Sin wt как найти

Обновлено: 07.07.2024

Переменный ток-это ток, сила или направление которого (или то и другое в месте) изменяются во времени.

Характеристики переменного тока, частота, фаза:

Пульсирующий ток-это ток, изменяющийся только по величине.

Наиболее часто используется переменный синусоидальный ток. Периодически не синусоидальные токи можно с любой степенью точности представить, как сумму синусоидальных переменных токов.

Мгновенные значения переменного синусоидального тока и напряжения выражаются формулами:

I = I _m * sin w t

U = U _m * sin ( w t + j )

w=2pn

Где I _m и U_m – наибольшие(амплитудные) значения тока и напряжения, w- угловая(циклическая) частота тока, t -время, j - разность фаз между током и напряжением, n - частота тока.

Действующим (или эффективным) значением переменного тока ( I ) называют такое значение постоянного тока, который на том же омическом сопротивлении выделяет ту же мощность, что и переменный ток.

Индуктивная и емкостная нагрузка в цепи переменного тока:

В большинстве случаев (но не всегда) ампер метры и вольт метры показывают действующее значение тока или напряжения. Для синусоидальных токов:

I = I _m / 2

U = U_m / 2

Индуктивная нагрузка L в цепи переменного магнитного тока действует аналогично сопротивлению, включенному в цепь, т.е. уменьшает силу тока. Величина индукционного сопротивления:

X_L = w L

Это сопротивление обусловлено возникающей в катушке Э.Д.С. самоиндукции.

Переменный ток в приборе, обладающем только индуктивным сопротивлением, отстает на 90 ○ по фазе от напряжения, которое приложено к прибору.

Емкостная нагрузка в цепи переменного тока (в отличие от постоянного тока!) характеризуется определенным сопротивлением. Сопротивление, которая оказывает такая нагрузка, называют емкостным:

X_C =1/ w C

Ток в конденсаторе опережает напряжение на 90 ○ . При последовательном соединении активной, индуктивной и емкостной нагрузки полное сопротивление равно:

Z = R 2 +( w L -1/ w C ) 2

Величина Z называется кажущимся сопротивлением (импедансом) в отличие от величины R , которая называется омическим сопротивлением.

При X_L = X_C кажущееся сопротивление имеет наименьшее значение, а ток в цепи наибольшее значение.

Это явление называется последовательным электрическим резонансом.

Угол сдвига фаз между током и напряжением определяется из соотношений:

tg j = ( w L -1/ w C )/ R

cos j = R / Z

Мощность переменного тока:

Мощность выделяемая переменным током в цепи:

P = U I * cos j

Величину cos j называют коэффициентом мощности.

При параллельном включении емкостной, индуктивной и фктивной нагрузки общее сопротивление:

Z =1/ (1/ R 2 )+(1/ w L - w c ) 2

А сдвиг фаз определяется из соотношения:

tg j = R *(1/ w L - w c )

При X_L = X_C кажущееся сопротивление Z_P = R имеет максимальное значение, а j =0. Это явление называется параллельным электрическим резонансом.

При прохождении переменного тока по проводнику в нем наводятся индукционные токи; плотность тока у поверхности проводника будет больше, чем в середине. Это различие будет тем больше, чем выше частота тока (при высоких частотах плотность тока в середине проводника может быть практически равной нулю). Это явление называют поверхностным эффектом (или скинэффектом).

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt₃, когда при времени t₃ сумма ωt₃ + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt₇, когда при времени t₇ сумма углов ωt₇ + φ = 270° и, соответственно,

и имеет нулевое значение при угле ωt₁₁, когда при времени t₁₁ сумма ωt₁₁ + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

2) тригонометрическая форма в виде

3) алгебраическая форма

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

1. 1. • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

   Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

   
   

   Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

   Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

   
   

   Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

   По закону Ома ток в цепи равен

   
   

   
   

   Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

   
   

   Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

   
   

   Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

   
   

   Находим комплексное сопротивление индуктивности

   
   

   Находим комплексное сопротивление емкости

   
   

   Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

   
   

   
   

   Комплексные напряжения на элементах

   
   

   
   

   Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

   
   

   С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

   Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
   1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
   2) действующие значения токов в ветвях;
   3) показания вольтметра и ваттметра;

   Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

   
   

   Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

   Решение:
   1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
   Учитываем, что

   
   

   Комплексное сопротивление первой ветви:

   
   

   Комплексное сопротивление второй ветви:

   
   

   Комплексное сопротивление третьей ветви:

   
   

   Общее сопротивление цепи

   
   

   
   

   2. Находим действующие значения токов в ветвях:

   
   

   Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

   
   

   Действующие значения, соответственно,

   
   

   3. Определим показания приборов:
   Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
   U=220 В
   Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

   Sin wt как найти

   Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

   В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

   Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для периодического тока имеем

   Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

   Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01 ¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .

   Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

   i - мгновенное значение тока ;

   u – мгновенное значение напряжения ;

   е - мгновенное значение ЭДС ;

   р - мгновенное значение мощности .

   Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ) .

   Действующее значение переменного тока

   Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

   Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

   Синусоидально изменяющийся ток

   Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

   Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
   и токов на плоскости декартовых координат

   Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

   Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ соответствуют уравнения:

   
   Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): и - начальной фазой ( ).

   Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть , где f– частота.

   При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

   Для синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ угол сдвига фаз:

   Векторное изображение синусоидально
   изменяющихся величин

   На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е₁ и е₂ (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

   Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

   Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

   Результирующий ток также будет синусоидален:

   Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

   На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

   Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

   Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .

   Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
   и токов комплексными числами

   Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

   Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

   показательной

   тригонометрической или

   алгебраической - формах.

   Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

   Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

   В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

   Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

   Параметр , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр - комплексом мгновенного значения.

   Параметр является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора.

   Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .

   Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

   Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

   Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

   - то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

   Тогда мгновенное значение напряжения:

   При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)

   а при (третий квадрант)

   Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

   Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

   Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:

   Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

   В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

   Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:

   Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

   1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

   2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

   Контрольные вопросы и задачи

   1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

   2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

   3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

   4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

   Читайте также:

     
   • Как он играет в злую училку
     
   • Как устроить фотосъемку в симс фриплей
     
   • Как стать бомжом в реальной жизни
     
   • Сталкер как уменьшить силу монстров
     
   • Как писать плагины для unturned