Составить простейшее уравнение эллипса зная что полуоси его соответственно равны 4 и 2
Обновлено: 08.05.2024
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.
Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:
где A, B, C, D, E, F - числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.
Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34
2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)
3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)
Уравнение эллипса
Уравнение эллипса
Помогите составить уравнение эллипса, если известно, что один из фокусов находится в точке (6:0), а.
Составить уравнение эллипса
Составить уравнение элипса , если известно e, и c. Можно подставить любые значение, мне важно.
Каноническое уравнение эллипса
Как связаны фокус с директрисой эллипса в канонических координатах? Грубо говоря, известны фокусы.
Найти уравнение эллипса
Даны фокусы F1(3;0), F2(-3;0). Уравнение касательной: х+у-5=0 Добавлено через 19 часов 52 минуты.
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
Если - произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и - расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний - следующие:
Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
называются директрисами эллипса (на чертеже - красные линии по краям).
Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса
где и - расстояния этой точки до директрис и .
Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:
Получаем уравнение директрис эллипса:
Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .
Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:
Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:
Уравнение эллипса готово:
Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.
Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:
Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.
Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e - эксцентриситет и числа "эр" с подстрочными индексами 1 и 2 - искомые расстояния. Получаем:
Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.
так как из исходного уравнения эллипса .
Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.
Составить уравнение эллипса, если его 2 вершины имеют координаты
Составить уравнение эллипса, зная координаты его фокусов, и одной из вершин
Составить уравнение эллипса, зная координаты его фокусов F1(-3; 0), F2(5; 6), и одной из вершин.
Составить уравнение эллипса, если известны координаты точек фокусов (не лежат на осях) и известна одна директриса
Доброго времени дня! Изучаю уравнения второго порядка. Тема новая, поэтому сильно туплю. Необходимо.
Например, Тогда две другие вершины эллипса имеют координаты
Добавлено через 12 минут
Прошу извинить за опечатку: вместо должно быть
Почему большая? И не ось, а полуось b.
Можно взять и другое число. К сожалению. условие задачи не содержит данных для однозначного выбора. Я ведь использовал слово "например".Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Найти координаты вершин квадрата, если известны координаты одной вершины и уравнение одной стороны
Найти координаты вершин квадрата, если известны координаты одной вершины (11;23) и уравнение одной.
Составить уравнение сторон равнобедренного треугольника, зная его вершины и уравнение стороны
Составить уравнение сторон АС и АВ равнобедренного треугольника АВС (АС = АВ), зная его вершины.
Составьте уравнение конической поверхности, если даны уравнения направляющей и координаты вершины
Составьте уравнение конической поверхности, если даны уравнения направляющей и координаты вершины.
Составить каноническое уравнение эллипса и найти его эксцентриситет
Прямая l касается эллипса, фокусы которого расположены в точках F1, F2. Составить каноническое.
Найти параметры эллипса, составить его уравнение, сделать чертеж
Эллипс симметричный относительно осей координат с эксцентриситетом \varepsilon=\frac проходит.
Составить уравнение эллипса
Составить уравнение эллипса
Составить уравнение эллипса, имеющего общие фокусы с гиперболой x^2-2y^2=24, если эксцентриситет.
Составить уравнение эллипса
Даны точка эллипса ( 2 , -5/3 ) и эксцентриситет 2/3. Составить уравнение эллипса. Намекните на.
Составить уравнение эллипса
34. Составить уравнение эллипса, зная, что его фокусы _(2, 12), _(2, 4) .
Эллипс, заданный каноническим уравнением
Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где a и b (a > b) - длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.
Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.
Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат - в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат - малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность - частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .
Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.
Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:
Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия - эллипс.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.
Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось - это a = 5 , меньшая полуось - это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:
Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где
называются фокусами.
называется эксцентриситетом эллипса.
Отношение b/a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.
Решение. Делаем несложные умозаключения:
- если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,
- если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.
Подставляем и вычисляем:
Результат - каноническое уравнение эллипса:
Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:
Составляем каноническое уравнение эллипса:
Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:
Получаем фокусы эллипса:
Решение
Можно непосредственно.Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов постоянна и равна 2a, где a - большая полуось. отсюда имеем Это и есть уравнение. Формально мы уже решили задачу. Но можно избавиться от радикалов, изолируя их в одной части равенства и возводя в квадрат.
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Составить уравнение эллипса
Составить уравнение элипса , если известно e, и c. Можно подставить любые значение, мне важно.
составить уравнение эллипса
Составить уравнение эллиипса, если он проходит через т. А(-3;-5), один из фокусов (1;-4). а.
Составить каноническое уравнение эллипса
Площадь квадрата, две противоположные вершины которого расположены в фокусах эллипса, а две другие.
Составить каноническое уравнение эллипса
Составить каноническое уравнение эллипса по его директрисам x =1, x =13 и малой полуоси b =.
Составить каноническое уравнение эллипса
Эксцентриситет 1\2 Эллипс проходит через точку М(2;3) Директрисы задаются уравнениями y = 5 и y =.
Читайте также: