Как найти sin 18 градусов

Обновлено: 30.06.2024

Есть стандартный способ вычисления значений синусов и косинусов угла в 36°.

Исходное положение: sin(х)=sin(180°-х).

Исходя из этого: sin(72°)=sin(108°)

Обозначим угол 36° как а. Тогда 72°=2а, 108°=3а.

применяем формулы: sin(2a)=2sin(a)*cos( a). sin(3a)=3sin(a)-4sin ^3(a)=sin(a)*(3-4sin^ 2(a))=

При наших обозначениях получаем: 2sin(a)*cos(a)=sin(a )*(4cos^2(a)-1), сокращаем на sin(a), получаем уравнение второй степени: 2cos(a)=4cos^2(a)-1 и решаем его.

Теперь можно вычислить синус и косинус 18° как синус и косинус (а/2):

Ну и дальше: sin(12°)=sin(30°-18° )=sin(30°)*cos(18°)-c os(30°)*sin(18°)=

Можно показать, что Sin и Cos сравнительно легко выражаются в радикалах для всех углов, кратных 3 градусам. А вот для 1 градуса наступает облом - нужно решать кубическое уравнение, которое, увы, на калькуляторе не решается, несмотря на формулу Кардано — 2 года назад А как Вам удалось выразить в радикалах Sin и Cos 18 градусов? — 2 года назад Sin и Cos 18 градусов я нашёл в таблице, также как и для 30 градусов. — 2 года назад Если Sin и Cos 30 градусов Вы ищете в таблице, то это уже серьёзно. — 2 года назад

Если обозначить x=sin72, то легко получить уравнение sin(5*72)=0, после преобразования которого получается простое биквадратное уравнение 16x^4-20x^2+5=0, откуда x=sin72=sqrt( (5+sqrt(5))/8 ).

Как найти Sin18? Помощь репетитора по математике

Повседневная рутина репетитора по математике чаще всего связана с подготовкой к ЕГЭ / ОГЭ, в связи с чем некоторые интересные задачи и разделы остаются «за кадром». Одним из наиболее пострадавших от идеологов ЕГЭ разделов математики является тригонометрия. Действительно, вычисления синусов и косинусов — отнесены к простым номерам первой части, а тригонометрические уравнения к простой части профильного экзамена. Невысокие баллы наводят на мысль, что легкой является вся тригонометрия в целом. Однако это не так и иногда к репетитору обращаются за помощью в решении действительно содержательных сложных задач, какими являются, например, вычисления без помощи таблиц.

$Sin 18^\circ$

Рассмотрим одну из них — поиск синуса 18 градусов. Заметим, что традиционные методы преобразований исходного выражения по формулам двойных, тройных углов, суммы и произведения функций здесь не помогут.

Начнем с последовательности очевидных равенств:

$Sin 54^\circ=Sin \left ( \dfrac<\pi></p> <p>- 36^\circ \right )$

$Sin 54^\circ=Cos 36^\circ$

(применили формулу приведения)

$Sin 3 \cdot 18^\circ=Cos 2\cdot 18^\circ$

$3Sin18^\circ - 4Sin^3 18^\circ = 1- 2Sin^2 18^\circ$

(формула тройного и двойного углов)

$Sin 18^\circ$

Последнее равенство говорит о том, что является корнем уравнения

или после упрощения

Очевидно, что является одним из его корней.

Следовательно по теореме Безу многочлен из левой части может быть разложен на множители, один из которых , а второй можно получит либо делением уголком, либо по схеме Горнера, либо непосредственными преобразованиями, выделяющими множитель . Они представлены ниже:

Выносим t-1 за скобку:

Приравнивая каждый множитель к нулю и решая полученное квадратное уравнение от второго множителя, получим три корня начального уравнения:

$t_1=1; t_2 = \dfrac<-1-\sqrt<5></p> <p>>;t_3 = \dfrac>$

Первые два корня не подходят, как как 18 градусов — угол первой четверти и поэтому , а

Поставим перед собой задачу найти значения синуса 18° и синуса 54°. Задание, прямо скажем, не самое сложное, но по-своему интересное. Заметим, обычно тригонометрические выводы формул для sin 18° и sin 54° опираются на формулу синуса тройного аргумента, не являющуюся обязательной к изучению в школьном курсе математики. Предлагаемый же здесь вывод в применении этой формулы не нуждается.

Итак, начнём! Воспользуемся формулами для синуса двойного аргумента и преобразования произведения синусов в разность косинусов:

Таким образом можно записать:

Посмотрим на это равенство, как на квадратное уравнение с неизвестным х = sin 18° и решим его. Из двух полученных корней выберем тот, который удовлетворяет условию sin 18° > 0. Таким образом,

Для вычисления sin 54° поступим аналогично:

решим квадратное уравнение

и в качестве значения sin 54° выберем то из его решений, которое больше нуля, а именно, –

Как узнать sin18 без калькулятора?

Например, использовать формулу разложения синуса в ряд Тейлора:

Собственно, по этому принципу вычисляются тригонометрические функции и в калькуляторе. Чем выше нужна точность, тем больше элементов ряда учитывается.

Спасибр, но этот вариатн не подходит. Объясню на примере, что я имела ввиду. Например, нужно найти cos15. И так, cos15=cos(45-30)=. далее расписываем за формулой и находим ответ. По этому ж принципу нужно найти ответ и здесь. — 7 лет назад Нам нужно найти синус угла, не кратного 15, не пользуясь ни калькулятором, ни таблицей, ни рядом Тейлора.
При этом мы можем пользоваться значениями синусов известных углов и формулами сложения.
Но мы знаем только синусы тех углов, которые кратны 15. А именно: 0; 30; 45; 60; 90.
В общем, все углы, синус которых заведомо известен, кратны 15.
Мы знаем признаки делимости суммы и разности.
"Если все слагаемые делятся на определённое число, то и сумма делится на это число".
"Если и вычитаемое, и уменьшаемое делятся на это число, значит, и разность разделится на это число".
Исключений нет.
У нас все слагаемые, все уменьшаемые и все вычитаемые делятся на 15.
Соответственно, складывая и вычитая углы 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и тому подобные, в любых комбинациях, мы получим числа (величины углов), кратные 15.
Однако числа 18 и 78 на 15 не делятся.
Значит, углы 18 и 78 не могут быть разложены по формулам сложения, если в качестве известных углов использовать табличные углы, кратные 15. — 7 лет назад 18 градусов - это "Пи/10". Синус этого угла можно найти геометрически: строим правильный 10-угольник (это можно сделать с помощью циркуля). Искомый синус будет отношением половины стороны к радиусу описанной окружности. — 7 лет назад Ракитин Сергей, спасибо. Это именно то, что нужно. Интересно, а как именно это довести? — 7 лет назад Ракитин Сергей, скажите, пожалуйста. Половину стороны помножить или поделить на радиус? — 7 лет назад Конечно, поделить. Ведь синус это отношение противолежащего катета (в нашем случае это и будет половина стороны) к гипотенузе (радиусу окружности). — 7 лет назад ясно, спасибо, то я написала не подумав)) — 7 лет назад

Могу рассказать чисто школьный метод, то есть без надобности в калькуляторе.

Но кое-что всё же понадобится. А именно транспортир, хотя можно и без него, но точность будет меньше. Ещё понадобится линейка.

Что такое синус? Это отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе.

Угол 18' - это наш угол.

Строим этот угол с помощью транспортира. Линии, от него отходящие заканчиваем наравне, чтобы получился прямой угол. И соединяем эти две точки. Получается треугольник с прямым углом.

Наклонённый под 18' отрезок - это гипотенуза.

Вертикальный отрезок - это противолежащий катет, а горизонтальный - прилежащий.

Измеряем линейкой длину гипотенузы и противолежащего катета.

Делим длину противолежащего катета на длину гипотенузы и получаем искомый Sin 18'.

Если вдруг нет транспортира, то находим 18' через среднее арифметическое. То есть сначала откладываем на глаз 45', а это сделать легко, так как 45 градусов ровно посередине между горизонтальной и вертикальной линией. Затем находим примерно 15', поделив расстояние между 45' и 0' на три равные части, которые будут разделяться линиями в 15 и 30 градусов. Затем берём немного выше 15'.Это и будет примерно 18'.

Если же нет линейки, то тогда откладывайте линии на тетрадном листке в клетку, а затем считайте, сколько клеток составляет сторона. Чтобы посчитать количество клеток в гипотенузе (она располагается не параллельно графам клеток), приложите к её линии край второго листка в клетку, и посчитайте количество клеток.

Читайте также: