Как найти sin t

Обновлено: 13.05.2024

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $=/≈57$ градусов

$1$ градус $=/$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$ 0$	$/$	$/$	$/$	$/$	$π$
$sinα$	$ 0$	$ /$	$ /$	$ /$	$ 1$	$ 0$
$cosα$	$ 1$	$ /$	$ /$	$ /$	$ 0$	$ -1$
$tgα$	$ 0$	$ /$	$ 1$	$ √3$	$ -$	$ 0$
$ctgα$	$ -$	$ √3$	$ 1$	$ /$	$ 0$	$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($/$ и $/$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= - sinα$ - это конечный результат преобразования

1. Синус и косинус. Тангенс и котангенс

а ордината точки $M$ равна синусу числа $t$ (записывают$sin$ $t$).

Отношение синуса числа $t$ к косинусу того же числа называют тангенсом числа $t$ и обозначают $tg t$.

Отношение косинуса числа $t$ к синусу того же числа называют котангенсом числа $t$ и обозначают $ctg t$.

Из уравнения числовой окружности x 2 + y 2 = 1 , заменяя $x$ и $y$ на $cos$ $t$ и $sin$ $t$, получаем равенство

Отметим также несколько важных свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

sin ( − t ) = − sin t ; cos ( − t ) = cos t ; tg ( − t ) = − tg t ; ctg ( − t ) = − ctg t .

sin ( t + π ) = − sin t ; cos ( t + π ) = − cos t ; tg ( t + π ) = tg t ; ctg ( t + π ) = ctg t .

Для синуса и косинуса есть геометрическая иллюстрация на числовой окружности.

Дадим геометрическую иллюстрацию для тангенса и котангенса.

Проведём сначала в координатной плоскости к числовой окружности касательную в точке $A$.

Эту касательную $l$ будем считать числовой прямой, ориентированной так же, как ось $y$, и с началом в точке $A$ (см. рис.)

Из подобия треугольников $OMK$ и $OPA$ следует равенство:

Итак, если числу $t$ соответствует на числовой окружности точка $M$, то, проведя прямую $OM$,

получим в пересечении её с числовой прямой $l$ точку $P$, которая имеет на числовой прямой $l$ координату $tg$ $t$.

Аналогично можно ввести линию котангенсов — числовая прямая $m$ с началом в точке $B$ (см. рис.).

Как найти sin t

Прежде чем перейти к этому разделу, напомним определения синуса и косинуса, изложенные в учебнике геометрии 7-9 классов.

- Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):

- Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):

Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.

Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).

Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).

Таким образом, наши формулы обретают иной вид.

Так как b = y, a = x, c = R, то:

y x
sin t = —— , cos t = ——.
R R

Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.

Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:

Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:

Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.

Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).

Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.

Косинусом числа t числовой окружности называют абсциссу этого числа:

cos t = x

Синус числа t – это его ордината:

sin t = y

Тангенс числа t – это отношение синуса к косинусу:

sin t π
tg t = ———, где t ≠ — + πk
cos t 2

Котангенс числа t – это отношение косинуса к синусу:

cos t
ctg t = ———, где t ≠ πk
sin t

Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:

sin t cos t πk
tg t · ctg t = ——— · ——— = 1, при t ≠ ——
cos t sin t 2

Уравнения числовой окружности.

Из предыдущего раздела мы знаем одно уравнение числовой окружности:

Но поскольку x = cos t, а y = sin t, то получается новое уравнение:

cos 2 t + sin 2 t = 1

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:

1-я четверть

2-я четверть

3-я четверть

4-я четверть

Косинус и синус основных точек числовой окружности:

Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.

Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.

1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):

Сделайте для себя это «открытие» - и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.

2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.

Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.

На концах оси косинусов (оси х), разумеется, косинусы равны модулю 1, а синусы равны 0.

На концах оси синусов (оси у) синусы равны модулю 1, а косинусы равны 0.

Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.

3) Теперь перейдем к дробным значениям.

- Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.

- В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.

- Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).

- Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).

Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).

Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.

Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.

Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.

- Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.

Важно знать :

Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» - впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).

В порядке убывания получается такое чередование значений:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; ——; ——; —; 0; – —; – ——; – ——; –1
2 2 2 2 2 2

Возрастают они строго в обратном порядке.

Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс основных точек числовой окружности.

Зная косинус и синус точек числовой окружности, легко можно вычислить их тангенс и котангенс. Делим синус на косинус - получаем тангенс. Делим косинус на синус - получаем котангенс. Результаты этого деления - на рисунке.

ПРИМЕЧАНИЕ : В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю √3/3, указаны как 1/√3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель числа 1/√3 умножить на √3, то получим √3/3.

Как запомнить значение тангенсов и котангенсов основных точек числовой окружности.

Здесь такие же закономерности, что и с синусами и косинусами. И чисел тут всего четыре (в модуле): 0, √3/3, 1, √3.

На концах осей координат – прочерки и нули. Прочерки означают, что в данных точках тангенс или котангенс не имеют смысла.

Как запомнить, где прочерки, а где нули? Поможет правило.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. На концах оси синусов (ось у) тангенс не существует.

Котангенс – это отношение косинуса к синусу. На концах оси косинусов (ось х) котангенс не существует.

В остальных точках идет чередование всего лишь трех чисел: 1, √3 и √3/3 со знаками плюс или минус. Как с ними разобраться? Запомните (а лучше представьте) три обстоятельства:

1) тангенсы и котангенсы всех середин четвертей имеют в модуле 1.

2) тангенсы и котангенсы ближайших к оси х точек имеют в модуле √3/3; √3.

3) тангенсы и котангенсы ближайших к оси у точек имеют в модуле √3; √3/3.

Не ошибитесь со знаками – и вы большой знаток.

Нелишне будет запомнить, как возрастают и убывают тангенс и котангенс на числовой окружности (см.числовую окружность выше или раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций»). Тогда еще лучше будет понятен и порядок чередования значений тангенса и котангенса.

Тригонометрические свойства чисел числовой окружности.

Представим, что определенная точка М имеет значение t.

Свойство 1:

sin (–t) = –sin t

cos (–t) = cos t

tg (–t) = –tg t

ctg (–t) = –ctg t

Пояснение . Пусть t = –60º и t = –210º.

cos –60º равен 1/2. Но cos 60º тоже равен 1/2. То есть косинусы –60º и 60º равны как по модулю, так и по знаку: cos –60º = cos 60º.

cos –210º равен –√3/2. Но cos 210º тоже равен –√3/2. То есть: cos –210º = cos 210º.

Таким образом, мы доказали, что cos (–t) = cos t.

sin –60º равен –√3/2. А sin 60º равен √3/2. То есть sin –60º и sin 60º равны по модулю, но противоположны по знаку.

sin –210º равен 1/2. А sin 210º равен –1/2. То есть sin –210º и sin 210º равны по модулю, но противоположны по знаку.

Таким образом, мы доказали, что sin (–t) = –sin t.

Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.

Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Свойство 2: Так как t = t + 2πk, то:

sin (t + 2πk) = sin t

cos (t + 2πk) = cos t

Пояснение : t и t + 2πk – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2πk мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.

Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.

sin (t + π) = –sin t

cos (t + π) = –cos t

tg (t + π) = tg t

ctg (t + π) = ctg t

Пояснение : Пусть точка М находится в первой четверти. Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Вы уже знаете, что половина окружности – это величина, равная π. Значит, точка N находится на расстоянии π от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние π, то мы получим точку N, находящуюся напротив. Она находится в третьей четверти. Проверьте, и увидите: косинус и синус точки N – со знаком «минус» (x и y имеют отрицательные значения).

Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. А тангенс и котангенс точки N? Ответ простой: ведь тангенс и котангенс – это отношение синуса и косинуса. В нашем примере синус и косинус точки N – со знаком «минус». Значит:

–sin t
tg (t + π) = ———— = tg t
–cos t

–cos t
ctg (t + π) = ———— = ctg t
–sin t

Мы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.

Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.

π
sin (t + —) = cos t
2

π
cos (t + —) = –sin t
2

Тригонометрические тождества

$tgα=/$
$ctgα=/$
$sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = / ; t ∈(/;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(/;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

Как найти sin t

Свойство 1:

sin (–t) = –sin t

cos (–t) = cos t

tg (–t) = –tg t

ctg (–t) = –ctg t

Пояснение . Пусть t = –60º и t = –210º (см.рисунок).

cos –210º равен –√3/2. Но cos 210º тоже равен –√3/2. То есть: cos –210º = cos 210º.

Таким образом, мы доказали, что cos (–t) = cos t.

sin –60º равен –√3/2. А sin 60º равен √3/2. То есть sin –60º и sin 60º равны по модулю, но противоположны по знаку.

sin –210º равен 1/2. А sin 210º равен –1/2. То есть sin –210º и sin 210º равны по модулю, но противоположны по знаку.

Таким образом, мы доказали, что sin (–t) = –sin t.

Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Свойство 2: Так как t = t + 2πk, то:

sin (t + 2πk) = sin t

cos (t + 2πk) = cos t

sin (t + π) = –sin t

cos (t + π) = –cos t

tg (t + π) = tg t

ctg (t + π) = ctg t

Пояснение : Пусть точка М находится в первой четверти (см.рисунок ниже). Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Мы знаем, что половина окружности – это величина, равная π. Значит, точка N находится на расстоянии π от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние π, то мы получим точку N, находящуюся напротив:

Точка N имеет те же значения синуса и косинуса, что и точка М, но с противоположным знаком (минус). То есть синус точки N равен синусу точки М с противоположным знаком, косинус точки N также равен косинусу точки М, но тоже с противоположным знаком:

sin (M + π) = –sin M, cos (M + π) = –cos M.

sin (t + π) = –sin t, cos (t + π) = –cos t.

Мы доказали, что синус и косинус диаметрально противоположных точек равны по модулю, но противоположны по знаку.

Идем дальше. Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. Но вычислите тангенс и котангенс точки N (разделите ее синус на косинус и косинус на синус) и увидите, что они тоже со знаком плюс.

–sin t
tg (t + π) = ———— = tg t
–cos t

–cos t
ctg (t + π) = ———— = ctg t
–sin t

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= - sin t; tg(-t)= - tg t; ctg(-t)= - ctg t$

Читайте также: