Функция f x sin x является

Обновлено: 07.07.2024

Используем вид записи для поиска переменных, используемых для вычисления амплитуды, периода, сдвига по фазе и вертикального сдвига.

Модуль - это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .

Заменим величины и в уравнении для фазового сдвига.

Нанесите опорный угол, находя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

Применяем опорный угол, находя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Делаем выражение отрицательным, поскольку синус является отрицательным в четвертом квадранте.

Если для функции \(y=f(x)\) при любом \(x\) из области определения ( x ∈ X ) выполняются равенства f x − T = f ( x ) = f x + T , то функция имеет период \(T\) и называется периодической .

Если \(T\) является периодом функции \(y=f(x)\), x ∈ X , то кратное \(T\) число также является её периодом.

Различных периодов у периодической функции бесконечное множество.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел \(T\), являющихся периодом данной функции.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции \(y = sin x\), \(y = cos x\) (период этих функций равен 2 π ), \(y = tg x\) (период равен π ) и другие. Функция \(y = const\) также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0 .

График периодической функции обычно строят на промежутке x 0 ; x 0 + T , а затем повторяют на всю область определения.

Функция y=sinx, ее основные свойства и график

На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Рассматривая произвольное действительное число

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Таким образом, мы установим соответствие между множеством действительных чисел и множеством значений синусов углов. Каждому действительному числу соответствует единственное значение синуса. Такое соответствие определяет тригонометрическую функцию

Определение функция y=sin x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу соответствует значение называется функцией

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Рассмотрим свойства функции и построим ее график:

Область определения функции y=sin x

Областью определения функции является множество всех действительных чисел, так как для любого существует

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Графически это означает, что для любой абсциссы найдется точка графика функции

Множеством значений функции y=sin x

Множеством значений функции является промежуток так как ординаты точек единичной окружности (значения синусов чисел) изменяются от -1 до 1.

Графически это означает, что график функции расположен в полосе между прямыми (рис. 74).

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений
Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Периодичность функции y=sin x

Периодичность функции Точки единичной окружности совпадают для любого (рис. 75), значит, значения синусов этих углов также совпадают, т. е.

Говорят, что число является периодом функции

Определение:

Функция называется периодической функцией с периодом если для любого значения из области определения функции числа также принадлежат области определения и при этом верно равенство

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Чтобы определить, является ли функция периодической с периодом необходимо проверить:

Определим, верно ли, что число является периодом функции

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пусть

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Значит, число не является периодом функции

Периодом функции являются числа вида Число является наименьшим положительным периодом функции

Функция является периодической с наименьшим положительным периодом (рис. 76). Это означает, что ее график состоит из повторяющихся частей, поэтому достаточно его построить на отрезке длиной (например, а затем повторить построение на каждом следующем отрезке длиной

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Четность (нечетность) функции y=sin x

Четность (нечетность) функции y=sin x — симметрична относительно нуля. Так как точки единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс для любого то ординаты этих точек противоположны, т. е. (рис. 77). Значит, функция нечетная.

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Для построения ее графика достаточно построить его часть для неотрицательных значений аргумента и отобразить эту часть симметрично относительно начала координат.

Нули функции y=sin x

Нули функции. Ординаты точек и равны нулю. Значит, в точка (рис. 78), т. е. график функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Промежутки знакопостоянства функции y=sin x

На промежутках функция принимает положительные значения, так как ординаты точек единичной окружности положительны в первой и во второй четвертях (рис. 79, а).

На промежутках функция принимает отрицательные значения, так как ординаты точек единичной окружности отрицательны в третьей и четвертой четвертях (рис. 79, б).

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений
Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Монотонность функции y=sin x

Монотонность функции. Так как ординаты точек единичной окружности увеличиваются от -1 до 1 при изменении угла от (рис. 80, а) и уменьшаются от 1 до -1 при изменении угла от (рис. 80, б), то с учетом периодичности определим промежутки возрастания функции и промежутки убывания функции

Функции возрастает на промежутках и убывает на промежутках
Наибольшее значение функции равно 1 и достигается в точках

Наименьшее значение функции равно и достигается в точках

На основании проведенного исследования построим график функции на отрезке от длина которого равна т. е. длине периода функции

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

На этом периоде функция

На рисунке 81 изображена часть графика функции на промежутке от

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Перенесем эту часть на другие периоды и получим график функции (рис. 82). График функции называется синусоидой.

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Определите, принадлежит ли графику функции точка:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) Подставим в формулу значение аргумента найдем соответствующее значение функции

Полученное значение функции равно ординате точки значит, точка принадлежит графику функции

б) При получим Точка не принадлежит графику функции

в) При получим Точка принадлежит графику функции

г) При получим Точка не принадлежит графику функции

Пример №2

Найдите область определения и множество значений функции:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) Так как область определения функции все действительные числа, т.е значит, Таким образом,

Множеством значений функции является отрезок значит, Тогда по свойству неравенств Таким образом,

б) Поскольку то по свойству неравенств

т.е.

Пример №3

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Найдите наибольшее значение функции

Решение:

Так как значит, тогда Таким образом, имеем: Наибольшее значение функции равно 7.

Пример №4

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Найдите значение выражения, используя свойство периодичности функции

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как число является наименьшим положительным периодом функции Тогда:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №5

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Найдите значение выражения, используя свойство нечетности функции

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как функция нечетная, то

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №6

Исследуйте функцию на четность (нечетность):

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

a) — область определения симметрична относительно нуля;

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

значит, функция является нечетной.

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

область определения симметрична относительно нуля;

значит, функция является четной.

Пример №7

Найдите нули функции:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) Пусть Нулями функции являются числа Тогда значит, Таким тобразом, числа являются нулями функции

б) Пусть Нулями функции являются числа Тогда значит,

Таким образом, числа являются нулями функции

Пример №8

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Определите знак произведения

Решение:

Так как то т. е. угол 4 радиана принадлежит промежутку на котором функция принимает отрицательные значения, значит,

Углы 2 радиана и 1 радиан принадлежат промежутку на котором функция принимает положительные значения, т. е. Значит,

Пример №9

Что больше: или

Решение. Так как функция возрастает на промежутке то из того, что следует, что

Пример №10

Постройте график функции:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) График функции получаем из графика функции сдвигом его вдоль оси абсцисс на влево (рис. 84).

б) График функции получаем из графика функции сдвигом его вдоль оси ординат на 2 единицы вверх (рис. 85).

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Читайте также: