График функции y модуль sin x
Обновлено: 16.05.2024
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac<\left|
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_ = \pi$$
Численное решение
$$x_ = -94.2477796077$$
$$x_ = 31.4159265359$$
$$x_ = 81.6814089933$$
$$x_ = 84.8230016469$$
$$x_ = -53.407075111$$
$$x_ = 65.9734457254$$
$$x_ = 3.14159265359$$
$$x_ = 15.7079632679$$
$$x_ = 100.530964915$$
$$x_ = 50.2654824574$$
$$x_ = -3.14159265359$$
$$x_ = 40.8407044967$$
$$x_ = -59.6902604182$$
$$x_ = 97.3893722613$$
$$x_ = 78.5398163397$$
$$x_ = -25.1327412287$$
$$x_ = -43.9822971503$$
$$x_ = 25.1327412287$$
$$x_ = -81.6814089933$$
$$x_ = -91.1061869541$$
$$x_ = 87.9645943005$$
$$x_ = 69.115038379$$
$$x_ = -34.5575191895$$
$$x_ = 28.2743338823$$
$$x_ = -31.4159265359$$
$$x_ = 37.6991118431$$
$$x_ = -28.2743338823$$
$$x_ = 72.2566310326$$
$$x_ = 56.5486677646$$
$$x_ = -75.3982236862$$
$$x_ = -69.115038379$$
$$x_ = -6.28318530718$$
$$x_ = -9.42477796077$$
$$x_ = 6.28318530718$$
$$x_ = 75.3982236862$$
$$x_ = -65.9734457254$$
$$x_ = -87.9645943005$$
$$x_ = -72.2566310326$$
$$x_ = 18.8495559215$$
$$x_ = -267.035375555$$
$$x_ = -84.8230016469$$
$$x_ = 9.42477796077$$
$$x_ = -50.2654824574$$
$$x_ = -56.5486677646$$
$$x_ = -232.477856366$$
$$x_ = -2642.07942167$$
$$x_ = 91.1061869541$$
$$x_ = 59.6902604182$$
$$x_ = -47.1238898038$$
$$x_ = 12.5663706144$$
$$x_ = -62.8318530718$$
$$x_ = 62.8318530718$$
$$x_ = -18.8495559215$$
$$x_ = -12.5663706144$$
$$x_ = -37.6991118431$$
$$x_ = -97.3893722613$$
$$x_ = 94.2477796077$$
$$x_ = 34.5575191895$$
$$x_ = -21.9911485751$$
$$x_ = 21.9911485751$$
$$x_ = -100.530964915$$
$$x_ = 53.407075111$$
$$x_ = -113.097335529$$
$$x_ = -78.5398163397$$
$$x_ = 0$$
$$x_ = 43.9822971503$$
$$x_ = -40.8407044967$$
$$x_ = -15.7079632679$$
$$x_ = 47.1238898038$$
В разделе "Определение значений тригонометрических функций любого угла" мы выяснили, что поведение тригонометрических функций, и функции у = sin х в частности, на всей числовой прямой (или при всех значениях аргумента х) полностью определяется ее поведением в интервале 0 < х < π/2 . Поэтому прежде всего мы построим график функции у = sin х именно в этом интервале. Составим следующую таблицу значений нашей функции;Отмечая соответствующие точки на плоскости координат и соединяя их плавной линией, мы получаем кривую, представленную на рисунке Полученную кривую можно было бы построить и геометрически, не составляя таблицы значений функции у = sin х. 1.Первую четверть окружности радиуса 1 разделим на 8 равных частей.Ординаты точек деления окружности представляют собой синусы соответствующих углов. 2.Первая четверть окружности соответствует углам от 0 до π/2. Поэтому на оси хвозьмем отрезок [0 , π/2 ] и разделим его на 8 равных частей. 3.Проведем прямые, параллельные оси х, а из точек деления восставим перпендикуляры до пересечения с горизонтальными прямыми. 4.Точки пересечения соединим плавной линией. Теперь обратимся к интервалу π/2 < х < π.
Каждое значение аргумента х из этого интервала можно представить в виде
x = π/2 + φ где 0 <φ < π/2 . По формулам приведения sin ( π/2 + φ) = соsφ = sin ( π/2 — φ). Точки оси х с абциссами π/2 + φ и π/2 — φ симметричны друг другу относительно точки оси х с абсциссой π/2, и синусы в этих точках одинаковы. Это позволяет получить график функции у = sin х в интервале [π/2 , π ] путем простого симметричного отображения графика этой функции в интервале [0 , π/2] относительно прямой х = π/2. Теперь, используя свойство нечетности функции у = sin х, sin (— х) = — sin х, легко построить график этой функции в интервале [— π, 0]. Функция у = sin х периодична с периодом 2π;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом 2π. Полученная в результате этого кривая называется синусоидой. Она и представляет собой график функции у = sin х. Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции у = sin х, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства. 1) Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел. 2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1< у < 1. При х = π/2 + 2kπфункция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = — π/2 + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1. 3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат). 4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π. 5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n — любое целое число) она положительна, а в интервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; . ) называются нулями функции у = sin x 6) В интервалах — π/2 + 2nπ < х < π/2 + 2nπ функция у = sin x монотонно возрастает, а в интервалах π/2 + 2kπ < х < 3π/2 + 2kπ она монотонно убывает. Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точких= 0. Как видно из рисунка , в окрестности точки х = 0 синусоида почти сливается с биссектрисой 1-го и 3-го координатных углов. Поэтому при малых углах х, выраженных в радианах, или при малых по абсолютной величине числовых значениях х (как положительных, так и отрицательных) sin x ≈ x. Например, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (—0,05) ≈ —0,05; sin 2° = sin π • 2 /180 = sin π/90 ≈ 0,03 ≈ 0,03. Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х | sin x | < | x |. (1) Действительно, пусть радиус окружности, представленной на рисунке, равен 1,
a / AОВ = х. Тогда sin x = АС. Но АС < АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Длина этой дуги равна, очевидно, х, так как радиус окружности равен 1. Итак, при 0 < х < π/2 sin х < х. Отсюда в силу нечетности функции у = sin x легко показать, что при — π/2 < х < 0 | sin x | < | x |. Наконец, при x = 0 | sin x | = | x |. Таким образом, для | х | < π/2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π/2 в силу того, что | sin х | < 1, а π/2 > 1 Упражнения 1.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (—3). 2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала
[ — π/2 , π/2] имеет синус, равный: а) 0,6; б) —0,8. 3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус,
равный 1/2. 4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (—0,015); г) sin (—2°30').
Новые вопросы в Математика
Докажите, что биссектрисы вертикальных углов являются противоположными лучами
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin<\left (\left|
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_ = 0$$
$$x_ = \pi$$
Численное решение
$$x_ = -94.2477796077$$
$$x_ = 31.4159265359$$
$$x_ = 81.6814089933$$
$$x_ = 84.8230016469$$
$$x_ = -53.407075111$$
$$x_ = 65.9734457254$$
$$x_ = 3.14159265359$$
$$x_ = 15.7079632679$$
$$x_ = 100.530964915$$
$$x_ = 50.2654824574$$
$$x_ = -3.14159265359$$
$$x_ = 40.8407044967$$
$$x_ = -59.6902604182$$
$$x_ = 97.3893722613$$
$$x_ = 78.5398163397$$
$$x_ = -25.1327412287$$
$$x_ = -43.9822971503$$
$$x_ = 25.1327412287$$
$$x_ = -81.6814089933$$
$$x_ = -91.1061869541$$
$$x_ = 87.9645943005$$
$$x_ = 69.115038379$$
$$x_ = -34.5575191895$$
$$x_ = 28.2743338823$$
$$x_ = -31.4159265359$$
$$x_ = 37.6991118431$$
$$x_ = -28.2743338823$$
$$x_ = 72.2566310326$$
$$x_ = 56.5486677646$$
$$x_ = -75.3982236862$$
$$x_ = -69.115038379$$
$$x_ = -6.28318530718$$
$$x_ = -9.42477796077$$
$$x_ = 6.28318530718$$
$$x_ = 75.3982236862$$
$$x_ = -65.9734457254$$
$$x_ = -87.9645943005$$
$$x_ = -72.2566310326$$
$$x_ = 18.8495559215$$
$$x_ = -84.8230016469$$
$$x_ = 9.42477796077$$
$$x_ = -50.2654824574$$
$$x_ = -56.5486677646$$
$$x_ = -232.477856366$$
$$x_ = -279.601746169$$
$$x_ = -2642.07942167$$
$$x_ = 91.1061869541$$
$$x_ = 59.6902604182$$
$$x_ = -47.1238898038$$
$$x_ = 12.5663706144$$
$$x_ = -62.8318530718$$
$$x_ = 62.8318530718$$
$$x_ = -18.8495559215$$
$$x_ = -12.5663706144$$
$$x_ = -37.6991118431$$
$$x_ = -97.3893722613$$
$$x_ = 94.2477796077$$
$$x_ = 34.5575191895$$
$$x_ = -21.9911485751$$
$$x_ = 21.9911485751$$
$$x_ = -100.530964915$$
$$x_ = 53.407075111$$
$$x_ = -113.097335529$$
$$x_ = -78.5398163397$$
$$x_ = 0$$
$$x_ = 43.9822971503$$
$$x_ = -40.8407044967$$
$$x_ = -15.7079632679$$
$$x_ = 47.1238898038$$
подставляем x = 0 в sin(|x|).
$$\sin<\left (\left|<0>\right| \right )>$$
Результат:
$$f <\left (0 \right )>= 0$$
Точка:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac f <\left (x \right )>= 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac f <\left (x \right )>= $$
Первая производная
$$\cos<\left (\left|
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ = -54.9778714378$$
$$x_ = 39.2699081699$$
$$x_ = -19812.4540699$$
$$x_ = 51.8362787842$$
$$x_ = 86.3937979737$$
$$x_ = -17.2787595947$$
$$x_ = 45.5530934771$$
$$x_ = 61.261056745$$
$$x_ = 83.2522053201$$
$$x_ = -70.6858347058$$
$$x_ = -89.5353906273$$
$$x_ = 92.6769832809$$
$$x_ = 76.9690200129$$
$$x_ = -32.9867228627$$
$$x_ = -4.71238898038$$
$$x_ = -48.6946861306$$
$$x_ = -80.1106126665$$
$$x_ = -42.4115008235$$
$$x_ = -58.1194640914$$
$$x_ = 1.57079632679$$
$$x_ = -95.8185759345$$
$$x_ = 17.2787595947$$
$$x_ = 95.8185759345$$
$$x_ = -36.1283155163$$
$$x_ = -64.4026493986$$
$$x_ = 36.1283155163$$
$$x_ = -61.261056745$$
$$x_ = -92.6769832809$$
$$x_ = 32.9867228627$$
$$x_ = -14.1371669412$$
$$x_ = 80.1106126665$$
$$x_ = 4.71238898038$$
$$x_ = 10.9955742876$$
$$x_ = 7.85398163397$$
$$x_ = 23.5619449019$$
$$x_ = -39.2699081699$$
$$x_ = 64.4026493986$$
$$x_ = -73.8274273594$$
$$x_ = 20.4203522483$$
$$x_ = -26.7035375555$$
$$x_ = -83.2522053201$$
$$x_ = -98.9601685881$$
$$x_ = 48.6946861306$$
$$x_ = 29.8451302091$$
$$x_ = 14.1371669412$$
$$x_ = 98.9601685881$$
$$x_ = -45.5530934771$$
$$x_ = -51.8362787842$$
$$x_ = -67.5442420522$$
$$x_ = -271.747764536$$
$$x_ = 54.9778714378$$
$$x_ = 26.7035375555$$
$$x_ = -86.3937979737$$
$$x_ = -20.4203522483$$
$$x_ = -168.075206967$$
$$x_ = -76.9690200129$$
$$x_ = 89.5353906273$$
$$x_ = -10.9955742876$$
$$x_ = -7.85398163397$$
$$x_ = -1.57079632679$$
$$x_ = -23.5619449019$$
$$x_ = 73.8274273594$$
$$x_ = 70.6858347058$$
$$x_ = 0$$
$$x_ = 42.4115008235$$
$$x_ = 67.5442420522$$
$$x_ = 58.1194640914$$
$$x_ = -29.8451302091$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_ = -54.9778714378$$
$$x_ = 86.3937979737$$
$$x_ = -17.2787595947$$
$$x_ = 61.261056745$$
$$x_ = 92.6769832809$$
$$x_ = -4.71238898038$$
$$x_ = -48.6946861306$$
$$x_ = -80.1106126665$$
$$x_ = -42.4115008235$$
$$x_ = 17.2787595947$$
$$x_ = -36.1283155163$$
$$x_ = 36.1283155163$$
$$x_ = -61.261056745$$
$$x_ = -92.6769832809$$
$$x_ = 80.1106126665$$
$$x_ = 4.71238898038$$
$$x_ = 10.9955742876$$
$$x_ = 23.5619449019$$
$$x_ = -73.8274273594$$
$$x_ = -98.9601685881$$
$$x_ = 48.6946861306$$
$$x_ = 29.8451302091$$
$$x_ = 98.9601685881$$
$$x_ = -67.5442420522$$
$$x_ = 54.9778714378$$
$$x_ = -86.3937979737$$
$$x_ = -168.075206967$$
$$x_ = -10.9955742876$$
$$x_ = -23.5619449019$$
$$x_ = 73.8274273594$$
$$x_ = 0$$
$$x_ = 42.4115008235$$
$$x_ = 67.5442420522$$
$$x_ = -29.8451302091$$
Максимумы функции в точках:
$$x_ = 39.2699081699$$
$$x_ = -19812.4540699$$
$$x_ = 51.8362787842$$
$$x_ = 45.5530934771$$
$$x_ = 83.2522053201$$
$$x_ = -70.6858347058$$
$$x_ = -89.5353906273$$
$$x_ = 76.9690200129$$
$$x_ = -32.9867228627$$
$$x_ = -58.1194640914$$
$$x_ = 1.57079632679$$
$$x_ = -95.8185759345$$
$$x_ = 95.8185759345$$
$$x_ = -64.4026493986$$
$$x_ = 32.9867228627$$
$$x_ = -14.1371669412$$
$$x_ = 7.85398163397$$
$$x_ = -39.2699081699$$
$$x_ = 64.4026493986$$
$$x_ = 20.4203522483$$
$$x_ = -26.7035375555$$
$$x_ = -83.2522053201$$
$$x_ = 14.1371669412$$
$$x_ = -45.5530934771$$
$$x_ = -51.8362787842$$
$$x_ = -271.747764536$$
$$x_ = 26.7035375555$$
$$x_ = -20.4203522483$$
$$x_ = -76.9690200129$$
$$x_ = 89.5353906273$$
$$x_ = -7.85398163397$$
$$x_ = -1.57079632679$$
$$x_ = 70.6858347058$$
$$x_ = 58.1194640914$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac>> f <\left (x \right )>= 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac>> f <\left (x \right )>= $$
Вторая производная
$$- \sin<\left (\left|
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ = 0$$
$$x_ = \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac<\sin<\left (x \right )>><\sin<\left (\left|
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Численное решение
$$x_ = -94.2477796077$$
$$x_ = 31.4159265359$$
$$x_ = 81.6814089933$$
$$x_ = 84.8230016469$$
$$x_ = -53.407075111$$
$$x_ = 65.9734457254$$
$$x_ = 3.14159265359$$
$$x_ = 15.7079632679$$
$$x_ = 100.530964915$$
$$x_ = 50.2654824574$$
$$x_ = -3.14159265359$$
$$x_ = 40.8407044967$$
$$x_ = -59.6902604182$$
$$x_ = 97.3893722613$$
$$x_ = 78.5398163397$$
$$x_ = -25.1327412287$$
$$x_ = -43.9822971503$$
$$x_ = 25.1327412287$$
$$x_ = -81.6814089933$$
$$x_ = -91.1061869541$$
$$x_ = 87.9645943005$$
$$x_ = 69.115038379$$
$$x_ = -34.5575191895$$
$$x_ = 28.2743338823$$
$$x_ = -31.4159265359$$
$$x_ = 37.6991118431$$
$$x_ = -28.2743338823$$
$$x_ = 72.2566310326$$
$$x_ = 56.5486677646$$
$$x_ = -75.3982236862$$
$$x_ = -69.115038379$$
$$x_ = -6.28318530718$$
$$x_ = -9.42477796077$$
$$x_ = 6.28318530718$$
$$x_ = 75.3982236862$$
$$x_ = -65.9734457254$$
$$x_ = -87.9645943005$$
$$x_ = -72.2566310326$$
$$x_ = 18.8495559215$$
$$x_ = -267.035375555$$
$$x_ = -84.8230016469$$
$$x_ = 9.42477796077$$
$$x_ = -50.2654824574$$
$$x_ = -56.5486677646$$
$$x_ = -232.477856366$$
$$x_ = -2642.07942167$$
$$x_ = 91.1061869541$$
$$x_ = 59.6902604182$$
$$x_ = -47.1238898038$$
$$x_ = 12.5663706144$$
$$x_ = -62.8318530718$$
$$x_ = 62.8318530718$$
$$x_ = -18.8495559215$$
$$x_ = -12.5663706144$$
$$x_ = -37.6991118431$$
$$x_ = -97.3893722613$$
$$x_ = 94.2477796077$$
$$x_ = 34.5575191895$$
$$x_ = -21.9911485751$$
$$x_ = 21.9911485751$$
$$x_ = -100.530964915$$
$$x_ = 53.407075111$$
$$x_ = -113.097335529$$
$$x_ = -78.5398163397$$
$$x_ = 0$$
$$x_ = 43.9822971503$$
$$x_ = -40.8407044967$$
$$x_ = -15.7079632679$$
$$x_ = 47.1238898038$$
подставляем x = 0 в sin(x)/sin(|x|).
$$\frac<\sin<\left (0 \right )>><\sin<\left (\left|<0>\right| \right )>>$$
Результат:
$$f <\left (0 \right )>= \mathrm$$
- решений у ур-ния нет
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Читайте также: