Какое выражение можно упростить по формулам приведения sin п 2 x

Обновлено: 01.05.2024

Суть формул приведения заключается в преобразовании тригонометрических функций углов к более «простому» виду. Они позволяют свести задачу вычисления значений тригонометрических функций к вычислению значений для углов x при условии, что x будет находиться в пределах от 0 до п/2. О важности их знания написать можно много. Этих формул тоже много - 32 штуки!

Данные формулы можно также выразить в табличной форме:

Не пугайтесь, учить их не надо. Но необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет.

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

1. Определите знак функции в соответствующей четверти.

2. При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

3. Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями.

Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется.
Ещё проще - вспомните мнемоническое правило "лошади", о котором я говорила на уроке (если мы откладываем угол от Вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY) и приводимая функция меняет своё название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс. Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ) и приводимая функция не меняет название).

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

Ещё:

Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов, значит:

Конечно, определить значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.

Рассмотрим примеры применения формул приведения.

Пример 1.

Упростить выражение: sin(x+17π)

Решение. Определим целое число периодов 2π (полных оборотов на единичной окружности), содержащихся в 17π.

По формулам приведения:

sin(x+17π) = sin(x + 8 * 2π + π) = sin(x + π) = - sin x ( « - « т. к. находимся в 3-ей четверти)

Пример 2.

Решение. Угол -8π/3 лежит в промежутке от -3π до -2π. Поэтому можно сделать следующие преобразования:

Пример 3.

Найти: cos (π-α), если cos(π/2-α) = b и α∈(π; 3π/2).

Решение. По формулам приведения : cos(π-α) = - cos α и cos(π/2 – α) = sin α

Ввиду основного тригонометрического тождества cos 2 α = 1 – sin 2 α = 1 – b 2

При извлечении квадратного корня надо учесть, что α∈(π; 3π/2) (третья четверть). В таком случае будет выполнено неравенство cos⁡α<0.

Тогда cos⁡α= -√(1-b 2 2 ), и -cos⁡α= √(1-b 2 2 )

Пример 4.

Упростите выражение: sin(π/2-α)cos (π-α)+cos (3π/2+α)sin (2π-α)

Решение. По формулам приведения : cos(π-α) = - cos α; sin(π/2 – α) = cos α; cos(3π/2 + α) = sin α; sin(2π – α) = -sin α

Получаем sin(π/2-α)cos (π-α)+cos (3π/2+α)sin (2π-α) = cos α *(-cos α) + sin α * (-sin α) = - cos 2 α - sin 2 α = - (cos 2 α + sin 2 α) = - 1

Пример 5.

Решение. В каждой тригонометрической функции исключим периоды

sin⁡(-7π/3) = - sin(2π+ π/3) = - sin π/3 = - √3/2

cos(- 19π/6) = cos(2π+π+ π/6) = cos(π+π/6) = - cos π/6 = - √3/2

tg390°=tg(2*180°+30°)= tg30°= √3/3

ctg(-300°)= -ctg(180°+90°+30°)= -ctg(90°+30°)= tg30°= √3/3

Таким образом, имеем: sin⁡(-7π/3)cos(-19π/6)tg390°ctg(-300°) = ((-√3)*(-√3)*√3*√3)/(2*2*3*3) = 1/4 = 0,25

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

- если «точка привязки» \(\frac<\pi>\) (\(90^°\)) или \(\frac<3\pi>\) (\(270^°\))– функция меняется на кофункцию;
- если «точка привязки» \(π\) (\(180^°\)) или \(2π\) (\(360^°\)) – функция остается той же.

То есть, при аргументах исходной функции \(\frac<\pi>+a\), \(\frac<\pi>-a\), \(\frac<3\pi>+a\) или \(\frac<\pi>-a\), мы должны поменять функцию, а при аргументах \(π+a\), \(π-a\), \(2π+a\) или \(2π-a\) - нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие \(\frac<\pi>\) \((90^°)\) и \(\frac<3\pi>\) \((270^°)\), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Точки же, обозначающие \(π\) (\(180^°\)) и \(2π\) (\(360^°\)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

Эти «да» и «нет» - и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше \(\cos⁡(\frac-a)=. \) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, \(\cos⁡(\frac-a)=-\sin⁡\) \(a\). Это и есть верная формула приведения.

sin (x + п / 2)

Здравствуйте!
Помогите решить задание:
Упростить выражение sin (x + п / 2).
Кроме решения нужно подробное как можно более полное объяснение.
Спасибо!

Задача.
Упростить выражение .

Так как в полученном выражении присутствуют тригонометрические функции, для которых значение может быть вычислено при помощи таблицы тригонометрических функций, вычислим их и подставим в выражение.
Из таблицы получим, что равен нулю, а равен 1. Следовательно:

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» - это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс , он либо останется синусом, либо превратиться в косинус . А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
- как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
- как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Примеры из ЕГЭ с формулами приведения:

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac^°> >^°>>\)

Углы \(^°\) и \(^°\) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ.
Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: \(49^°=90^°-41^°\). Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).

Теперь применим к синусу формулу приведения:

\(90^°-41^°\) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

\(90^°\)- находится на «вертикали» - функция меняется на кофункцию.

В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac\)

Опять замечаем интересное «совпадение»: \(163^°=180^°-17^°\). Поэтому можно заменить \(163^°\) на \(180^°-17^°\).

Воспользуемся формулой приведения:

\((180^°-17^°)\) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;

\(180^°\) - находится на «горизонтали» - функция остается прежней.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(-19\,tg\,101^°\cdot tg\,191^°\)

Применим формулы приведения:

\((90^°+11^°)\) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;

\(90^°\)- находится на «вертикали» - функция меняется.

\((180^°+11^°)\) – это третья четверть, тангенс в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

\(180^°\) - находится на «горизонтали» - функция остается прежней.

Вот тут можно применить одну из формул связи .

Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить: \(\frac^° + sin^2⁡^°>\) .

\((90^°+41^°)\) – \(90^°\) на вертикали, синус меняется на косинус;

Знак синуса не важен, так как он все равно в квадрате.

\((180^°+41^°)\) – \(180^°\) на горизонтальной оси, синус остается синусом.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите \(26\, cos⁡(\frac+α)\), если \(cos⁡α=\frac\) и \(α∈(\frac;2π)\).

Очевидно, что к исходному выражению можно применить формулу приведения \(26\,cos⁡(\frac+α)=26\,sin⁡α\). Задача свелась к нахождению синуса по косинусу, много похожих заданий было разобрано в статье « формулы связи ».

С учетом того, что \(α∈(\frac;2π)\), то есть в четвертой четверти, \(sin\,⁡α=-\frac\).

Ну и последний пример – с очень важным выводом после него.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить, чему равен \(ctg(-a-\frac)\), если \(tg⁡\,a=2\).

Прежде чем применять формулу приведения, приведем аргумент функции к стандартному (одному из указанных в начале статьи). Давайте поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки – для того, чтобы a стояла после «точки привязки».

Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.

Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть \(ctg\,(-t)=- ctg\,t\). Преобразовываем наше выражение.

Теперь преобразуем \(\frac\) следующим образом: \(\frac=\frac=2π+\frac\).

Но ведь \(2π\) – это просто полный оборот по кругу, он не оказывает никакого влияния на значение функции: \(ctg\,(2π+x)=ctg(x)\).
Так что, его можно просто отбросить.

Вот теперь применяем формулу приведения.
\((\frac+a)\) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен.
«Точка привязки» - вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем \(ctg(\frac+a)=-tg\,a\).

Важное замечание! На самом деле преобразовывать функцию по формулам приведения можно было сразу после получения \(ctg(-\frac-a)\), не делая все последующие преобразования.
Действительно:
\((-\frac-a)\) – это первая четверть, там котангенс положителен.
«Точка привязки» - вертикальная, то есть функцию меняем.
Таким образом, можно сразу получить, что \(ctg\,(-\frac-a)=tg\,a\).

«Точки привязки» не ограничиваются только лишь значениями \(\frac\),\(π\),\(\frac\) и \(2π\), а могут быть любой из точек, лежащих на пересечении круга с осями: \(5π\),\(-\frac\),\(-12π\),\(\frac\)…

Но обратите внимание – они никогда не могут быть \(-\frac\),\(\frac\),\(\frac\) и т.д. – потому что эти точки не лежат на пересечении с осями. Давайте, вместе выясним почему это так.

Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения

Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac<\pi>+a\), \(\frac<\pi>-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac<3\pi>+a\), \(\frac<3\pi>-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Как доказать формулу приведения, или почему «точки привязки» обязательно должны быть точками пересечения с осями

Возьмем какую-либо формулу приведения – например, вот эту \(\sin⁡(\frac+a)=\cos⁡a\) – и попробуем получить из левой части правую.
Что у нас слева? Синус суммы аргументов.
У нас на этот случай есть формула: \(\sin⁡(x+y)=\sin⁡x \cos⁡y+\sin⁡y \cos⁡x\)
Применим ее: \(\sin⁡(\frac+a)=\sin⁡\frac\cos⁡a+\sin⁡a \cos⁡\frac\)
Мы знаем, что \(\sin⁡\frac=1, а \cos⁡\frac=0\). Таким образом имеем окончательную цепочку преобразований:

Попробуем еще. Возьмем вот эту формулу: \(\cos⁡(π-a)=-\cos⁡a\)
Преобразовываем с помощью формулы разности в косинусе:

\(\cos⁡(π-a)=\cos⁡π \cos⁡a+\sin⁡a \sin⁡π=-1·\cos⁡a+\sin⁡a·0=-\cos⁡a\)

Опять всё верно.

Ну и еще одну: \(\cos⁡(\frac+a)=\sin⁡a\)
Преобразовываем с помощью формулы суммы в косинусе:

А теперь присмотритесь к преобразованиям. Замечаете что-нибудь общее?
Да, всё верно - во всех случаях у нас одна из функций превращается в \(1\) или \(-1\), а вторая в \(0\). И именно благодаря этому - итоговое выражение становится проще!

А теперь давайте попробуем взять в качестве «точки привязки» не точку пересечения с осями, а какую-нибудь другую, например, \(\frac\):

Мда… Что-то такое себе упрощение получилось…

«Точки привязки» должны быть точками пересечения с осями, потому что только в этом случае получаются более простые выражения. Так происходит потому, что в точках пересечения круга с осями всегда одна из функций (синус или косинус) равна нулю, а вторая плюс или минус единице. Для всех остальных точек – это не работает.

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для \(⁡cos⁡(\frac<3\pi>-a) =. \) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверт ь ?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac<\pi>\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac<3\pi>-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac<3\pi>\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac<3\pi>-a)=-. \)

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Формулы приведения. Примеры из ЕГЭ

Как вы, наверное, уже обратили внимание, формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac<\pi>+a\), \(\frac<\pi>-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac<3\pi>+a\), \(\frac<3\pi>-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\).
К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Читайте также: