Как привести cos к sin
Обновлено: 15.05.2024
Если аргументом тригонометрической функции является π 2 + t , π 2 − t , π + t , π − t , 3 π 2 + t , 3 π 2 − t , или в общем виде π n 2 ± t , где n ∈ ℤ , то такое выражение возможно привести к аргументу \(t\). Соответствующие формулы называют формулами приведения.
| β | π 2 + t | π + t | 3 π 2 + t | π 2 − t | π − t | 3 π 2 − t | 2 π − t |
| \(sin\) β | \(cos\)\(t\) | \(-sin\)\(t\) | \(-cos\)\(t\) | \(cos\)\(t\) | \(sin\)\(t\) | \(-cos\)\(t\) | \(-sin\)\(t\) |
| \(cos\) β | \(-sin\)\(t\) | \(-cos\)\(t\) | \(sin\)\(t\) | \(sin\)\(t\) | \(-cos\)\(t\) | \(-sin\)\(t\) | \(cos\)\(t\) |
| \(tg\) β | \(-ctg\)\(t\) | \(tg\)\(t\) | \(-ctg\)\(t\) | \(ctg\)\(t\) | \(-tg\)\(t\) | \(ctg\)\(t\) | \(-tg\)\(t\) |
| \(ctg\) β | \(-tg\)\(t\) | \(ctg\)\(t\) | \(-tg\)\(t\) | \(tg\)\(t\) | \(-ctg\)\(t\) | \(tg\)\(t\) | \(-ctg\)\(t\) |
Существует очень много формул приведения. Таблицей пользоваться не всегда удобно. Запомнить их трудно — но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило — и легко можно самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.
Love Soft
Загрузки всякие
Связь
Содержание
Формулы приведения
Формулы приведения - сокращенное название формул, которые позволяют привести синусы и косинусы к соответствующим значениям синусов и косинусов острых углов (т.е. от 0 до 90 градусов).
Формулы приведения косинуса
Формулы приведения синуса
Формулы приведения тригонометрических функций
Мнемоническое правило
Подготовительный шаг: аргумент исходной функции представляется в виде
$\pm \alpha + 2\pi z$ или $\pi/2 \pm \alpha + 2\pi z$ или $\pi \pm \alpha + 2\pi z$ или $3\pi/2 \pm \alpha + 2\pi z$,
причем угол должен быть от 0 до 90 градусов (острый). Это замечание про угол альфа очень важно, так как для других углов мнемоническое правило может приводить к неверным результатам.
При приведении функции от аргумента вида kp/2 ± α, где k – целое число, к функции от аргумента α:
Дальше определяется знак, который имеет исходная функция. Функция в правой части записываемой формулы приведения будет иметь такой же знак как и приводимая функция. название функции сохраняется для 1-го и 3-го случая (нечетный квадрант), и меняется на «дополнительное» (кофункцию), для 2-го и 4-го случая (четный квадрант) [синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс]Например, при приведении ctg (α – p/2) убеждаемся, что α – p/2 при 0 < α < p/2 лежит в четвертом квадранте, где котангенс отрицателен, и, по второму правилу, меняем название функции: ctg (α – p/2) = –tg α.
Задача
Используя мнемоническое правило, приведите $\sin 777^\circ$ к тригонометрическим функциям острого угла.
Для начала представим угол 777 градусов в виде, необходимом для применения мнемонического правила. Это можно сделать двумя способами: $777 = 57 + 360\cdot 2$ или $777 = 90 - 33 + 360\cdot 2$.
Исходный угол является углом первой четверти, синус для этого угла имеет знак плюс.
Для представления $777 = 57 + 360\cdot 2$ название синуса нужно оставить прежним, а для представления вида $777 = 90 - 33 + 360\cdot 2$ синус придется поменять на косинус.
В итоге имеем $\sin 777^\circ = \sin 57^\circ$ и $\sin 777^\circ = \cos 33^\circ$.
Формулы приведения: список и таблицы
Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.
Сначала запишем все формулы приведения:
Для угла (`\frac <\pi>2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):
Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):
Для угла (`\frac <3\pi>2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):
Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):
Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:
Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:
Практические примеры использования формул приведения
Применение формул приведения начинается еще в 9, 10 классе. Немало задач с их использованием вынесено на ЕГЭ. Вот некоторые из задач, где придется применять эти формулы:
- задачи на решение прямоугольного треугольника;
- преобразования числовых и буквенных тригонометрических выражений, вычисление их значений;
- стереометрические задачи.
Пример 1. Вычислите при помощи формул приведения а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.
Решение: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac3`;
в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac2`;
г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac2`.
Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac <9\pi>8` и `cos \frac <9\pi>8`; 2) `sin \frac <\pi>8` и `cos \frac <3\pi>10`.
Решение: 1)`sin \frac <9\pi>8=sin (\pi+\frac <\pi>8)=-sin \frac <\pi>8`
`cos \frac <9\pi>8=cos (\pi+\frac <\pi>8)=-cos \frac <\pi>8=-sin \frac <3\pi>8`
2) `cos \frac <3\pi>10=cos (\frac <\pi>2-\frac <\pi>5)=sin \frac <\pi>5`
Правило лошади
Если мы откладываем угол от вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY) и приводимая функция меняет своё название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.
Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ) и приводимая функция не меняет название.
Знак правой части равенства совпадает со знаком приводимой функции, стоящей в левой части равенства.
sin(120) = sin(90+30) = [лошадь говорит да] = cos(30) = $\frac 2 $
sin(120) = sin(180-60) = [лошадь говорит нет] = sin(60) = $\frac 2 $
Формулы приведения тригонометрических функций
Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить
Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.Само привило содержит 3 этапа:
Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:
1. ` cos(\pi + \alpha)`.
Важно: Функции `cos \alpha` и `sin \alpha` имеют период `2\pi` или `360^\circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.
Лошадиное правило
Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?
Рекомендуем посмотреть видеоурок, в котором автор подробно объясняет, как запомнить формулы приведения без заучивания их наизусть.
Новоселов - таблица
Формулы приведения в особом доказательстве не нуждаются.
Формулы первой строки выражают свойства четности и нечетности тригонометрических функций, прочие же формулы вытекают из теорем сложения для косинуса и синуса.
В последнем столбце дано геометрическое пояснение формул приведения для острого угла α (равные треугольники заштрихованы).
Формулы четвёртой и восьмой строк легко вывести также и геометрически. Если к углу α прибавить π, т. е. половину полного оборота, то подвижной радиус займёт диаметрально противоположное положение. Абсцисса х и ордината у конца подвижного радиуса, т. е. косинус и синус угла, изменят знаки (не изменяя абсолютной величины) на противоположные, а их отношения не изменятся.
Формулы приведения показывают, что в практических вычислениях достаточно знать значения тригонометрических функций лишь острых углов (и даже не больших 45°).
1. Теорема синусов, теорема косинусов
Теорему Пифагора и тригонометрические функции острого угла можно использовать для вычисления элементов только в прямоугольном треугольнике.
Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).
неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;
неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения sin 180 ° − α = sin α .
sin120 ° = sin 180 ° − 60 ° = sin60 ° = 3 2 ; sin150 ° = sin 180 ° − 30 ° = sin30 ° = 1 2 ; sin135 ° = sin 180 ° − 45 ° = sin45 ° = 2 2 .
a sinA = b sinB = c sinC = 2 R , где \(R\) — радиус описанной окружности.
Выразив радиус, получаем R = a 2 sinA , или R = b 2 sinB , или R = c 2 sinC .
Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно \(2\) данных величин (две стороны или сторона и угол).
Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы \(3\) данных величины.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:
неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;
вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.
Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения cos 180 ° − α = − cos α .
cos120 ° = cos 180 ° − 60 ° = − cos60 ° = − 1 2 ; cos150 ° = cos 180 ° − 30 ° = − cos30 ° = − 3 2 ; cos135 ° = cos 180 ° − 45 ° = − cos45 ° = − 2 2 .
Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.
Доказательство формул приведения
Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac <\pi>2 + \alpha`: ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них.
Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac <\pi>2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac <\pi>2 + \alpha`.
Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac <\pi>2 + \alpha)=\frac
Читайте также: