Функция sin в квадрате

Обновлено: 04.07.2024

Найти область определения , чтобы можно было выбрать список значений , чтобы составить список точек, которые позволят построить график радикала.

Положим подкоренное выражение в больше или равно , чтобы выяснить, где определено данное выражение.

Найдем обратный синус от обеих частей уравнения, чтобы извлечь из-под синуса.

Функция синуса принимает положительные значения в первом и втором квадрантах. Для определения второго решения вычитаем решение из , чтобы найти решение во втором квадранте.

Модуль - это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .

Период функции равен , то есть значения будут повторяться через каждые радиан в обоих направлениях.

Областью определения являются все значения , которые делают выражение определенным.

Для того, чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим в значение, равное , которое является наименьшим значением в области определения.

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^ <\left (x \right )>= 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_ = 0$$
$$x_ = \pi$$
Численное решение
$$x_ = 53.4070756765$$
$$x_ = 37.6991120192$$
$$x_ = -28.2743337166$$
$$x_ = -106.814150358$$
$$x_ = 72.2566310277$$
$$x_ = 69.1150385886$$
$$x_ = 91.1061867314$$
$$x_ = -47.1238901511$$
$$x_ = 6.28318528425$$
$$x_ = 59.6902605977$$
$$x_ = -15.7079632965$$
$$x_ = -84.8230014101$$
$$x_ = 47.1238895894$$
$$x_ = 97.3893725149$$
$$x_ = 43.9822971694$$
$$x_ = -50.2654822953$$
$$x_ = 3.14159287686$$
$$x_ = -62.8318528379$$
$$x_ = -81.681409038$$
$$x_ = -100.530964673$$
$$x_ = 75.3982239389$$
$$x_ = -87.9645943588$$
$$x_ = 34.5575190305$$
$$x_ = -40.840704266$$
$$x_ = 31.4159267865$$
$$x_ = 91.1061871584$$
$$x_ = -25.1327414731$$
$$x_ = 97.3893727097$$
$$x_ = -25.1327416321$$
$$x_ = 87.9645943358$$
$$x_ = 69.1150381602$$
$$x_ = 9.42477821024$$
$$x_ = -69.1150386737$$
$$x_ = 12.5663704519$$
$$x_ = -3.14159311568$$
$$x_ = 18.8495554002$$
$$x_ = -69.1150386253$$
$$x_ = 3.14159244884$$
$$x_ = -31.415926796$$
$$x_ = -72.2566308741$$
$$x_ = 62.8318524523$$
$$x_ = -94.247779453$$
$$x_ = 0$$
$$x_ = -40.8407046898$$
$$x_ = 31.4159271479$$
$$x_ = -47.1238900493$$
$$x_ = -1734.15914476$$
$$x_ = 25.1327410189$$
$$x_ = -18.8495561207$$
$$x_ = 75.3982241945$$
$$x_ = 25.1327414478$$
$$x_ = 62.8318528327$$
$$x_ = -12.5663703661$$
$$x_ = -31.4159267052$$
$$x_ = 53.4070753627$$
$$x_ = 15.7079634407$$
$$x_ = -34.5575189426$$
$$x_ = -21.9911485865$$
$$x_ = 84.8230014093$$
$$x_ = 100.530964767$$
$$x_ = -78.5398160958$$
$$x_ = 65.9734457529$$
$$x_ = 56.5486676091$$
$$x_ = -6.28318513794$$
$$x_ = 40.8407039199$$
$$x_ = -12.5663700417$$
$$x_ = -75.398223862$$
$$x_ = 40.8407042561$$
$$x_ = 84.8230010167$$
$$x_ = 94.2477796094$$
$$x_ = 9.4247785908$$
$$x_ = -43.9822971746$$
$$x_ = 50.2654824463$$
$$x_ = -65.973445765$$
$$x_ = 18.8495556796$$
$$x_ = -3.14159289677$$
$$x_ = -91.1061872003$$
$$x_ = -97.3893724404$$
$$x_ = -59.6902604576$$
$$x_ = -91.1061872013$$
$$x_ = -37.6991118772$$
$$x_ = 78.5398161878$$
$$x_ = 47.1238900184$$
$$x_ = 21.9911485852$$
$$x_ = -56.5486675192$$
$$x_ = -84.8230018263$$
$$x_ = -53.4070752836$$
$$x_ = -9.42477812668$$
$$x_ = -62.8318532584$$
$$x_ = -34.5575189701$$
$$x_ = -18.8495556944$$
$$x_ = 28.2743338652$$
$$x_ = 81.6814091761$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^2.
$$\sin^<\left (0 \right )>$$
Результат:
$$f <\left (0 \right )>= 0$$
Точка:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac f <\left (x \right )>= 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac f <\left (x \right )>= $$
Первая производная
$$2 \sin <\left (x \right )>\cos <\left (x \right )>= 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ = 0$$
$$x_ = \frac<\pi>$$
$$x_ = \pi$$
$$x_ = \frac$$
Зн. экстремумы в точках:

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_ = 0$$
$$x_ = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_ = \frac<\pi>$$
$$x_ = \frac$$
Убывает на промежутках

Возрастает на промежутках

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin <\left (x^<2>\right )> = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_ = 0$$
$$x_ = - \sqrt<\pi>$$
$$x_ = \sqrt<\pi>$$
Численное решение
$$x_ = 83.5688965401$$
$$x_ = -41.8314129339$$
$$x_ = 94.1238082693$$
$$x_ = -67.5860615683$$
$$x_ = 30.3395228621$$
$$x_ = -67.4464688653$$
$$x_ = -44.5587988737$$
$$x_ = 96.2035963854$$
$$x_ = -1.77245385091$$
$$x_ = -30.9037888727$$
$$x_ = 53.8779325134$$
$$x_ = 86.2148955714$$
$$x_ = -9.86860538583$$
$$x_ = 66.2243410266$$
$$x_ = -86.2331131935$$
$$x_ = -59.4499094641$$
$$x_ = 52.249823119$$
$$x_ = 78.2292943161$$
$$x_ = -102.358250765$$
$$x_ = -60.9888981852$$
$$x_ = -79.4051412426$$
$$x_ = -33.8626832747$$
$$x_ = 56.6908218729$$
$$x_ = -5.87856438167$$
$$x_ = 18.2485292909$$
$$x_ = 97.662046345$$
$$x_ = 56.3015718029$$
$$x_ = 8.12240393759$$
$$x_ = -15.7539144226$$
$$x_ = -55.8533929588$$
$$x_ = -64.127566487$$
$$x_ = 105.367871943$$
$$x_ = -3.96332729761$$
$$x_ = 16.2448078752$$
$$x_ = -19.816636488$$
$$x_ = -13.6144763602$$
$$x_ = 1523.05464995$$
$$x_ = -509.434811846$$
$$x_ = -25.6240680728$$
$$x_ = 82.1853040708$$
$$x_ = 46.1519210774$$
$$x_ = -7.72594721819$$
$$x_ = 25.8681123241$$
$$x_ = 28.2482660355$$
$$x_ = -93.8731452191$$
$$x_ = -47.3281688005$$
$$x_ = 70.4759390525$$
$$x_ = -95.8600986425$$
$$x_ = -219.061242084$$
$$x_ = -89.7498945058$$
$$x_ = -53.9070793549$$
$$x_ = 32.6343363586$$
$$x_ = -50.35141777$$
$$x_ = 5.6049912164$$
$$x_ = 60.0806953936$$
$$x_ = 84.7262604713$$
$$x_ = -39.7914902637$$
$$x_ = -22.2793994369$$
$$x_ = 80.2121047882$$
$$x_ = 9.86860538583$$
$$x_ = 42.2424505354$$
$$x_ = 22.1379415023$$
$$x_ = 3.96332729761$$
$$x_ = 64.2499240997$$
$$x_ = -30.235797694$$
$$x_ = 23.7138163313$$
$$x_ = -43.8480866629$$
$$x_ = 6.13996024768$$
$$x_ = -11.6227571645$$
$$x_ = 0$$
$$x_ = -43.5966002737$$
$$x_ = -65.7004437278$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x^2).
$$\sin <\left (0^<2>\right )>$$
Результат:
$$f <\left (0 \right )>= 0$$
Точка:

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_ = 0$$
$$x_ = - \frac \sqrt<\pi>>$$
$$x_ = \frac \sqrt<\pi>>$$
Максимумы функции в точках:
$$x_ = - \frac <\sqrt\sqrt<\pi>>$$
$$x_ = \frac <\sqrt\sqrt<\pi>>$$
Убывает на промежутках

Возрастает на промежутках

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac>> f <\left (x \right )>= 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac>> f <\left (x \right )>= $$
Вторая производная
$$2 \left(- 2 x^ \sin <\left (x^\right )> + \cos <\left (x^\right )>\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ = 15.6539537309$$
$$x_ = -8.50079702379$$
$$x_ = 56.2457461522$$
$$x_ = -33.8162706865$$
$$x_ = -0.808251932936$$
$$x_ = 59.317652635$$
$$x_ = -91.9799384389$$
$$x_ = -6.63277181384$$
$$x_ = -64.7127740607$$
$$x_ = -59.8186774525$$
$$x_ = -24.3672290919$$
$$x_ = -11.6229163838$$
$$x_ = -39.7914942317$$
$$x_ = -48.3785772895$$
$$x_ = -22.0668957516$$
$$x_ = 52.2498248716$$
$$x_ = -48.0200918842$$
$$x_ = -66.6970412378$$
$$x_ = 80.2316859157$$
$$x_ = -5.87979427873$$
$$x_ = -77.3407557244$$
$$x_ = 64.2499250423$$
$$x_ = 5.31902292532$$
$$x_ = 33.3485269384$$
$$x_ = -7.72648921718$$
$$x_ = 78.2292948383$$
$$x_ = 3.07855253413$$
$$x_ = -81.5521411296$$
$$x_ = -14.1797184947$$
$$x_ = 16.2448661917$$
$$x_ = 4.34465629688$$
$$x_ = -41.8314163493$$
$$x_ = 22.1379645447$$
$$x_ = -19.8166686134$$
$$x_ = -4.34465629688$$
$$x_ = 18.2485704299$$
$$x_ = -15.7539783621$$
$$x_ = 94.1238085691$$
$$x_ = 82.1853045212$$
$$x_ = 28.2482771263$$
$$x_ = -3.96733151577$$
$$x_ = -1.81447238096$$
$$x_ = 36.8397664863$$
$$x_ = -53.8779341119$$
$$x_ = -87.8035787241$$
$$x_ = -43.8480896283$$
$$x_ = -32.8263117665$$
$$x_ = -5.31902292532$$
$$x_ = -3.07855253413$$
$$x_ = -83.9065504458$$
$$x_ = -100.312119503$$
$$x_ = -74.0622769318$$
$$x_ = 1.81447238096$$
$$x_ = 8.12287039886$$
$$x_ = 55.4865836299$$
$$x_ = 3.96733151577$$
$$x_ = -26.0496593068$$
$$x_ = 96.1709354547$$
$$x_ = -9.86886548576$$
$$x_ = -55.8533943936$$
$$x_ = 9.86886548576$$
$$x_ = -95.8600989263$$
$$x_ = 86.2148959616$$
$$x_ = 86.7959633259$$
$$x_ = 48.9274341336$$
$$x_ = 70.0287529106$$
$$x_ = 25.3157200471$$
$$x_ = 12.1514707301$$
$$x_ = -17.7245834055$$
$$x_ = -16.4371171083$$
$$x_ = 6.14103975852$$
$$x_ = -51.340008045$$
$$x_ = 58.4103566874$$
$$x_ = 45.396971522$$
$$x_ = 0.808251932936$$
$$x_ = -104.859784155$$
$$x_ = -89.7498948516$$
$$x_ = 42.3167589941$$
$$x_ = 48.3460975487$$
$$x_ = 66.9790595692$$
$$x_ = 33.0171638615$$
$$x_ = 22.698505802$$
$$x_ = -33.862689713$$

График функции y=sin^2x выглядит так: все части синусоиды, которые ниже оси ОХ зеркально отбражаются вверх, сами дуги приобретут другую кривизну. Весь график лежит в промежутке от0 до 1. Для наглядности исследуйте график при помощи производной. Либо постройте по точкам с использованием таблиц Брадиса

Нда, уж. Вообще-то sin^2x=(1-cos(2x))/2. Берем график y=cos x. 1. Сжатие вдоль оси Ox в два раза. 2. Отображаем симметрично относительно Ох. 3. Поднимаем вверх на 1. 4. Сжимаем вдоль Оу в два раза. Уважаемая Ника Водолей. Вы ведь вроде учитель, если я не ошибаюсь?

я так и строила его, просто интересно как выглядел бы график исходной функции

Подставляй вместо Х числа - 1, 2, 3, ..находи У для каждого Х и ставь точку. И так пока график не нарисуешь

нда, молодой человек. сразу видно с математикой у вас не ахти

Destino Искусственный Интеллект (273065) А вы что, знаете какие-то другие способы? Ну просвятите, всегда интересно узнать что-то новое! А если просто лень вычислять и рисовать - просто скачайте и запустите MathCad - он сам все подсчитает и график нарисует!

Читайте также: