Функции sin x cos x tg x ctg x свойства графики
Обновлено: 02.07.2024
Известно, что для любого действительного числа \(t\) можно поставить в соответствие однозначно определённое число \(sin\) \(t\).
1. построить числовую окружность на координатной плоскости с центром в начале координат, начальная точка \(A\) которой — в точке \((1;0)\);
2. отметить точку на окружности, которая соответствует числу \(t\);
Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента \(t\).
Есть равенства, связывающие значения различных тригонометрических функций. Некоторые из этих равенств уже известны:
sin 2 t + cos 2 t = 1 ; tg t = sin t cos t , t ≠ π 2 + π k ; ctg t = cos t sin t , t ≠ π k , k ∈ ℤ .
Из двух последних равенств получим соотношение, связывающее \(tg\) \(t\) и \(ctg\) \(t\):
Выполняя преобразования, можно получить ещё две важные формулы:
1 + tg 2 t = 1 cos 2 t , t ≠ π 2 + π k ; 1 + ctg 2 t = 1 sin 2 t , t ≠ π k , k ∈ ℤ .
На этом уроке мы рассмотрим основные тригонометрические функции, их свойства и графики, а также перечислим основные типы тригонометрических уравнений и систем. Кроме этого, укажем общие решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи.
Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В5 и С1.
В школьной программе изучаются четыре тригонометрических функции - синус, косинус, тангенс и котангенс. В этой статье мы рассмотрим графики и основные свойства этих функций.
1. Начнем с построения графика функции y = sin x.
Выберем подходящий масштаб. По оси X: три клетки примем за (это примерно полтора). Тогда - одна клеточка, - две клетки.
По оси Y : две клетки примем за единицу.
Область определения функции y = sin x - все действительные числа, поскольку значение sin α можно посчитать для любого угла α.
Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.
Можем добавить, для большей плавности графика, точки и . В них значение синуса равно
Соединим полученные точки плавной кривой.
Мы помним, что . Это значит, что
Получается часть графика, симметричная той, которую нарисовали раньше.
Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть
Это значит, что функция y = sin x является периодической. Мы уже построили уча-сток графика длиной 2π. А теперь мы как будто "копируем" этот участок и повторяем его с периодом 2π:
Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции y = sin x.
1) D(y): x ∈ R, то есть область определения - все действительные числа.
2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = sin x равно единице, а наименьшее - минус единице.
3) Функция y = sin x - нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.
4) Функция y = sin x - периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.
2. Следующий график: y = cos x. Масштаб - тот же. Отметим на графике точки, в которых косинус является рациональным числом:
Поскольку cos (−x) = cos x, график будет симметричен относительно оси Y , то есть левая его часть будет зеркальным отражением правой.
Функция y = cos x - тоже периодическая. Так же, как и для синуса, ее значения повторяются через 2πn. "Копируем" участок графика, который уже построили, и повторяем периодически.
Перечислим основные свойства функции y = cos x.
1) D(y): x ∈ R, то есть область определения - все действительные числа.
2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = cos x равно единице, а наименьшее - минус единице.
3) Функция y = cos x - четная. Ее график симметричен относительно оси Y .
4) Функция y = cos x - периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.
Отметим еще одно свойство. Графики функций y = sin x и y = cos x весьма похожи друг на друга. Можно даже сказать, что график косинуса получится, если график синуса сдвинуть на влево. Так оно и есть - по одной из формул приведения,.
Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!
Функции синус и косинус идеально подходят для описания колебаний и волн - то есть процессов, повторяющихся во времени.
По закону синуса (или косинуса) происходят колебания маятника или груза на пружине. Переменный ток (тот, который в розетке) выражается формулой I(t) = I cos(ωt+α). Но и это не все. Функции синус и косинус описывают звуковые, инфра– и ультразвуковые волны, а также весь спектр электромагнитных колебаний. Ведь то, что наш глаз воспринимает как свет и цвет, на самом деле представляет собой электромагнитные колебания. Разные длины волн света воспринимается нами как разные цвета. Наши глаза видят лишь небольшую часть спектра электромагнитных волн. Кроме видимого цвета, в нем присутствуют радиоволны, тепловое (инфракрасное) излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма–излучение. Более того - объекты микромира (например, электрон) проявляют волновые свойства.
3. Перейдем к графику функции y = tg x.
Чтобы построить его, воспользуемся таблицей значений тангенса. Масштаб возьмем тот же - три клетки по оси X соответствуют , две клетки по Y - единице. График будем строить на отрезке от 0 до π. Поскольку tg (x + πn) = tg x, функ-ция тангенс также является периодической. Мы нарисуем участок длиной π, а затем периодически его повторим.
Непонятно только, как быть с точкой . Ведь в этой точке значение тангенса не определено. А как же будет вести себя график функции y = tg x при x, близких к , то есть к 90 градусам?
Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем значение x, близкое к , и посчитаем на калькуляторе значения синуса и косинуса этого угла. Пусть .
Синус угла - это почти 1. Точнее, sin = 0,9998. Косинус этого угла близок к нулю. Точнее, cos = 0,0175.
Тогда
график уйдет на 59 единиц (то есть на 118 клеток) вверх. Можно сказать, что если x стремится к (то есть к , значение функции y = tg x стремится к бесконечности .
Аналогично, при x, близких к , график тангенса уходит вниз, то есть стремится к минус бесконечности .
Осталось только "скопировать" этот участок графика и повторить его с периодом π.
Перечислим свойства функции y = tg x.
1) .
Другими словами, тангенс не определен для где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) - все действительные числа.
3) Функция y = tg x - нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.
4) Функция y = tg x - периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.
5) Функция y = tg x возрастает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.
4. График функции y = ctg x строится аналогично. Вот он:
1) .
Другими словами, котангенс не определен для где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) - все действительные числа.
3) Функция y = сtg x - нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.
4) Функция y = сtg x - периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.
5) Функция y = сtg x убывает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.
Тригонометрические функции - это периодические функции с периодами для sin, cos, sec и cosec, и для tg и ctg.
Зачастую тригонометрические функции обозначают отношением сторон прямоугольного треугольника либо длины конкретных отрезков в единичной окружности.
Прямые тригонометрические функции.
Производные тригонометрические функции.
Другие тригонометрические функции.
В современном мире есть 6 базовых тригонометрических функций, которые ниже в таблице указаны вместе с уравнениями, которые связывают их.
Функция
Соотношение
Знаки тригонометрических функций .
Значения тригонометрических функций.
Значения sin, cos, tg, ctg, sec и cosec для определенных углов указаны в таблице. («∞» обозначает, что функция в данной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).
0°
30°
π/6
45°
π/4
60°
π/3
90°
π/2
180°
270°
3π/2
360°
2π
Читайте также: