S 1 2 ab sin a что за формула

Обновлено: 16.05.2024

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если параметры переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2 + b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.

Что и требовалось доказать.

Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

Формула для нахождения площади треугольника через вписанную окружность и стороны:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

Формула для нахождения площади треугольника через описанную окружность и стороны:

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Решение задач

Задача 1. Найти площадь треугольника ABC, если а) AB = 6*√8 см, АС = 4 см, угол А = 60 градусов б) BC = 3 см, AB = 18*√2 см, угол B= 45 градусов в) AC = 14 см, CB = 7 см, угол C= 48 градусов.

По доказанной выше теореме площадь S треугольника ABC равна:

в) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ см^2.

Значение синуса угла считаем на калькуляторе либо используем значения из таблицы значений тригонометрических углов. Ответ:

в) приблизительно 36.41 см^2.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 60 см^2. Найдите сторону AB, если AC = 15 см, угол А = 30˚.

Положим S – площадь треугольника ABC. По теореме о площади треугольника имеем:

Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S – площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = (1/2)*a*b*sin(C).

Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, а точка А имела бы положительную ординату.

Если все выполнить правильно, то должен получится следующий рисунок.

Площадь данного треугольника можно вычислить по следующей формуле: S = (1/2)*a*h, где h - это высота треугольника. В нашем случае высота треугольника h равна ординате точки А, то есть h = b*sin(C).

Учитывая полученные результат, формулу площади треугольника можно переписать следующим образом: S = (1/2)*a*b*sin(C). Что и требовалось доказать.

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам.

S = 0,5 * a * b, где a, b — стороны.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу.

S = 0,25 * c 2 * sin(2α), где c — гипотенуза, α — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу.

S = 0,5 * a 2 * tg(α), где a — катет, α — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и по радиусу вписанной окружности.

S = r * (r + c), где c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника вписанного в окружность.

Площадь прямого треугольника по формуле Герона.

S = (p − a) * (p − b), где a, b — катеты, p — полупериметр, который рассчитывается по формуле p = (a + b + c) : 2.

Площадь треугольника через основание и высоту

Формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 < cos α < 1.

Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1.

Теорема косинусов и синусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из формулы следует: a 2 = c 2 - b 2

К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:

Но так как b = c * cos α, то

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

BC 2 = a 2 = (b cos α - c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α - 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) - 2bc cos α + c 2

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

b 2 (cos 2 α + sin 2 α) - 2bc cos α + c 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:

Когда b 2 + c 2 - a 2 > 0, угол α будет острым.
Когда b 2 + c 2 - a 2 = 0, угол α будет прямым.
Когда b 2 + c 2 - a 2 < 0, угол α будет тупым.

Когда угол α прямой, то теорема косинусов превращаеся в теорему Пифагора.

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h 2 = b 2 - (b * cos α) 2
h 2 = a 2 - (c – b * cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

Для равнобедренного треугольника

Поиск площади через основание и сторону.

S = b : 4 * √ 4 * a 2 − b 2 , где a — боковая сторона, b — основание.

Вычисление площади через основание и угол.

S = 0,5 * a * b * sin(α), где a — боковая сторона, b — основание, α — угол между основанием и стороной.

Вычисление площади через основание и высоту.

S = 0,5 * b * h, где b — основание, h — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a 2 * sin(α), где a — боковая сторона, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами.

S = b 2 : (4 * tgα/2), где b — основание, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности.

S = (3 * √ 3 * R 2 ) : 4, где R — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности.

S = 3 * √ 3 * r 2 , где r — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону.

S = (√ 3 * a 2 ) : 4, где a — сторона.

Площадь равностороннего треугольника через высоту.

S = h 2 : √ 3, где h — высота.

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Площадь треугольника

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

\cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)>

Формула для нахождения площади треугольника через 2 стороны и угол:

Общая формула

1. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a * b⋅sin(α) , где a, b — стороны, α — угол между ними.

2. Площадь треугольника через основание и высоту.

S = 0,5 * a * h, где a — основание, h — высота.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны.

S = (a * b * c) : (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

S = r * (a + b + c) : 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что (a + b + c) : 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом:

S = r * p, где p — полупериметр.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

S = a 2 : 2 * (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β)), где a — сторона, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника.

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c), где a, b, c — стороны, p — полупериметр, который можно найти по формуле: p = (a + b + c) : 2

Читайте также: