альбрехта Дюрера (Приложение 2, рис. 4) «Руководство к измерению циркулем и линейкой» (нем. Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, 1525 год). В 1630-х годах, Жиль Роберваль (Приложение 2, рис. 7), в ходе своих исследований циклоиды, независимо вычертил синусоиду, он же опубликовал формулу тангенса двойного угла. Джон Валлис (Приложение 2, рис. 8) в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех квадрантах и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил Джеймс Грегори (1668) (Приложение 2, рис. 9).

В настоящее время график синуса можно встретить в следующих моментах нашей жизни.

Архитектура

Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений

рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой.

Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (то же самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения

Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.

Медицина и биология.

Модель биоритмов (Приложение 2, рис.11), которые в свою очередь подразумевают цикличность процессов в живом организме можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Формула сердца. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров, деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории вновь позабыли.

Движение рыб в воде и полёт птиц (Приложение 2, рис. 10) происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Измерительные работы

Тригонометрией пользуются при измерении расстояния между точек на местности. Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта «дерево». На местности можно выбрать точку B, и измерить длину с отрезка АВ. Затем измерим, например, с помощью астролябии, углы A и B. Эти данные, т.е. c, a и b позволяют решить треугольник АВС и найти искомое расстояние d = AC. Сначала находим угол С, sinC: С=180-а- b , sinC = sin (180- a - b )= sin ( a + b ). Затем с помощью теоремы синусов находим d.

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерием, астрономией и строительным делом.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° - a)).

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

А теперь посмотрите фильм о развитии математики, на 29 минуте - о тригонометрии.

Математика - это очень просто, даже проще, чем мы можем себе представить. Сложной математику делают сами математики.

пятница, 8 апреля 2011 г.

Зачем нужны синусы и косинусы?

Зачем нужны синусы и косинусы? Действительно, интересный вопрос. В комментариях к тригонометрическому кругу синусов и косинусов появился такой вопрос:

а где в жизни пригодится sin и cos?
p.s зачем они нужны синусы косинусы?

Давайте будем называть вещи своими именами. Подавляющему большинству из вас они никогда не пригодятся. Разве что, когда ваши дети пойдут в школу и начнут изучать тригонометрические функции, они вам тоже зададут вопрос "Зачем нужны синусы и косинусы?" и, в добавок, попросят объяснить, что это такое.

Деньгами мы пользуемся каждый день уже не одну тысячу лет и прекрасно обходимся без всяких синусов, косинусов и прочих изящных математических штучек. Уверяю вас, и через миллионы лет в подсчете денег ничего не изменится. Не потому, что мы такие тупые, а потому, что таковы математические свойства денег: нельзя рубли умножить на рубли и с деньгами во второй степени бежать в автосалон покупать "Ламбарджини".

На кухне, в кулинарных рецептах, вы тоже не встретите ни синусов, ни косинусов. Если взглянуть трезво на нашу повседневную жизнь, то вся наша повседневная математика остается где-то на уровне знаний Древней Греции. Нам хватает с головой.

Так зачем же нужны синусы и косинусы? По сравнению с Древней Грецией, у нас сегодня имеется очень много разных штучек, о которых древние греки даже мечтать не могли. Даже их Боги не ездили на машинах, не пользовались мобильной связью, не общались по Интернету. Зато всё это есть у нас и мы постоянно этим пользуемся. Откуда же всё это невиданное богатство взялось? Его создали мы сами. Сперва ученые делали научные открытия. Потом инженеры, на основании сделанных учеными открытий, создавали всякие полезные штуки. Мы сегодня этими штуками пользуемся, не имея ни малейшего понятия о том, что находится внутри этих штук и какие научные законы положены в основу их работы. Так вот, если бы не было синусов и косинусов, не было бы и всех этих клевых штук.

Наиболее эффективно синусы и косинусы применяются учеными и инженерами. Я не скажу, что они непрерывно только тригонометрическими функциями пользуются. Нет, они используют их редко, но метко. Синусы и косинусы часто присутствуют в формулах разных расчетов, инженерных или научных.

Преподаватели математики по роду своих обязанностей постоянно имеют дело с тригонометрическими функциями. В этом году они рассказывали о синусах и косинусах вам, на следующий год учителя математики будут рассказывать то же самое другим ученикам. Такая у них работа - учить.

Школьники и студенты изучают тригонометрические функции на уроках математики. Лично я прошел через пытки синусами и косинусами в школе, техникуме, институте.

Взрослые иногда занимаются синусами и косинусами тогда, когда их детям-школьникам необходима помощь при подготовке домашних заданий.

Всё! Остальным синусы и косинусы не нужны вообще! В повседневной жизни большинство людей почти никогда их не используют. Если я ошибаюсь, поправьте меня.

Так зачем тогда вообще учить эти синусы и косинусы? Ну, во-первых, такова школьная программа. Во-вторых, если вам в жизни понадобится применить синус или косинус, вы уже знаете, что это такое и где нужно искать информацию о них. Полученных в школе знаний вам вполне хватит, что бы самостоятельно во всем разобраться.

Так что же такое синусы, косинусы и другие тригонометрические функции? Это математический инструмент, которым нужно уметь пользоваться. То, что мы этим инструментом почти никогда не пользуемся, говорит не о том, что изучать их не надо, а о том, что эффективность применения полученных нами знаний практически равна нулю. Но это уже совсем другая тема.

Актуальность:

Объект исследования: Тригонометрия.

Предмет исследования: Графики тригонометрической функции – синусоида и косинусоида.

Узнать о способах применения графиков тригонометрических функции в жизни человека.

Составить историческую справку о графиках тригонометрических функций.

Описать применении графиков тригонометрических функций в окружающем нас мире и различных отраслях.

Вывести свой биоритм жизни.

Изготовить демонстрационную модель движения графика синуса.

Теоретическая часть

История возникновения

В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:

· точного определения времени суток; (Приложение 2, рис. 3)

· вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;

· нахождения географических координат текущего места;

· вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.

Синус и косинус относятся к прямым тригонометрическим функциям.

В настоящее время график синуса можно встретить в следующих моментах нашей жизни.

Архитектура

Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (то же самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения

Медицина и биология.

Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Измерительные работы

Тригонометрией пользуются при измерение расстояния между точек на местности. Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта «дерево». На местности можно выбрать точку B и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы A и B. Эти данные, т.е. c, a и b позволяют решить треугольник АВС и найти искомое расстояние d = AC. Сначала находим угол С sinC: С=180-а- b , sinC = sin (180- a - b )= sin ( a + b ). Затем с помощью теоремы синусов находим d.

Практическая часть

Изготовление демонстрационной модели движения графика синуса.

Для изготовления данной модели мне потребовалось:

Изготовление модели мы начали с того, что:

Вырезали фанеру по нужному размеру.

Нанесли на неё разметку в виде графика синуса и косинуса на координатной плоскости.

Панель покрыли мебельным лаком.

По контуру синусоиды разместили силовые кнопки.

По силовым кнопкам протянули шляпную резинку с обозначением начальной точки.

Испытали модель в действии.

Описание аналитической части.

Изучив графики тригонометрических функций – синусоиду и косинусоиду, можно сделать вывод, что тригонометрия тесно связана с жизнью человека и его деятельностью, начиная с древности, и заканчивая настоящим временем.

Исследовав аналитический материал, мы выяснили, что тригонометрия присутствует во многих областях науки.

Дали строгие определения тригонометрии и тригонометрическим функциям.

Определили сферы применения синусоиды и косинусоиды, а также подтвердили значимость математики в окружающем нас мире. В ходе практического исследования применили полученные знания..

Мы убедились, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась и графики тригонометрических функций – синусоида и косинусоида действительно являются яркими представительницами в окружающем нас мире, а не только линиями в тетради. Они являются замечательными кривыми, которые практически всегда рядом с нами.

Хочется, чтобы данное исследование оказалось не только интересным, но и полезным. А демонстрационная модель будет служить наглядностью на уроках математики при изучении этих функций. Имеет метапредметную связь с другими областями науки.

Читайте также: