2 предел функции и его свойства
Обновлено: 02.07.2024
В ряде разделов нашего справочника, где требуется применение понятия предела функции , встречаются несколько ситуаций в зависимости от того, куда стремится аргумент функции x , и того, куда при этом стремится значение функции. Определения предела функции для этих случаев удобно представить в форме таблицы. Однако таблица, описывающая все возможные случаи, должна содержать 24 строки и является слишком громоздкой. Для удобства читателей мы привели в таблице только те определения предела функции, которые использованы в нашем справочнике.
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a, равен числу A
Число A называют пределом функции f (x) при x, стремящемся к числу a, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ , что при всех , удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A
Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A
Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A
Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен
Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен
Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен
Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a слева, равен
Замечание . Когда говорят, что x стремится к a слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые меньше a .
Функция f (x) стремится к , при x, стремящемся к числу a слева , если для любого положительного числа С найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a справа, равен
Замечание . Когда говорят, что x стремится к a справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые больше a .
Функция f (x) стремится к , при x , стремящемся к числу a справа , если для любого положительного числа С, найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a, равен числу A
Число A называют пределом функции f (x) при x, стремящемся к числу a, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ , что при всех , удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A
Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A
Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A
Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен
Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен
Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен
Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a слева, равен
Замечание . Когда говорят, что x стремится к a слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые меньше a .
Функция f (x) стремится к , при x, стремящемся к числу a слева , если для любого положительного числа С найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a справа, равен
Замечание . Когда говорят, что x стремится к a справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые больше a .
Функция f (x) стремится к , при x , стремящемся к числу a справа , если для любого положительного числа С, найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству
будет выполняться неравенство
Арифметических свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций
Подобные свойства имеются и когда предел одной из функций равен бесконечности или нулю. Ниже мы приводим эти свойства.
Пусть существуют пределы функций
и .
И пусть, при , функция является бесконечно малой:
, а функция – бесконечно большой:
.
Тогда существует пределы суммы и разности:
;
существуют пределы произведений:
;
существуют пределы частного:
.
Доказательство
Символически эти свойства можно записать так:
;
;
,
где .
Эти свойства выполняются и в случае, если функции и не имеют пределов при . При этом должна существовать проколотая окрестность точки , на которой функция ограничена: , а функция ограничена снизу по абсолютной величине положительным числом: .
Пределы монотонных функций
Строго возрастающая функция Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей, если для всех таких что выполняется неравенство:. Строго убывающая функция Функция называется строго убывающей, если для всех таких что выполняется неравенство:
. Неубывающая функция Функция называется неубывающей, если для всех ; :
. Невозрастающая функция Функция называется невозрастающей, если для всех ; :
. Монотонная функция Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M : , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m : , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .
Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Раскрытие неопределенности типа . Второй замечательный предел
Определение 3 . Если при нахождении предела степени некоторого выражения выясняется, что предел основания степени равен 1, а предел показателя степени равен , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности .
Неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела :
Если взять натуральный логарифм от обеих частей формулы (1), то второй замечательный предел примет вид:
Решение . Рассмотрим функцию
и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции y = ln f (x) при x → . Применяя свойства логарифмов, получаем
Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма к виду, удобному для применения второго замечательного предела,
Поэтому функцию y = ln f (x) удобно представить в сдедующем виде
и числитель, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к , поэтому для раскрытия неопределенности вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и, используя свойства пределов функций, получим
Следовательно, воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем
Решение . Рассмотрим функцию
и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции y = ln f (x) при x → – 6 . Применяя свойства логарифмов, получаем
Чтобы вычислить предел функции y = ln f (x) при x → – 6 , перейдем от переменной x к новой переменной z по формуле
то предел (3) можно преобразовать к виду , с помощью формулы (3), получаем
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки x 0 . Точка x 0 может являться конечным числом или одним из символов бесконечности: . Окрестность может быть как двусторонней для двусторонних пределов, так и односторонней для односторонних.
Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела
Если значения функции f ( x ) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , . x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Доказательство ⇓
Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел
Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , в которой функция f ( x ) ограничена:
.
Доказательство ⇓
Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел
Пусть функция f ( x ) имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для всех x , принадлежащих этой окрестности: ,
, если ;
, если .
Доказательство ⇓
Теорема о пределе постоянной функции
Если в некоторой проколотой окрестности точки , – постоянная, то .
Доказательство ⇓
Теорема об односторонних пределах
Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Доказательство ⇓
Свойство пределов функций, связанных неравенством
Если существуют конечные пределы и и в некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Доказательство ⇓
Заметим, что если функции удовлетворяют строгому неравенству , то их пределы все равно связаны нестрогим неравенством .
Свойство неравенств бесконечно больших функций
Если , и в некоторой проколотой окрестности точки
,
то .
Доказательство
В частности, если в некоторой проколотой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .
Теорема о промежуточной функции
Если в некоторой проколотой окрестности конечной, или бесконечно удаленной точки x 0 , выполняются неравенства:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то существует предел функции :
.
Доказательство
Теорема о функциях, пределы которых связаны неравенством
Пусть существуют конечные пределы функций и :
и ,
где – конечное число или бесконечно удаленная точка. Если эти пределы связаны неравенством , то существует такая проколотая окрестность точки , в которой
.
Доказательство ⇓
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f ( x ) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , . x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f ( x ) ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для ,
, если ;
, если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , – постоянная, то .
Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0 :
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства предела функции».
Арифметические свойства предела функции
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства предела функции».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0 , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x 0 , что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g ( x ) при x → x 0 , и он равен t 0 :
.
Здесь точка x 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f ( t ) непрерывна в точке t 0 .
Тогда существует предел сложной функции f ( g ( x )) , и он равен f ( t 0) :
.
Раскрытие неопределенностей типа
Определение 2 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что пределы числителя и знаменателя дроби равны 0 , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности .
В алгебраических дробях неопределенность при x → a раскрывается при помощи разложения на множители числителя и знаменателя дроби с последующим сокращением на соответствующую степень множителя (x – a) .
Решение . Поскольку и числитель, и знаменатель дроби стремятся к 0 при x → – 2 , то для того, чтобы раскрыть неопределенность типа , разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе применим формулу сокращенного умножения «сумма кубов», а в знаменателе – разложение квадратного трехчлена на множители, а затем сократим дробь на (x + 2) :
Теперь предел знаменателя дроби равен – 11 , и, воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем
Решение . В этом примере также возникает неопределенность типа .
Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу 5 при x → 5 , то домножим и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применим формулу сокращенного уножения «разность квадратов»:
Разложим теперь квадратный трехчлен 4x 2 – 9x – 55 на множители, а затем сократим числитель и знаменатель на (x – 5) :
К сожалению, из-за большого размера формул для расчета подробные вычисления на Вашем мобильном устройстве не видны. Их можно посмотреть только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах).
Указания к решению примера . Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу 5 при x → 5 , то сначала необходимо домножить и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применить формулу сокращенного уножения «разность квадратов». Затем, разложив квадратный трехчлен 4x 2 – 9x – 55 на множители, сократить числитель и знаменатель на (x – 5) .
После этого, воспользовавшись свойствами пределов функций, получить ответ.
На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Бесконечно малая функция при – это такая функция , предел которой при равен нулю:.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при .
Бесконечно большие функции
Бесконечно большая функция при – это такая функция , предел которой при равен бесконечности:.
Свойства бесконечно больших функций
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при , а функция – ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.
Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».
Доказательство арифметических свойств
Теорема о пределе суммы (или разности) двух функций
Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
и .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
.
Поскольку существуют пределы и , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .
Рассмотрим функцию , которая является суммой (или разностью) функций и . Используя свойство предела суммы и разности числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к и элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.
Теорема о пределе произведения двух функций
Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
и .
Тогда существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
.
Поскольку существуют пределы и , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .
Рассмотрим функцию . Используя свойство предела произведения числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.
Теорема о пределе частного двух функций
Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
и .
Тогда, если b ≠ 0 , то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
.
Поскольку существуют пределы и , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности, на которой определены функции и . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .
Рассмотрим функцию . По условию, . Воспользуемся теоремой об ограниченности снизу функции, имеющей конечный ненулевой предел. Согласно этой теореме, существует такая проколотая окрестность точки , на которой . Отсюда следует, что существует такая проколотая окрестность этой точки, на которой .
Пусть есть проколотая окрестность точки , на которой определены функции и , и на которой . Используя свойство предела частного числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.
Теорема о вынесении постоянной за знак предела
Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел функции:
.
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда постоянную можно выносить за знак предела:
.
Введем постоянную функцию , значения которой для всех x равны некоторому числу C . Согласно теореме о пределе постоянной функции,
.
Используя доказанное только что свойство предела произведения двух функций, имеем:
.
Теорема о пределе абсолютного значения функции
Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел функции:
.
Тогда существует предел абсолютного значения функции, равный абсолютному значению ее предела:
.
Поскольку существует предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определена последовательность . Поскольку , то эта последовательность имеет предел .
Используя свойство предела последовательности, состоящей из элементов, взятых по модулю, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
.
Определение функции, верхней и нижней грани
Функцией y = f ( x ) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.
Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы в множестве X , называется областью или множеством значений функции.
Если это особо не оговорено, мы рассматриваем функции, области определения и множества значений которых принадлежат множеству действительных чисел.
Ограниченная функция Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех :
. Верхняя грань функции Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
. Нижняя грань функции Нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Неопределенности
Применение только арифметические свойств пределов не всегда приводит к результату, если в состав исследуемого выражения входят бесконечно большие и бесконечно малые функции. Следующие операции не определены:
; ; ; ;
; ; ;
; ; ; ;
.
Это, так называемые неопределенности. В этих случаях арифметических свойств не достаточно и, для вычисления величины предела, нужно выполнять преобразования, чтобы привести их к известным пределам. Такой процесс называется раскрытием неопределенности.
Выполняя преобразования, можно от неопределенности одного вида переходить к неопределенности другого вида. Последние три неопределенности сводятся к логарифмированием. Например так:
.
То есть мы от неопределенности перешли к . Далее ее можно свести к неопределенностям вида или :
; .
К неопределенности сводится и неопределенность . Покажем это. Пусть и . Тогда
.
Далее излагаются методы раскрытия неопределенностей.
Первый замечательный предел
В пределах, содержащих тригонометрические функции, неопределенность раскрывается с помощью первого замечательного предела
Решение . Числитель и знаменатель дроби стремятся к 0 при x → 0 , поэтому для того, чтобы раскрыть неопределенность типа , разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе вынесем за скобки x 2 , а в знаменателе воспользуемся формулой «разность косинусов» :
Решение . Чтобы вычислить данный предел, перейдем от переменной x к новой переменной z по формуле
то предел можно преобразовать к виду
Раскрытие неопределенностей типа
Определение 1 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .
Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.
Решение . Вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в каждой из скобок числителя и знаменателя дроби и, используя свойства пределов функций, получим
Решение . Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к более удобному виду:
Доказательство свойств
Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела
Все свойства ⇑ Если значения функции f ( x ) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , . x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Это следует из того, что в определение предела функции входят только значения независимой переменной из произвольной проколотой окрестности точки x 0 . Значение функции в самой точке x 0 полностью исключается из рассмотрения. Функция может быть определена в этой точке, или не определена – на существование и величину предела в точке x 0 это никакого влияния оказать не может.
Таким образом, если одна из точек, в которых производятся изменения значений функции, совпадает с x 0 , то это не может оказать влияния на величину или существование предела. Но, поскольку проколотая окрестность точки x 0 выбирается произвольно, то мы всегда можем сузить ее границы, чтобы в нее не попали остальные точки, поскольку их число конечно. Поэтому, при вычислении предела, значения функции в конечном числе точек, не оказывают влияния на величину или существование предела в произвольной точке.
Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел
Все свойства ⇑ Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , в которой функция f ( x ) ограничена:
.
Пусть существует конечный предел
.
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности точки a , существует такая проколотая окрестность точки , что для всех x , принадлежащих этой проколотой окрестности: , значения функции принадлежат окрестности точки a :
.
Поскольку число a конечно, то в качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность с : .
Тогда существует проколотая окрестность точки , так что для всех x , принадлежащих этой окрестности,
при .
Выполняем преобразования:
;
;
;
.
Итак, мы показали, что существует окрестность , для которой
при ,
где .
Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел
Все свойства ⇑ Пусть функция f ( x ) имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для всех x , принадлежащих этой окрестности: ,
, если ;
, если .
Пусть существует конечный предел, отличный от нуля
.
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности точки a , существует такая проколотая окрестность точки , что для всех x , принадлежащих этой проколотой окрестности: , значения функции принадлежат окрестности точки a :
.
В качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность:
.
Поскольку ε есть произвольное положительное число, то положим . Тогда существует проколотая окрестность точки , так что для всех x , принадлежащих этой окрестности,
при .
Раскрываем знак модуля и выполняем преобразования:
;
.
При , . Тогда
.
При , . Тогда
.
Теорема о пределе постоянной функции
Все свойства ⇑ Если в некоторой проколотой окрестности точки , – постоянная, то .
Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функция является постоянной:
при .
Тогда в этой окрестности, для любого положительного ,
.
То есть для любого , существует такая проколотая окрестность точки , совпадающая с , для всех точек которой
при .
Согласно определению Коши это означает, что
.
Теорема об односторонних пределах
Все свойства ⇑ Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Пусть существует конечный или бесконечный предел функции f в конечной или бесконечно удаленной точке :
.
Покажем, что существуют односторонние пределы, равные a .
Воспользуемся определением предела функции по Коши с использованием произвольных окрестностей. Согласно этому определению, для любой окрестности точки a , существует такая проколотая окрестность точки , на которой определена и
для всех .
Но двустороннюю проколотую окрестность можно представить как объединение левой и правой проколотых окрестностей. Тогда
для всех ;
для всех .
Это означает, что существуют односторонние равные пределы:
.
Примечание. Для бесконечно удаленной точки , под символами и мы понимаем и , соответственно.
Пусть теперь существуют равные односторонние пределы. Поскольку существует предел слева, то для любой окрестности точки a , существует такая проколотая левая окрестность точки , на которой определена и
для всех .
Поскольку существует предел справа, то для той же окрестности точки a , существует такая проколотая правая окрестность точки , на которой определена и
для всех .
Объединив окрестности и , получим проколотую двустороннюю, или просто проколотую окрестность точки :
.
Тогда, для выбранной нами произвольной окрестности ,
для всех .
Это означает, что
.
Свойство пределов функций, связанных неравенством
Все свойства ⇑ Если существуют конечные пределы и и в некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к : . И пусть ее элементы принадлежат проколотой окрестности точки , на которой выполняется неравенство
.
Рассмотрим последовательности и . Поскольку и , то согласно определению предела функции по Гейне, эти последовательности имеют пределы:
, .
Поскольку , то их элементы связаны неравенствами:
.
Тогда, согласно свойству неравенств,
.
Отсюда
.
Теорема о функциях, пределы которых связаны неравенством
Все свойства ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций и :
и ,
где – конечное число или бесконечно удаленная точка. Если эти пределы связаны неравенством , то существует такая проколотая окрестность точки , в которой
.
Поскольку существует конечный предел , то для любого положительного , существует такая проколотая окрестность точки , в которой значения функции принадлежат ε - окрестности точки :
.
Поскольку существует конечный предел , то для любого положительного , существует такая проколотая окрестность точки , в которой значения функции принадлежат ε - окрестности точки :
.
Возьмем .
И пусть – пересечение окрестностей и :
, где .
Тогда для всех выполняются неравенства:
;
.
Раскроем знаки модуля:
;
.
К первому неравенству прибавим и оставим только правую часть. Ко второму неравенству прибавим и оставим только левую часть. В результате получаем:
;
.
Отсюда следует:
.
Или
при ,
где , .
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Здесь a и x 0 также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Применяемые окрестности точек
В приведенном выше определении применяются произвольные окрестности точек. Например, проколотой окрестностью конечной точки является множество , где – два положительных числа, которые определяют размер окрестности. Более подробно, см. «Окрестность точки».
Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел , существуют числа , так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки : , значения функции принадлежат окрестности точки a: ,
где , .
С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел . Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить , . Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши».
Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .
Далее мы приводим формулировки определений предела функции по Коши для разных случаев, используя определения окрестностей с равноудаленными концами.
Конечные пределы функции в конечных точках
Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x 0 , если1) функция определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки ;
2) для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Бесконечные пределы функции
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Формулировки арифметических свойств конечных пределов
Пусть функции и определены на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
; доказательство ⇓
существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
; доказательство ⇓
если b ≠ 0 , то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
. доказательство ⇓
В частности, если C – постоянная, то есть заданное число, то постоянную можно выносить за знак предела:
; доказательство ⇓
Предел абсолютного значения функции равен абсолютному значению ее предела:
если , то . Доказательство ⇓
Мы привели арифметические свойства пределов для двух функций. Методом математической индукции легко показать, что они выполняются и для конечного числа функций.
Так, если n функций имеют конечные пределы в точке , то предел их суммы или разности равен сумме или разности их пределов; предел произведения равен произведению пределов.
В частности, если существует конечный предел , то предел от функции , возведенной в натуральную степень n , равен пределу этой функции в степени n :
.
Такое равенство справедливо не только для натуральных показателей степени n , но здесь мы рассматриваем только следствия арифметических свойств.
Применение замены переменной
Если функцию можно представить в виде сложной:
,
то можно попытаться упростить процесс вычисления предела , выполняя замену переменной. Для этого мы вычисляем предел
.
Здесь может быть конечным числом , либо одним из символов: .
Если является конечным числом и функция непрерывна в точке , то
.
Если функция не является непрерывной в , то мы должны вычислить предел
.
Если он существует, и при этом существует такая проколотая окрестность точки , на которой
при ,
то существует исходный предел
.
См. «Замена переменной при решении пределов».
Определение функции, верхней и нижней грани
Функцией y = f ( x ) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.
Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы в множестве X , называется областью или множеством значений функции.
Если это особо не оговорено, мы рассматриваем функции, области определения и множества значений которых принадлежат множеству действительных чисел.
Ограниченная функция Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех :
. Верхняя грань функции Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
. Нижняя грань функции Нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Здесь мы применим теорию к решению задач на вычисление пределов. Теория изложена в разделах «Предел последовательности», «Предел функции» и «Непрерывность функции».
Далее изложены приемы и методы вычисления пределов.
Пределы монотонных функций
Строго возрастающая функция Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей, если для всех таких что выполняется неравенство:. Строго убывающая функция Функция называется строго убывающей, если для всех таких что выполняется неравенство:
. Неубывающая функция Функция называется неубывающей, если для всех ; :
. Невозрастающая функция Функция называется невозрастающей, если для всех ; :
. Монотонная функция Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M : , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m : , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .
Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Свойства пределов функций
Если у функций f (x) и g (x) при x , стремящемся к a , существуют пределы
где A и B – некоторые числа, то при x , стремящемся к a , существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих функций , причем
Если, кроме того, выполнено условие
то при x , стремящемся к a , существует предел дроби
Для любой непрерывной функции F (x) справедливо равенство
Арифметические свойства предела функции
Если существуют конечные пределы , , то существуют пределы суммы, разности и произведения функций:
, , .
Если , то существует предел частного:
.
Аналогичные свойства имеют место и для бесконечно больших и бесконечно малых функций. Они изложены на странице «Бесконечно малые и бесконечно большие функции». При вычислении таких пределов выполняются следующие правила:
; ;
; ;
; ; ;
;
;
; ; .
Пусть a – произвольное действительное число. Тогда
; ;
; ; ; .
Пусть a > 0 . Тогда
; ; .
Пусть a < 0 . Тогда
; .
Эти правила применяются следующим образом. Пусть, например , , где – конечное положительное число. Тогда
;
;
;
.
В последнем случае, если это не промежуточное вычисление, можно опустить знак у нуля:
.
Раскрытие неопределенностей с дробями
При вычислении пределов с дробями, мы используем следующее свойство.
Если значения функции изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела в произвольной точке .
См. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела».
Для примера рассмотрим следующую функцию:
,
где – функция, непрерывная в . Функции f и g отличаются только в одной точке : не определена в этой точке, а – определена и непрерывна. Тогда, согласно приведенному свойству, пределы этих функций в любой точке равны. Поэтому
.
То есть, при вычислении пределов от дробей, числитель и знаменатель можно умножать и делить на конечное число равных сомножителей. В результате таких действий, мы можем получить другую функцию, область определения которой может отличаться от исходной. Но, поскольку это изменение затрагивает только конечное число точек, то это никак не повлияет на существование и величину предела.
Дроби из многочленов
Пусть нам нужно вычислить предел от дроби из многочленов:
.
При , числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Мы имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия, разделим числитель и знаменатель на :
.
Далее применяем арифметические свойства пределов функции. Поскольку , то
.
Пусть теперь x стремится к конечному числу x 0 : x → x 0 . Если возникает неопределенность вида 0/0 , то многочлены в числителе и знаменателе необходимо разделить на x – x 0 . Например,
.
Дроби с корнями
При вычислении пределов дробей с корнями, часто бывают полезными следующие формулы:
,
,
,
. . . . . . . . . . . .
.
Например, пусть требуется вычислить предел
.
При . Мы имеем неопределенность вида . Применим вторую формулу. Подставим :
.
Отсюда
;
;
.
Подобный прием также применяется и для раскрытия некоторых неопределенностей вида . Например:
.
Сравнение функций. О большое и о малое
Говорят, что функция f ограничена относительно функции g при x → x 0 , пишут
при ,
если функции f и g определены на некоторой проколотой окрестности точки и существует такое число C , что на этой окрестности выполняется неравенство:
.
Здесь . Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней. В последнем случае пишут или .
Функции f и g называются функциями одного порядка при , пишут
при ,
если и при .
Функция α называется бесконечно малой по сравнению с функцией f при , пишут
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.
Если, в предыдущем определении, f является бесконечно малой функцией при , то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка, чем f при .
Эквивалентные функции
Здесь и далее – конечная или бесконечно удаленная ( ) точка: .
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при , пишут
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.
Если, при , , то .
Если, при , и , то .
Если , то при .
Если , то при .
Если на некоторой проколотой окрестности точки ,
и , то
.
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
(э.1) .
В более общем случае, если при , , то
(э.1) .
Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.
Приводим список часто применяющихся эквивалентных функций при :
;
.
Таким образом применение эквивалентных функций, в ряде случаев, позволяет заменить функцию за знаком предела на более простую и упростить вычисление предела. Подчеркнем, что речь идет только о пределах вида (э.1). Для пределов функций других видов такая замена может привести к ошибкам.
См. «О большое и о малое. Сравнение функций», «Применение эквивалентных функций при решении пределов».
Разложение в степенной ряд
Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенности в конечной точке является разложение функций в степенной ряд. Далее приводим разложения элементарных функций при .
Пример. Пусть нам требуется найти предел
.
Разложим числитель и знаменатель в степенной ряд, в окрестности точки , и находим предел:
;
;
.
Правило Лопиталя
Теорема о раскрытии неопределенности 0/0
Пусть функции f и g непрерывны и имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной ( ) точки , причем и не равны нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .
Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞
Пусть функции f и g непрерывны и имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной ( ) точки , причем не равна нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .
Вычислим предыдущий предел, используя правило Лопиталя.
.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f ( x ) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , . x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f ( x ) ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для ,
, если ;
, если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , – постоянная, то .
Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0 :
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства предела функции».
Арифметические свойства предела функции
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства предела функции».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0 , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x 0 , что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g ( x ) при x → x 0 , и он равен t 0 :
.
Здесь точка x 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f ( t ) непрерывна в точке t 0 .
Тогда существует предел сложной функции f ( g ( x )) , и он равен f ( t 0) :
.
Известные пределы
Пределы с непрерывными функциями
Если функция f непрерывна в конечной точке , то
.
См. «Определение непрерывности». Элементарные функции: , и обратные к ним, непрерывны на своих областях определения.
Пределы с показательной и степенной функциями
Следующие пределы следуют из свойств показательной и степенной функций.
При : , , , .
При : , , , .
При : , , , .
При : , , , .
Замечательные пределы
Пример
Воспользуемся тем, что .
Последовательно применяем арифметические свойства пределов функции.
;
;
;
;
.
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
и произносят так: «Предел an при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».
То же самое соотношение можно записать следующим образом:
Словами это произносится так: « an стремится к a при n , стремящемся к бесконечности».
ЗАМЕЧАНИЕ . Если для последовательности
найдется такое число a , что an → a при , то эта последовательность ограничена.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Говорят, что последовательность
стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
Условие того, что числовая последовательность
стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения
или с помощью обозначения
ПРИМЕР 1 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство
ПРИМЕР 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство
ПРИМЕР 3 . Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо равенство
ПРИМЕР 4 . Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство
ПРИМЕР 5 . Последовательность
предела не имеет.
Свойства пределов числовых последовательностей
Рассмотрим две последовательности
Если при существуют такие числа a и b , что
то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем
Если, кроме того, выполнено условие
то при существует предел дроби
Для любой непрерывной функции f (x) справедливо равенство
Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
знаменатель которой равен q .
Для суммы первых n членов геометрической прогрессии
Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение
то будет справедлива формула
В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству
Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .
Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.
ПРИМЕР 6 . Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3, получаем
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и сокращая дробь, получаем
ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ . Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
РЕШЕНИЕ . Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби:
В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.
ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:
ПРИМЕР 9 . Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ . В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».
Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а затем сокращая дробь на n 2 :
ПРИМЕР 10 . Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ . Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство
Число e. Второй замечательный предел
В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой e .
Таким образом, справедливо равенство
причем расчеты показывают, что число
Число e играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции
которую называют «экспонента».
что позволяет вычислять число e с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.
ЗАМЕЧАНИЕ . Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки x 0 . Точка x 0 может являться конечным числом или одним из символов бесконечности: . Окрестность может быть как двусторонней для двусторонних пределов, так и односторонней для односторонних.
Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела
Если значения функции f ( x ) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , . x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Доказательство ⇓
Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел
Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , в которой функция f ( x ) ограничена:
.
Доказательство ⇓
Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел
Пусть функция f ( x ) имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для всех x , принадлежащих этой окрестности: ,
, если ;
, если .
Доказательство ⇓
Теорема о пределе постоянной функции
Если в некоторой проколотой окрестности точки , – постоянная, то .
Доказательство ⇓
Теорема об односторонних пределах
Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Доказательство ⇓
Свойство пределов функций, связанных неравенством
Если существуют конечные пределы и и в некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Доказательство ⇓
Заметим, что если функции удовлетворяют строгому неравенству , то их пределы все равно связаны нестрогим неравенством .
Свойство неравенств бесконечно больших функций
Если , и в некоторой проколотой окрестности точки
,
то .
Доказательство
В частности, если в некоторой проколотой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .
Теорема о промежуточной функции
Если в некоторой проколотой окрестности конечной, или бесконечно удаленной точки x 0 , выполняются неравенства:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то существует предел функции :
.
Доказательство
Теорема о функциях, пределы которых связаны неравенством
Пусть существуют конечные пределы функций и :
и ,
где – конечное число или бесконечно удаленная точка. Если эти пределы связаны неравенством , то существует такая проколотая окрестность точки , в которой
.
Доказательство ⇓
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Бесконечно малая функция при – это такая функция , предел которой при равен нулю:.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при .
Бесконечно большие функции
Бесконечно большая функция при – это такая функция , предел которой при равен бесконечности:.
Свойства бесконечно больших функций
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при , а функция – ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.
Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».
Доказательство свойств
Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела
Все свойства ⇑ Если значения функции f ( x ) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , . x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Это следует из того, что в определение предела функции входят только значения независимой переменной из произвольной проколотой окрестности точки x 0 . Значение функции в самой точке x 0 полностью исключается из рассмотрения. Функция может быть определена в этой точке, или не определена – на существование и величину предела в точке x 0 это никакого влияния оказать не может.
Таким образом, если одна из точек, в которых производятся изменения значений функции, совпадает с x 0 , то это не может оказать влияния на величину или существование предела. Но, поскольку проколотая окрестность точки x 0 выбирается произвольно, то мы всегда можем сузить ее границы, чтобы в нее не попали остальные точки, поскольку их число конечно. Поэтому, при вычислении предела, значения функции в конечном числе точек, не оказывают влияния на величину или существование предела в произвольной точке.
Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел
Все свойства ⇑ Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , в которой функция f ( x ) ограничена:
.
Пусть существует конечный предел
.
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности точки a , существует такая проколотая окрестность точки , что для всех x , принадлежащих этой проколотой окрестности: , значения функции принадлежат окрестности точки a :
.
Поскольку число a конечно, то в качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность с : .
Тогда существует проколотая окрестность точки , так что для всех x , принадлежащих этой окрестности,
при .
Выполняем преобразования:
;
;
;
.
Итак, мы показали, что существует окрестность , для которой
при ,
где .
Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел
Все свойства ⇑ Пусть функция f ( x ) имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для всех x , принадлежащих этой окрестности: ,
, если ;
, если .
Пусть существует конечный предел, отличный от нуля
.
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности точки a , существует такая проколотая окрестность точки , что для всех x , принадлежащих этой проколотой окрестности: , значения функции принадлежат окрестности точки a :
.
В качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность:
.
Поскольку ε есть произвольное положительное число, то положим . Тогда существует проколотая окрестность точки , так что для всех x , принадлежащих этой окрестности,
при .
Раскрываем знак модуля и выполняем преобразования:
;
.
При , . Тогда
.
При , . Тогда
.
Теорема о пределе постоянной функции
Все свойства ⇑ Если в некоторой проколотой окрестности точки , – постоянная, то .
Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функция является постоянной:
при .
Тогда в этой окрестности, для любого положительного ,
.
То есть для любого , существует такая проколотая окрестность точки , совпадающая с , для всех точек которой
при .
Согласно определению Коши это означает, что
.
Теорема об односторонних пределах
Все свойства ⇑ Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Пусть существует конечный или бесконечный предел функции f в конечной или бесконечно удаленной точке :
.
Покажем, что существуют односторонние пределы, равные a .
Воспользуемся определением предела функции по Коши с использованием произвольных окрестностей. Согласно этому определению, для любой окрестности точки a , существует такая проколотая окрестность точки , на которой определена и
для всех .
Но двустороннюю проколотую окрестность можно представить как объединение левой и правой проколотых окрестностей. Тогда
для всех ;
для всех .
Это означает, что существуют односторонние равные пределы:
.
Примечание. Для бесконечно удаленной точки , под символами и мы понимаем и , соответственно.
Пусть теперь существуют равные односторонние пределы. Поскольку существует предел слева, то для любой окрестности точки a , существует такая проколотая левая окрестность точки , на которой определена и
для всех .
Поскольку существует предел справа, то для той же окрестности точки a , существует такая проколотая правая окрестность точки , на которой определена и
для всех .
Объединив окрестности и , получим проколотую двустороннюю, или просто проколотую окрестность точки :
.
Тогда, для выбранной нами произвольной окрестности ,
для всех .
Это означает, что
.
Свойство пределов функций, связанных неравенством
Все свойства ⇑ Если существуют конечные пределы и и в некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к : . И пусть ее элементы принадлежат проколотой окрестности точки , на которой выполняется неравенство
.
Рассмотрим последовательности и . Поскольку и , то согласно определению предела функции по Гейне, эти последовательности имеют пределы:
, .
Поскольку , то их элементы связаны неравенствами:
.
Тогда, согласно свойству неравенств,
.
Отсюда
.
Теорема о функциях, пределы которых связаны неравенством
Все свойства ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций и :
и ,
где – конечное число или бесконечно удаленная точка. Если эти пределы связаны неравенством , то существует такая проколотая окрестность точки , в которой
.
Поскольку существует конечный предел , то для любого положительного , существует такая проколотая окрестность точки , в которой значения функции принадлежат ε - окрестности точки :
.
Поскольку существует конечный предел , то для любого положительного , существует такая проколотая окрестность точки , в которой значения функции принадлежат ε - окрестности точки :
.
Возьмем .
И пусть – пересечение окрестностей и :
, где .
Тогда для всех выполняются неравенства:
;
.
Раскроем знаки модуля:
;
.
К первому неравенству прибавим и оставим только правую часть. Ко второму неравенству прибавим и оставим только левую часть. В результате получаем:
;
.
Отсюда следует:
.
Или
при ,
где , .
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Здесь a и x 0 также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Применяемые окрестности точек
В приведенном выше определении применяются произвольные окрестности точек. Например, проколотой окрестностью конечной точки является множество , где – два положительных числа, которые определяют размер окрестности. Более подробно, см. «Окрестность точки».
Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел , существуют числа , так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки : , значения функции принадлежат окрестности точки a: ,
где , .
С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел . Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить , . Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши».
Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .
Далее мы приводим формулировки определений предела функции по Коши для разных случаев, используя определения окрестностей с равноудаленными концами.
Конечные пределы функции в конечных точках
Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x 0 , если1) функция определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки ;
2) для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Бесконечные пределы функции
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Читайте также: