Sin x как найти x
Обновлено: 16.05.2024
При изучении колебаний и в других случаях необходимо выражения вида A ⋅ sin x + B ⋅ cos x свести к одной тригонометрической функции, например, к виду C ⋅ sin ( x + t ) .
Пусть дано выражение sin x + 3 cos x . Вынесем \(2\) за скобки: 2 ⋅ 1 2 sin x + 3 2 cos x . Заметим, что 1 2 = cos π 3 , 3 2 = sin π 3 . Выполним замену и применим формулу «синус суммы» для аргументов \(x\) и π 3 .
Итак, 2 ⋅ 1 2 sin x + 3 2 cos x = 2 ⋅ cos π 3 sin x + sin π 3 cos x = 2 sin x + π 3 .
При каком условии выражение вида A ⋅ sin x + B ⋅ cos x можно преобразовать к виду C ⋅ sin ( x + t ) ?
Что C = A 2 + B 2 . В самом деле A 2 + B 2 = 3 2 + 1 2 = 4 = 2 2 = C 2 .
На самом деле подобным образом преобразовывают любое выражение вида A ⋅ sin x + B ⋅ cos x .
Сделаем замену: C = A 2 + B 2 . Учитываем, что A C 2 + B C 2 = 1 .
Действительно, A C 2 + B C 2 = A 2 C 2 + B 2 C 2 = A 2 + B 2 C 2 = C 2 C 2 = 1 .
Следовательно, пара чисел A C , B C удовлетворяет уравнению x 2 + y 2 = 1 , т. е. точка, которая имеет координаты A C ; B C лежит на единичной окружности. Таким образом, A C — косинус, B C — синус некоторого аргумента \(t\), т. е. A C = cos t , B C = sin t .
Принимая во внимание вышеперечисленные выкладки, преобразуем выражение A ⋅ sin x + B ⋅ cos x :
A ⋅ sin x + B ⋅ cos x = C ⋅ A C sin x + B C cos x = C cos t ⋅ sin x + sin t ⋅ cos x = C ⋅ sin x + t .
Итак, A ⋅ sin x + B ⋅ cos x = C ⋅ sin x + t , где C = A 2 + B 2 .
1. Арксинус и уравнение sin x = a
Если a ≤ 1 , то корни уравнения выражаются формулой x = ( − 1 ) k arcsin a + π k , k ∈ ℤ .
Что же такое arcsin a ? Арксинус в переводе с латинского означает «дуга и синус». Это обратная функция.
Если a ≤ 1 , то arcsin a (арксинус a ) — это такое число из отрезка − π 2 ; π 2 , синус которого равен a .
Выражение arcsin 1 2 показывает, что синус угла x равен 1 2 , т. е. sin x = 1 2 .
Далее просто находим точку этого синуса на числовой окружности, что и является ответом:
точка 1 2 , находящаяся на оси y , соответствует точке π 6 на числовой окружности.
Значит, arcsin 1 2 = π 6 .
В первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором — наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.
Теорема. Для любого a ∈ − 1 ; 1 справедлива формула arcsin ( − a ) = − arcsin a .
Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи
На этом уроке мы продолжим изучение тригонометрической функции у = sin х и решим типовые задачи. Вначале рассмотрим основные точки этой функции на промежутке [-π/2;π/2] на графике и на круге и выясним основные особенности функции на этом промежутке. Решим несколько примеров на чтение графика и сформулируем типовую прямую и обратную задачу для этой функции на рассматриваемом промежутке. Подробно рассмотрим монотонность функции на заданном промежутке и решим задачи с ее использованием. Далее рассмотрим модификации графика функции, а именно: сдвиг кривой вправо и влево, а также вверх и вниз. Решим несколько примеров на построение графика.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»
Функция y=sinx, ее основные свойства и график
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»
Читайте также: