В трапецию вписана окружность докажите что синус aod sin boc

Обновлено: 05.07.2024

Задание 2 №27512) На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в 2003 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 20

Задание 3 №502041) На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 34. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 102

Задание 4 №282856) При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

Ответ: 0,006

Задание 5 №26657) Найдите корень уравнения log4(x+3)=log4(4x-15).

Ответ: 6

Задание 6 №27610) Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30

Задание 7 №27505) На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: -2

Задание 8 №27102) Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Ответ: 2

Задание 9 №26788) Найдите 3cosa-4sina/2sina-5cosa, если tg a=3.

Ответ:-9

Задание 10 №27962) Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: , где – время в минутах, К, К/мин, К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Ответ:2

Задание 11 №99593) Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 45

Задание 12 №26712) Найдите точку минимума функции y=(3-x)e3-x.

Ответ: 4

Задание 13 №514623) а) Решите уравнение 6log 2/8x-5log8x+1=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2;2,5].

Задание 14 №520190) Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60 градусов. а) Докажите, что ABCD — квадрат. б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен корень из 2

Ответ: 0,8

Задание 15 №508213) Решите неравенство: 1/x-1+1/2-x<5.

Задание 16 №517758) В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O. а) Докажите, что sin AOD=sin BOC. б) Найдите площадь трапеции, если BAD=90 градусов, а основания равны 5 и 7.

Ответ: 35

Задание 17 №508609) Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?

Ответ: 10%

Задание 18 №514741) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение корень из x+ корень 2a-x=a имеет ровно два различных корня.

Задание 19 №514485) На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9, а вместо 3,3 и 5 записывается 8). а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел. б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7? в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?

В трапецию вписана окружность докажите что синус aod sin boc

В равнобокую трапецию вписана окружность.

а) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции. (Средним геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения )

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.

а) Пусть в трапеции ABCD Опустим высоты BE и CF на основание AD. Тогда Поскольку трапеция описанная и равнобедренная, то

Из прямоугольного треугольника ABE имеем Очевидно, что диаметр окружности равен расстоянию между основаниями трапеции, то есть как раз найденной высоте.

б) По пункту а) диаметр окружности равен а радиус, следовательно, равен 6. Боковая сторона трапеции равна 13. Поскольку верхнее основание поделено точкой касания на отрезки длиной 4, а нижнее — на отрезки длиной 9, боковая сторона поделена на отрезки длиной 4 и 9.

Соединим теперь точки касания на боковых сторонах. отрезок, соединяющий их, параллелен основаниям и делит боковую cторону в отношении Тогда его длина равна

Итак, диагонали нужного нам четырехугольника перпендикулярны и имеют длины 12 и поэтому его площадь равна

В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

б) Найдите площадь трапеции, если а основания равны 5 и 7.

б) Окружность радиуса R, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, касается ее сторон AB, BC, CD и AD в точках соответственно. Тогда AKON и BKOL — квадраты, поэтому Значит,

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, пересекаются под прямым углом, поэтому треугольник COD прямоугольный. Отрезок — высота этого прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, поэтому то есть Откуда находим, что Следовательно, площадь трапеции равна

Приведем решение, основанное на идее Олега Бражника из Саратова.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 992 (C часть)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2017

а) Докажите, что треугольник AKD тупоугольный.

б) Найти отношение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD.

б) Опустим высоту на Пусть тогда

Итак, поэтому треугольники и подобны с коэффициентом

а) Поскольку точка равноудалена от всех сторон трапеции, и — биссектрисы ее углов, поэтому откуда следует, что лежат на одной окружности. Но тогда

б) Обозначим радиус окружности за тогда По свойству описанного четырехугольника По теореме Пифагора для треугольника находим откуда Далее, треугольники и подобны с коэффициентом Поэтому если спроецировать точку на прямую (назовем проекцию точкой ), расстояние от проекции до составит Но для точки это тоже верно, поскольку радиус окружности равен Значит,

Окружность S радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром O₁ вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке P. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:

а так как точки D, O₁ и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то

Если же окружность радиуса r₁ с центром O₂ вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение из которого найдём, что

Окружность S радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 18 и 32. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Пусть — трапеция с боковыми сторонами и а окружность с центром вписанная в трапецию, касается оснований и в точках и соответственно.

Точки и — середины оснований, поэтому и Из прямоугольных треугольников и находим, что

Рассмотрим случай, когда окружность радиуса с центром вписана в угол касается окружности в точке а стороны — в точке Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:

а так как точки и лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то

Треугольники O₁PD и OMD подобны, поэтому или откуда находим, что

Если же окружность радиуса с центром вписана в угол и касается окружности то аналогично получим уравнение из которого найдём, что

Аналоги к заданию № 507492: 511433 Все

Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.

а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.

б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.

а) Поскольку основания трапеции AD и BC параллельны, а её высота то а значит, вписанный угол KBC, равны 90°, опирается на диаметр CK, на который опирается и вписанный угол CAK . Поэтому

б) Вписанные углы CKB и CAB опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике KBC катет BC лежит напротив угла 30°, а значит, равен половине гипотенузы CK, то есть а катет

В треугольниках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC прямые, и значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, то есть а значит,

Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота BH делит большее основание AD на отрезки и Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим откуда

Тогда поэтому то есть

Источник: ЕГЭ — 2021 по математике. Основная волна 07.06.2021. Санкт-Петербург, Задания 16 ЕГЭ–2021

Трапеция ABCD с основаниями AD = 6 и BC = 4 и диагональю BD = 7 вписана в окружность. На окружности взята точка К, отличная от точки D так, что BK = 7. Найдите длину отрезка АК.

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Отметим на дуге AD точку так, чтобы Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Равенство углов следует из равенства дуг стягиваемых равными хордами. Тогда равны дуги и а значит, равны и опирающиеся на них вписанные углы.

Значит, При этом точка не совпадает с точкой D, поскольку Значит, точка совпадает с точкой K (поскольку из точки B в окружности можно провести не более двух хорд данной длины). Тогда

Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.

а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.

б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где точка пересечения отрезков AD и CK.

Следовательно, то есть а значит,

Тогда поэтому то есть

Аналоги к заданию № 563577: 563551 Все

Источник: ЕГЭ — 2021 по математике. Основная волна 07.06.2021. Подмосковье, Задания 16 ЕГЭ–2021

Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС = 11. Найдите сторону АВ.

В трапеции BMNC вписана окружность, поэтому

По формуле Герона:

Отсюда находим, что или

Ответ: 13 или 20.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 114, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 19. Найдите сторону AB.

Обозначим AB = x, AC = y, p — полупериметр треугольника ABC. Пусть M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда

В трапецию BMNC вписана окружность поэтому

По формуле Герона

Отсюда находим, что x = 20 или x = 37.

Аналоги к заданию № 500920: 507598 511448 Все

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 8, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 8. Найдите сторону AB.

В трапецию BMNC вписана окружность поэтому

По формуле Герона

Отсюда находим, что или

Аналоги к заданию № 500920: 507598 511448 Все

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

а) Так как ABMN и MCDN можно вписать в окружность, следовательно

б) Рассмотрим треугольники BKO и BOL, где

Из прямоугольных треугольников AOL и ABL получим:

Покажем связь между углами BAD и OAH и найдем PP₁:

Теперь найдем радиус окружности:

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, второй раз пересекает большее основание AD в точке H.

а) Докажите, что треугольник CHD равнобедренный.

б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно 6 и 6,5.

а) Доплнительные построения и обозначения:

О — центр вписанной окружности; O₁ — середина отрезка AB; MN — отрезок, соединяющий середины оснований равнобедренной трапеции; ОМ, ОN радиусы вписанной окружности; E — проекции С на АD; K — точка касания первой окружности стороны трапеции CD.

В трапецию вписана окружность докажите что синус aod sin boc

В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.

Приведем другую идею решения пункта б).

Так как BH — высота прямоугольного треугольника ABD, квадрат катета AB равен произведению проекции этого катета на гипотенузу, то есть проекции AH на AD. Но откуда получаем или

Приведем решение пункта б) Анастасии Белоусовой.

По теореме Птолемея произведение диагоналей четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон:

Трапеция равнобедренная, следовательно, ее диагонали равны, тогда

Из прямоугольного треугольника ACD получим

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 991 (C часть). Он же: вариант 751 (резервный день 25.06.2018), Задания 16 (С4) ЕГЭ 2018

В пункте б) можно сделать чуть иначе.

Так как BH высота прямоугольного треугольника ABD, то квадрат катета AB равен произведению проекции этого катета на гипотенузу, т.е. AH, на саму гипотенузу AD, а гипотенуза AD = BC+ 2 АН и сразу получаем квадратное уравнение АВ^2 =AH*(7+2*AH), AH = 0,5, AD=8.

Добавили примечанием в текст решения.

а) Докажите, что треугольник CHD равнобедренный.

б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно 6 и 6,5.

а) Доплнительные построения и обозначения:

В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром в точке О. Чему равны углы AOB и COD?

Центр O лежит в точке пересечения биссектрис всех углов трапеции.
Сумма внутренних односторонних углов дает развернутый угол
∠BAD + ∠ABD = 180°;
Значит, сумма половин дает прямой угол
∠BAO + ∠ABO = 90°;
То есть эти биссектрисы перпендикулярны.
∠AOB = 90°;
само собой, так же и угол ∠COD = 90°;

там опечатка, только заметил. ∠BAD + ∠ABC = 180°; это никак не влияет на решение

Новые вопросы в Геометрия

На рисунке 2 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (дл … ины отрезков даны в сантиметрах).

Срочно. Дві прямі перетинаються. Причому сума градусних мір трьох з утворених кутів = 220 градусів. Знайти кут між прямими

Найти угол Углы AOK и BOK смежные. Луч OK перпендикулярен прямой AB, OE биссектриса угла AOK. Луч OM делит угол KOB на два угла, так, что угол MOB=31. … Найдите градусную меру угла . БЕЗ РШЕНИЯ НЕ ПРИНИМАЕТСЯ!!

сума двох кутів параллелограмма дорівнює 100°. Знайдіть градусну міру кожного з кутів.СРОЧНО.

Читайте также: