Дифференциал функции y sin 2 2x равен

Обновлено: 02.07.2024

Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:

Правила ввода функции, заданной в явном виде

Примеры
x 2 +xy ≡ x^2+x*y .
cos 2 (2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ (x-y)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

Все переменные выражаются через x,y,z
Примеры
≡ x^2/(z+y)
cos 2 (2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
≡ z+(x-y)^(2/3)

Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции.

Способы решений дифференциальных уравнений

: yy'''=y'y'' , (y') 2 +2yy''=0 : y''-3y'+2y=0 , y''-2y'+5y =e x

Пример . Найти частное решение дифференциального уравнения y'+xy=x , удовлетворяющего начальному условию y(0)=2 .
Решение.
Данное дифференциальное уравнение – уравнение 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y.
Применяя метод Бернулли для решения этого уравнения, сделаем замену y(x) = u(x)·v(x) , где u(x) и v(x) – неизвестные функции, которые мы будем искать поочередно.
Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:
y′ = u′·v+u·v′.
Подставляя выражения для y и y' в исходное уравнение, получим:
u′·v+u·v′ + x·u·v = x (*)
Отсюда
u′·v + (u·v′ + x·u·v) = x;
u′·v + u(v′ + x·v) = x;
Выражение в скобках зависит только от v(x) . Будем искать v(x) , исходя из условия:
v′ + x·v = 0.
Рассматривая это равенство как дифференциальное уравнение, найдём частное решение для v(x) методом разделения переменных:
; ;
Переходим к интегралу:
; ; .
Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*):
; .
Найдём теперь общее решение для неизвестной функции u(x) :
.
Окончательно, имеем общее решение исходного дифференциального уравнения:
.
Теперь, используем данное начальное условие и найдём частное решение уравнения:
y(0) = c·e 0 +1 = c+1 = 2
Отсюда c=1 ,
Ответ: частное решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Полный дифференциал для функции двух переменных:

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

Пример . Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4 tg2 x
Решение:

дифференциал:
б)
Решение:

дифференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:

дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:

Частные производные функции нескольких переменных

Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δ_xz=f(x+Δ_x,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x ; Δ_yz=f(x,y+Δ_y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у .
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x ;
– это частная производная функции z по аргументу у .
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример 1 . z=2x 5 +3x 2 y+y 2 –4x+5y-1

Пример 2 . Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x₀;y₀).

Dy=dxy'
y'=2cosxsinx
y'(π/4)=2cosπ/4*sinπ/4=2*√2/2*√2/2=2*√4/4=√4/2=2/2=1
dy=0,02*1=0,02.

Новые вопросы в Алгебра

Нужно 2 и 4 решить! Кто решит за 20мин?! Дам 20 баллов

a) При каких значениях х имеет смысл выражение √− x ?b) Постройте график функции y = √− x .c) Покажите на графике значения х при у=2; 2,5. Запишите пр … иближенные значения х

Например, решить дифференциальное уравнение онлайн: y''-2y+1=sinx . Записываем как y''-2*y+1=sin(x) . Для отображение хода решения нажмите Show steps или Step-by-step .

Читайте также: