Доказать непрерывность многочлена и функции sin x

Обновлено: 07.07.2024

Доказать непрерывность функций и

Зададим приращение аргумента функции в точке X:

В лекции "Что такое Internet" также много полезной информации.

Здесь использовано неравенство . Итак, . Тогда , т.е. функция непрерывна в точке X, а т.к. точка X принадлежит R , т.е. произвольна, то можна сказать, что функция непрерывна на всей числовой оси.

2) ыв

Зададим приращение аргумента функции в точке X:

Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус ( sin x ), косинус ( cos x ), тангенс ( tg x ) и котангенс ( ctg x ), непрерывны на своих областях определения.
Доказательство ⇓

Тригонометрические функции периодичны. Поэтому для определения обратных функций, используют интервалы, на которых они монотонны и непрерывны. Это можно сделать бесконечным числом способов. Поэтому выбирают интервалы, наиболее близко расположенные к нулевым положительным значениям. Полученные таким способом обратные тригонометрические функции называют главными значениями. См. «Определение обратных тригонометрических функций и их графики». Они имеют следующие области определения и множества значений:
(строго возрастает);
(строго убывает);
(строго возрастает);
(строго убывает).

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус ( arcsin x ), арккосинус ( arccos x ), арктангенс ( arctg x ) и арккотангенс ( arcctg x ), непрерывны на своих областях определения.
Доказательство ⇓

Точки разрыва

Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция f ( x ) = a x , с основанием a > 0 – это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x :
.

Теорема. Свойства показательной функции
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0) определена, при , для всех ;
(П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(П.2) строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
(П.3) ;
(П.3*) ;
(П.4) ;
(П.5) ;
(П.6) ;
(П.7) ;
(П.8) непрерывна для всех ;
(П.9) при ;

Логарифм

Логарифмическая функция, или логарифм, y = log _a x , с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a .

Теорема. Свойства логарифма
Функция, y = log _a x , имеет следующие свойства:
(Л.1) определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента, ;
(Л.2) имеет множество значений ;
(Л.3) строго возрастает при , строго убывает при ;
(Л.4) при ;
при ;
(Л.5) ;
(Л.6) при ;
(Л.7) при ;
(Л.8) при ;
(Л.9) при .

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a , которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e :
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: .

Степенная функция

Степенная функция с показателем степени p – это функция f ( x ) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f (0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m , степенная функция определена и для отрицательных x . В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
(С.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(С.2) имеет множество значений
при ,
при ;
(С.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(С.4) при ;
при ;
(С.5) ;
(С.5*) ;
(С.6) ;
(С.7) ;
(С.8) ;
(С.9) .

Тригонометрические функции

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f ( x ) непрерывна в точке x ₀ . Тогда существует такая окрестность U ( x ₀) , на которой функция ограничена.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
при .

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции и непрерывны в точке .
Тогда функции , и непрерывны в .
Если , то и функция непрерывна в точке .

Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b , соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.

Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.

Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .

Обратные функции

Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y . И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X , для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .

Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).

Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция t = g ( x ) непрерывна в точке x ₀ . И пусть функция f ( t ) непрерывна в точке t ₀ = g ( x ₀) .
Тогда сложная функция f ( g ( x )) непрерывна в точке x ₀ .
Доказательство

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g ( x ) при x → x ₀ , и он равен t ₀ :
.
Здесь точка x ₀ может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f ( t ) непрерывна в точке t ₀ .
Тогда существует предел сложной функции f ( g ( x )) , и он равен f ( t ₀) :
.
Доказательство

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство

Доказательство свойств

Для доказательства свойств, представим степенную функцию как сложную:
(2) .
Используем следующие обозначения:
(3) , где .
В качестве a возьмем произвольное число . При доказательстве будем использовать свойства показательной функции и логарифмической.

1.1. Найдем область определения. Логарифмическая функция определена при . Показательная функция определена для всех t . Поэтому степенная функция (2) определена при . Кроме этого, согласно определению, при , степенная функция определена в точке .

Исследуем на непрерывность. Поскольку логарифм и показательная функция непрерывны на своих областях определения, то, по теореме о непрерывности сложной функции, степенная функция непрерывна при .

Рассмотрим случай . Покажем, что показательная функция непрерывна в точке слева. Применяя теорему о пределе сложной функции, имеем:
.
Здесь мы использовали общепринятые обозначения:
.
Таким образом, . Непрерывность в точке слева доказана.

1.4. Найдем пределы на границе области определения.
Пусть .
По определению, .
Находим предел при , аналогично предыдущему:
.
Пусть . Тогда
;
.

1.3. Докажем, что степенная функция строго монотонна на области определения.
При , функции и строго возрастают. Поэтому сложная функция также строго возрастает.
Поскольку и при , , то степенная функция строго возрастает на области определения .
При , функция строго убывает, а функция строго возрастает. Поэтому сложная функция строго убывает на области определения .

1.2. Найдем множество значений степенной функции .
Для этого рассмотрим ее на отрезке , где . Поскольку функция на этом отрезке строго монотонна, то она достигает минимума и максимума на его концах – в точках и . Как мы уже доказали, степенная функция непрерывна на своей области определения. Тогда, согласно теореме Больцано – Коши о промежуточном значении, она принимает все значения из отрезка , если и , если . Устремляя и , и используя найденные выше пределы получаем, что множеством значений показательной функции является множество неотрицательных чисел при , и множество положительных чисел при .

Определение
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности этой точки, если существует предел при x стремящемся к x ₀ , и если этот предел равен значению функции в x ₀ :
.

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f ( x ) называется непрерывной справа (слева) в точке x ₀ , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x ₀ равен значению функции в x ₀ :
.

Свойства степенной функции

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p .

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m , степенная функция определена и для отрицательных x . В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность. Так, при четных функция четна:
.
При нечетных – нечетна:
.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
(1.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(1.2) имеет множество значений
при ,
при ;
(1.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказательство лемм и теорем

Лемма 1

Для всех действительных чисел выполняется неравенство:
(1.1) .
Здесь α – угол, выраженный в радианах.

Рассмотрим случай .
Пусть точки A и B лежат на окружности с центром в точке C (см. рисунок). Тогда угол α между сторонами AC и BC есть отношение длины дуги окружности к радиусу :
.
Из точки A опустим перпендикуляр AH на BC . Тогда
.

Для упрощения расчетов мы возьмем окружность с радиусом, равным единице: . Тогда
(1.2) .
Из прямоугольника ABH имеем:
.
Поскольку длина отрезка |AB| является кратчайшим расстоянием между точками A и B , то
.
Из двух последних неравенств,
(1.3) .
Подставляем (1.2):
.
Знак равенства получается только при .

При отрицательных значениях ,
.
Эти выражения справедливы и для положительных значений . Подставляя в (1.3), при имеем:
.
Поскольку и , то это неравенство справедливо для всех α .

Лемма 2

Имеют место следующие пределы:
(2.1) ,
(2.2) .

Доказательство для синуса.
Используем неравенство (1.1):
(1.1) .
Перепишем его в следующем виде:
.
Заметим, что и . Применяя теорему о промежуточной функции, получаем:
.

Доказательство для косинуса.
При достаточно малых |α| , . Поэтому
.

Степенная функция определена и непрерывна при . В частности, она непрерывна в точке . Применяя вышеупомянутую теорему о пределе непрерывной функции от функции, имеем:
.

Теорема о непрерывности тригонометрических функций

Тригонометрические функции синус ( sin x ), косинус ( cos x ), тангенс ( tg x ) и котангенс ( ctg x ) непрерывны на своих областях определения.

Непрерывность синуса и косинуса

Применим определение непрерывности функции в терминах приращений. Нам нужно показать, что
.
Применим арифметические свойства предела функции, пределы, вычисленные в лемме 2 ⇑, и тригонометрические формулы:

.

Аналогично для косинуса:

.

Непрерывность тангенса и котангенса

Тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус:
.
Воспользуемся арифметическими свойствами непрерывных функций. Поскольку синус и косинус определены и непрерывны для всех x , то тангенс и котангенс определены и непрерывны для всех x , кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль:
;
.
Здесь n = 0, ±1, ±2, ±3, . – целое число.

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции: арксинус ( arcsin x ), арккосинус ( arccos x ), арктангенс ( arctg x ) и арккотангенс ( arcctg x ), непрерывны на своих областях определения.

Непрерывность арксинуса

Функция синус, , строго возрастает при , где n – целое число. Она строго убывает при . Для определения главного значения обратной функции, берут наиболее близкий к нулю интервал, на котором синус является строго монотонной функцией. Это закрытый интервал с :
.
На нем функция синус непрерывна, строго возрастает и имеет множество значений
.
Тогда, по теореме о существовании и непрерывности обратной функции, на отрезке определена и непрерывна обратная функция, которая называется арксинусом (точнее главным значением арксинуса). Арксинус имеет множество значений .

Непрерывность арккосинуса

Функция косинус, , строго убывает при . Она строго возрастает при . Наиболее близким к нулю интервалом, на котором косинус является строго монотонной функцией, выбирают отрезок с положительными значениями:
.
На нем функция косинус непрерывна, строго убывает и имеет множество значений
.
По теореме о существовании и непрерывности обратной функции, на отрезке определена и непрерывна обратная функция, которая называется арккосинусом (точнее главным значением арккосинуса). Арккосинус имеет множество значений .

Непрерывность арктангенса

Функция тангенс, , определена, непрерывна и строго возрастает на открытых интервалах . Для определения главного значения обратной функции, берут интервал
.
На нем функция тангенс непрерывна, строго возрастает и имеет множество значений
.
Тогда, по теореме о существовании и непрерывности обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция, которая называется арктангенсом (точнее главным значением арктангенса). Арктангенс имеет множество значений .

Непрерывность арккотангенса

Функция котангенс, , определена, непрерывна и строго убывает на открытых интервалах . Для определения главного значения обратной функции, берут интервал
.
На нем функция котангенс непрерывна, строго убывает и имеет множество значений
.
Тогда, по теореме о существовании и непрерывности обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция, которая называется арккотангенсом (точнее главным значением арккотангенса). Арккотангенс имеет множество значений .

Определение
Степенная функция с показателем степени p – это функция f ( x ) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f (0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Степенную функцию можно выразить через показательную и логарифм:
.
В качестве основания a можно взять любое действительное число . В математическом анализе наиболее удобно использовать число e :
2,718281828459045. .
Тогда ,
.

Выше мы представили степенную функцию как сложную, составленную из логарифмической и показательной функций. Поэтому ее свойства можно получить из свойств этих функций.

Читайте также: