Прямоугольный тетраэдр как клондайк аналогий
Обновлено: 05.07.2024
Желание решить задачу многими способами является далеко не праздным. И те, кто искренне заинтересованы в изучении математики и её преподавании, наверняка убедились не только в эффективности, но и в эстетической привлекательности поисков второго способа решения. Сделать такой поиск не случайным явлением, а регулярным - цель этой книги. Даже сажая тривиальная задача может быть поводом для геометрических фантазий, давая ребенку возможность использовать различные дополнительные построения, которые не всегда можно предугадать. Зато по мере накопления теоретического материала к такой задаче можно возвращаться («Решили двумя - найдите третий»). И хотя способы, предлагаемые учащимся, могут быть похожими и даже в определенной степени дублирующими друг друга, учителю следует с одобрением и пониманием относиться к детской попытке как к началу поисковой и творческой работы.
Формат: pdf
Размер: 37,9 Мб
Смотреть, скачать: drive.google
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Дайте ребенку пофантазировать
1. Задача о биссектрисах двух смежных углов 5
2. Вертикальные углы равны. Восемь способов! Слабо? 9
Глава II. В равнобедренном треугольнике
3. Равнобедренный треугольник. Самая «знаменитая» высота. . 12
4. Равные высоты равнобедренного треугольника 15
5. Две биссектрисы равнобедренного треугольника 18
6. Две медианы равнобедренного треугольника 21
Глава III. Популярные углы в треугольнике
7. Угол между высотами равен углу треугольника 8. Два угла прямоугольного треугольника 29
9. Вид из центра 32
10. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины 37
11. Углы с перспективой 40
12. Окружность. Первые задачи 42
13. Авторская задача. детей 50
Глава IV. Теоремы школьных учебников геометрии
14. Теорема о медиане тс прямоугольного треугольника ACB(ZC =90°) 52
15. Доказать, что треугольник прямоугольный: обратная теорема о медиане 55
16. Превратности знаменитой теоремы 58
17. Теорема о средней линии трапеции 62
18. Равнобедренная трапеция. Средняя линия 66
19. Здравствуйте, господин Рыбкин! 69
20. Обратная теорема о прямоугольнике и ромбе 74
21. Диаметр перпендикулярный хорде 76
22. Вписанный угол, опирающийся на диаметр 79
23. Равные хорды —равные дуги 82
24. Равные хорды равно удалены от центра 84
25. А теперь хорды параллельны 86
26. Когда две хорды параллельны? 88
27. Особая теорема: угол с вершиной внутри круга 90
28. Угол между касательной и хордой 92
29. Теорема о секущей и касательной 96
30. Теорема о произведении отрезков хорд 99
31. Две касательные 101
32. Популярные доказательства теоремы Пифагора 103
33. Теорема Пифагора. Обратная 108
34. Двадцать два. Кто больше? 114
35. Три медианы 123
36. Верните теорему в школу! 130
37. Три высоты треугольника 133
Глава V. Популярные теоремы и формулы геометрии треугольника
38. Одна из главных 140
39. Замечательная перпендикулярность 144
40. Поиск способов или способ поиска? 146
41. Углы в антипараллелях 150
42. Теорема трилистника — самая эмоциональная теорема геометрии треугольника 152
43. Биссектрисы ортоцентрического треугольника 158
44. Второй способ решения как повод для импровизации . 161
45. Векторный способ как повод для размышлений 164
46. Трилистник и вневписанная окружность 166
47. Прямая Эйлера 169
48. Окружность Аполлония есть в школьном учебнике 173
49. Страдания юного эрудита . . . 176
Глава VI. Формулы планиметрии
50. Возникла связь времен 178
51. Новый основной элемент 180
52. Формула R = — 184
53. Радиус вписанной в треугольник окружности 186
54. Знакомая формула 189
55. Кто бы мог подумать? 195
56. Дуэль на мясорубках 201
57. Самая популярная формула биссектрисы 204
58. Лучшая авторская задача, или 19 лет спустя 211
59. Формула Леонарда Эйлера 218
60. Замечательное равенство геометрии треугольника 223
61. Формула Карно как зеркало геометрии треугольника 226
62. Снова ортоцентрический треугольник 230
63. Теоремы Чевы и Менелая 235
64. Укрощение формулы Герона 240
65. Формула Архимеда 246
66. Попытка «управлять» импровизацией 249
67. Осторожно! Третий способ! 252
68. Пять способов доказательства формулы Гамильтона 254
69. Формулы для двух перпендикулярных медиан 257
Глава VII. Геометрические неравенства
70. Самое знаменитое неравенство 259
71. Благодаря Карно 264
72. Хоровод неравенств 265
73. О самом замечательном свойстве ортоцентрического треугольника 270
74. Не всякий треугольник может быть разностным 273
Глава VIII. Стереометрия. Коллекционные задачи
75. Они были первыми 274
76. Прыжок выше головы 277
77. Обаятельная скромность стереометрических жемчужин 281
78. Прямая Эйлера и стереометрия 286
79. Стереометрическая аналогия формулы Эйлера 289
80. Альтернатива теореме Чевы в стереометрии 295
81. Сечение одно —способы разные 298
82. Медианы тетраэдра 303
83. Теорема Чевы. в стереометрии 306
84. Прямоугольный тетраэдр как Клондайк аналогий 308
Глава IX. Планиметрия. Коллекционные задачи
85. Сенсационная находка геометрических археологов 314
86. Задача Д. С.Людмилова 318
87. Поражение или победа? 321
88. Фантазии на тему одной задачи 324
89. Возведение на трон 328
90. Треугольник и квадрат: «Мно-о-гие спо-о-со-бы!» 336
91. Коллекционная задача 340
92. С тригонометрией. Без тригонометрии 342
93. «Вся» геометрия в одной задаче 348
94. Восхищение обучением 354
95. Единственная и неповторимая 357
96. Право автора 363
О том, как читать книги в форматах pdf , djvu - см. раздел " Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. "
Прямоугольный тетраэдр как клондайк аналогий
Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
Войти через uID
Эти теоремы применяются в первую очередь для доказательства пересечения прямых в одной точке и принадлежности трех точек одной прямой.
Формула Герона - прекрасный полигон для алгебры и тригонометрии.
Формула, имеющая самостоятельный характер, пришла в геометрию в связи с теоремой Архимеда.
Как можно было убедиться, далеко не каждый новый способ доказательства формулы (да и не только формулы) очевиден.
Речь пойдет о популярной формуле, которая читается так: площадь четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними.
Формула Гамильтона, о доказательстве которой пойдет речь, широко известна тем, кто увлекается векторами.
Давным-давно пара перпендикулярных медиан была задействована в задаче: если две медианы перпендикулярны, то a²+b²=5c².
Применять формулу объема пирамиды для школьника - прыжок, потому что она, эта формула "не по программе".
Даже опытный "боец" может не обратить внимание на задачу с заведомо скучным и "занудным" условием.
Применение планиметрии в стереометрии не просто привычно, а обязательно. То ли дело - применить стереометрию к доказательству планиметрических теорем!
Формула Эйлера обладает качествами, которые удовлетворят самого взыскательного эстета: ее форма, разнообразие доказательств, доступность даже восьмикласснику и, конечно же, применение.
Аналогией теоремы Чевы на плоскости есть условие пересечения прямых в гранях тетраэдра.
Условие задачи "обманчиво" просто: плоскость пересекает боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды в точках, расстояния от которых до вершин равны a, b, c, d.
Опять аналогия. Аналогия между медианами треугольника и медианами тетраэдра.
"Пересекаются или не пересекаются?" - вопрос в стереометрии встречается достаточно часто хотя бы из-за скрещивающихся прямых: например, высоты тетраэдра могут и не пересекаться.
Особое внимание - пространственной теореме Пифагора. Но, как говорится, по порядку.
Первая задача была известна еще Архимеду: "Сумма квадратов отрезков, на которые точка пересечения делит взаимно перпендикулярные хорды, равна квадрату диаметра окружности".
Популярность этой задачи поддерживается коротким условием, возможностью сформулировать обратные условия, а также несколькими способами решений.
И условие и решение привлекло меня (применялась вспомогательная окружность), но только теперь знание ее как теоремы привело к интересным последствиям.
Рассмотрим задачу, которая "распадается" на две: в прямоугольную трапецию с основаниями a и b вписана окружность. Доказать, что площадь трапеции равна ab.
В книге "Собрание геометрических теоремъ и задачъ" (Составитель Е. Пржевальский. - Москва, 1901), условие и доказательство рассматриваемой задачи выглядело так.
Рассмотрим конфигурацию: на стороне квадрата ABCD внешне построен прямоугольный треугольник XBC с переменной вершиной точкой Х, гипотенуза которого совпадает со стороной квадрата ВС.
Эта задача была предложена С.И. Зетелем в его популярной книге "Новая геометрия треугольника" (Москва: Учпедгиз, 1962).
Кушнир И. Альтернативные способы решения задач (Геометрия)
Желание решить задачу многими способами является далеко не праздным. И те, кто искренне заинтересованы в изучении математики и её преподавании, наверняка убедились не только в эффективности, но и в эстетической привлекательности поисков второго способа решения.
Сделать такой поиск не случайным явлением, а регулярным - цель этой книги.
Даже сажая тривиальная задача может быть поводом для геометрических фантазий, давая ребенку возможность использовать различные дополнительные построения, которые не всегда можно предугадать. Зато по мере накопления теоретического материала к такой задаче можно возвращаться («Решили двумя - найдите третий»). И хотя способы, предлагаемые учащимся, могут быть похожими и даже в определенной степени дублирующими друг друга, учителю следует с одобрением и пониманием относиться к детской попытке как к началу поисковой и творческой работы.
Предисловие.
Дайте ребенку пофантазировать.
Задача о биссектрисах двух смежных углов.
Вертикальные углы равны Восемь способов! Слабо?
В равнобедренном треугольнике.
Равнобедренный треугольник Самая «знаменитая» высота.
Равные высоты равнобедренного треугольника.
Две биссектрисы равнобедренного треугольника.
Две медианы равнобедренного треугольника.
Популярные углы в треугольнике.
Угол между высотами равен углу треугольника.
Два угла прямоугольного треугольника.
Вид из инцентра.
Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины.
Углы с перспективой.
Окружность Первые задачи.
Авторская задача детей.
Теоремы школьных учебников геометрии.
Теорема о медиане m прямоугольного треугольника ABC(угол C =90°).
Доказать, что треугольник прямоугольный: обратная теорема о медиане.
Превратности знаменитой теоремы.
Теорема о средней линии трапеции.
Равнобедренная трапеция Средняя линия.
Здравствуйте, господин Рыбкин!
Обратная теорема о прямоугольнике и ромбе.
Диаметр, перпендикулярный хорде.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр.
Равные хорды — равные дуги.
Равные хорды равно удалены от центра.
А теперь хорды параллельны.
Когда две хорды параллельны? .
Особая теорема: угол с вершиной внутри круга.
Угол между касательной и хордой.
Теорема о секущей и касательной.
Теорема о произведении отрезков хорд.
Две касательные.
Популярные доказательства теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора Обратная.
Двадцать два Кто больше?
Три медианы.
Верните теорему в школу!
Три высоты треугольника.
Популярные теоремы и формулы геометрии треугольника.
Одна из главных.
Замечательная перпендикулярность.
Поиск способов или способ поиска?
Углы в антипараллелях.
Теорема трилистника — самая эмоциональная теорема геометрии треугольника.
Биссектрисы ортоцентрического треугольника.
Второй способ решения как повод для импровизации.
Векторный способ как повод для размышлений.
Трилистник и вневписанная окружность.
Прямая Эйлера.
Окружность Аполлония есть в школьном учебнике.
Страдания юного эрудита.
Формулы планиметрии.
Возникла связь времен.
Новый основной элемент.
Формула R=abc/S.
Радиус вписанной в треугольник окружности.
Знакомая формула.
Кто бы мог подумать?
Дуэль на мясорубках.
Самая популярная формула биссектрисы.
Лучшая авторская задача, или лет спустя.
Формула Леонарда Эйлера.
Замечательное равенство геометрии треугольника.
Формула Карно как зеркало геометрии треугольника.
Снова ортоцентрический треугольник.
Теоремы Чевы и Менелая.
Укрощение формулы Герона.
Формула Архимеда.
Попытка «управлять» импровизацией.
Осторожно! Третий способ!
Пять способов доказательства формулы Гамильтона.
Формулы для двух перпендикулярных медиан.
Геометрические неравенства.
Самое знаменитое неравенство.
Благодаря Карно.
Хоровод неравенств.
О самом замечательном свойстве ортоцентрического треугольника.
Не всякий треугольник может быть разностным.
Стереометрия. Коллекционные задачи.
Они были первыми.
Прыжок выше головы.
Обаятельная скромность стереометрических жемчужин.
Прямая Эйлера и стереометрия.
Стереометрическая аналогия формулы Эйлера.
Альтернатива теореме Чевы в стереометрии.
Сечение одно — способы разные.
Медианы тетраэдра.
Теорема Чевы в стереометрии.
Прямоугольный тетраэдр как Клондайк аналогий.
Планиметрия. Коллекционные задачи.
Сенсационная находка геометрических археологов.
Задача Д.С. Людмилова.
Поражение или победа?
Фантазии на тему одной задачи.
Возведение на трон.
Треугольник и квадрат: «Мно-о-гие спо-о-со-бы!».
Коллекционная задача.
С тригонометрией Без тригонометрии.
«Вся» геометрия в одной задаче.
Восхищение обучением.
Единственная и неповторимая.
Право автора.
Кушнир И. Альтернативные способы решения задач (Геометрия)
Желание решить задачу многими способами является далеко не праздным. И те, кто искренне заинтересованы в изучении математики и её преподавании, наверняка убедились не только в эффективности, но и в эстетической привлекательности поисков второго способа решения.
Сделать такой поиск не случайным явлением, а регулярным - цель этой книги.
Даже сажая тривиальная задача может быть поводом для геометрических фантазий, давая ребенку возможность использовать различные дополнительные построения, которые не всегда можно предугадать. Зато по мере накопления теоретического материала к такой задаче можно возвращаться («Решили двумя - найдите третий»). И хотя способы, предлагаемые учащимся, могут быть похожими и даже в определенной степени дублирующими друг друга, учителю следует с одобрением и пониманием относиться к детской попытке как к началу поисковой и творческой работы.
Задача о биссектрисах двух смежных углов
Вертикальные углы равны Восемь способов! Слабо?
Равнобедренный треугольник Самая «знаменитая» высота
Равные высоты равнобедренного треугольника
Две биссектрисы равнобедренного треугольника
Две медианы равнобедренного треугольника
Угол между высотами равен углу треугольника
Два угла прямоугольного треугольника
Вид из инцентра
Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины
Углы с перспективой
Окружность Первые задачи
Авторская задача детей
Теорема о медиане m прямоугольного треугольника ABC(угол C =90°)
Доказать, что треугольник прямоугольный: обратная теорема о медиане
Превратности знаменитой теоремы
Теорема о средней линии трапеции
Равнобедренная трапеция Средняя линия
Здравствуйте, господин Рыбкин!
Обратная теорема о прямоугольнике и ромбе
Диаметр, перпендикулярный хорде
Вписанный угол, опирающийся на диаметр
Равные хорды — равные дуги
Равные хорды равно удалены от центра
А теперь хорды параллельны
Когда две хорды параллельны?
Особая теорема: угол с вершиной внутри круга
Угол между касательной и хордой
Теорема о секущей и касательной
Теорема о произведении отрезков хорд
Две касательные
Популярные доказательства теоремы Пифагора
Теорема Пифагора Обратная
Двадцать два Кто больше?
Три медианы
Верните теорему в школу!
Три высоты треугольника
Популярные теоремы и формулы геометрии треугольника
Одна из главных
Замечательная перпендикулярность
Поиск способов или способ поиска?
Углы в антипараллелях
Теорема трилистника — самая эмоциональная теорема геометрии треугольника
Биссектрисы ортоцентрического треугольника
Второй способ решения как повод для импровизации
Векторный способ как повод для размышлений
Трилистник и вневписанная окружность
Прямая Эйлера
Окружность Аполлония есть в школьном учебнике
Страдания юного эрудита
Возникла связь времен
Новый основной элемент
Формула R=abc/S
Радиус вписанной в треугольник окружности
Знакомая формула
Кто бы мог подумать?
Дуэль на мясорубках
Самая популярная формула биссектрисы
Лучшая авторская задача, или лет спустя
Формула Леонарда Эйлера
Замечательное равенство геометрии треугольника
Формула Карно как зеркало геометрии треугольника
Снова ортоцентрический треугольник
Теоремы Чевы и Менелая
Укрощение формулы Герона
Формула Архимеда
Попытка «управлять» импровизацией
Осторожно! Третий способ!
Пять способов доказательства формулы Гамильтона
Формулы для двух перпендикулярных медиан
Самое знаменитое неравенство
Благодаря Карно
Хоровод неравенств
О самом замечательном свойстве ортоцентрического треугольника
Не всякий треугольник может быть разностным
Они были первыми
Прыжок выше головы
Обаятельная скромность стереометрических жемчужин
Прямая Эйлера и стереометрия
Стереометрическая аналогия формулы Эйлера
Альтернатива теореме Чевы в стереометрии
Сечение одно — способы разные
Медианы тетраэдра
Теорема Чевы в стереометрии
Прямоугольный тетраэдр как Клондайк аналогий
Сенсационная находка геометрических археологов
Задача Д.С. Людмилова
Поражение или победа?
Фантазии на тему одной задачи
Возведение на трон
Треугольник и квадрат: «Мно-о-гие спо-о-со-бы!»
Коллекционная задача
С тригонометрией Без тригонометрии
«Вся» геометрия в одной задаче
Восхищение обучением
Единственная и неповторимая
Право автора
Прямоугольный тетраэдр как клондайк аналогий
Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
Войти через uID
Эти теоремы применяются в первую очередь для доказательства пересечения прямых в одной точке и принадлежности трех точек одной прямой.
Формула Герона - прекрасный полигон для алгебры и тригонометрии.
Формула, имеющая самостоятельный характер, пришла в геометрию в связи с теоремой Архимеда.
Как можно было убедиться, далеко не каждый новый способ доказательства формулы (да и не только формулы) очевиден.
Речь пойдет о популярной формуле, которая читается так: площадь четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними.
Формула Гамильтона, о доказательстве которой пойдет речь, широко известна тем, кто увлекается векторами.
Давным-давно пара перпендикулярных медиан была задействована в задаче: если две медианы перпендикулярны, то a²+b²=5c².
Применять формулу объема пирамиды для школьника - прыжок, потому что она, эта формула "не по программе".
Даже опытный "боец" может не обратить внимание на задачу с заведомо скучным и "занудным" условием.
Применение планиметрии в стереометрии не просто привычно, а обязательно. То ли дело - применить стереометрию к доказательству планиметрических теорем!
Формула Эйлера обладает качествами, которые удовлетворят самого взыскательного эстета: ее форма, разнообразие доказательств, доступность даже восьмикласснику и, конечно же, применение.
Аналогией теоремы Чевы на плоскости есть условие пересечения прямых в гранях тетраэдра.
Условие задачи "обманчиво" просто: плоскость пересекает боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды в точках, расстояния от которых до вершин равны a, b, c, d.
Опять аналогия. Аналогия между медианами треугольника и медианами тетраэдра.
"Пересекаются или не пересекаются?" - вопрос в стереометрии встречается достаточно часто хотя бы из-за скрещивающихся прямых: например, высоты тетраэдра могут и не пересекаться.
Особое внимание - пространственной теореме Пифагора. Но, как говорится, по порядку.
Первая задача была известна еще Архимеду: "Сумма квадратов отрезков, на которые точка пересечения делит взаимно перпендикулярные хорды, равна квадрату диаметра окружности".
Популярность этой задачи поддерживается коротким условием, возможностью сформулировать обратные условия, а также несколькими способами решений.
И условие и решение привлекло меня (применялась вспомогательная окружность), но только теперь знание ее как теоремы привело к интересным последствиям.
Рассмотрим задачу, которая "распадается" на две: в прямоугольную трапецию с основаниями a и b вписана окружность. Доказать, что площадь трапеции равна ab.
В книге "Собрание геометрических теоремъ и задачъ" (Составитель Е. Пржевальский. - Москва, 1901), условие и доказательство рассматриваемой задачи выглядело так.
Рассмотрим конфигурацию: на стороне квадрата ABCD внешне построен прямоугольный треугольник XBC с переменной вершиной точкой Х, гипотенуза которого совпадает со стороной квадрата ВС.
Эта задача была предложена С.И. Зетелем в его популярной книге "Новая геометрия треугольника" (Москва: Учпедгиз, 1962).
Читайте также: