Как найти cos a если известен sin a
Обновлено: 01.07.2024
НУ И ЕЩЕ И ЭТО. ))) )
Пусть в прямоугольном треугольнике угол B - прямой. AC будет являться гипотенузой этого треугольника, стороны AB и BC - его катетами. Синусом острого угла BAC будет называться отношение противолежащего к этому углу катета BC к гипотенузе AC. То есть sin(BAC) = BC/AC.
Косинусом острого угла BAC будет называться отношение прилежащего к этому углу катета BC к гипотенузе AC. То есть cos(BAC) = AB/AC. Косинус угла можно также выразить через синус угла с помощью основного тригонометрического тождества: ((sin(ABC))^2)+((cos(ABC))^2) = 1. Тогда cos(ABC) = sqrt(1-(sin(ABC))^2).
Косинус угла можно рассчитать и в любом треугольнике, если известны длины всех его сторон. По теореме косинусов AB^2 = ((AC)^2)+((BC)^2)-2*AC*BC*cos(ACB).
Отсюда, cos(ACB) = ((AC^2)+(BC^2)-(AB^2))/(2*AC*BC).
Как найти синус угла, если известен косинус?
Для решения задачи следует воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1.
Отсюда синус угла равен плюс минус корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.
Какой знак перед корнем квадратным брать зависит от того, где находится угол, косинус которого известен.
Если в условии задачи значение косинуса больше нуля (равенство нулю рассмотрено, как частный случай, ниже, хотя применимы рассуждения и для нуля), то угол находится либо в 1-й, либо в 4-й четверти.
Для определенности в условии задачи обычно дается ограничение для угла.
Если указано, что 0< a< 90 (1 четверть), то значение синуса тоже следует брать со знаком плюс.
Если же 270< a< 360 (4 четверть), то значение синуса следует брать со знаком минус.
Если значение косинуса угла меньше нуля, то это означает, что угол может находиться во 2-й или 3-й четверти.
1) 90< a< 180 (2 четверть).
Тогда синус угла будет положительным и равняется корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.
2) 180< a< 270 (3 четверть).
В этом случае синус угла будет отрицательным и равняется тому же значению, что и в первом случае, только со знаком минус.
Частные случаи: Если cos a = 0, то sina=1; если cos a = 1, то sina=0; cos a = -1, то sina=0. Эти значения также легко находятся из основного тригонометрического тождества.
Пример 1. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 180<a<270 (в градусах)
Решение. Находим разность 1 и квадрата значения cos a, т.е. квадрата (-0,8).
-0,8 возводим в квадрат, получим (-0,8)*(-0,8) = 0, 64. Подставим его в искомую разность:
Получили квадрат значения синуса. Для нахождения значения самого синуса, извлечем корень квадратный из 0,36 и возьмем его со знаком + и со знаком - (см. картинку). Получим 0,6 или -0,6.
Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение синуса будет отрицательным. Значит выбираем -0,6.
Ответ: sina=-0,6.
Рассмотрим для краткости изложения этот же пример для случая, когда угол находится во второй четверти:
Пример 2. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 90<a<180 (в градусах)
Решение будет точно таким же, как для примера 1.
Изменится лишь выбор ответа. Рассуждения будут следующими:
Так как по условию угол находится во 2 четверти, то искомое значение синуса будет положительным. Значит выбираем 0,6.
Как найти косинус угла, если известен синус?
Ответ мой будет аналогичным ответу на похожий вопрос (см. здесь).
Из основного тригонометрического тождества:
выразим косинус в квадрате угла а:
Значит косинус угла равен либо корню квадратному из этого выражения, либо ему же, только со знаком -.
Знак перед корнем зависит от ограничения, которое накладывается для определенности в условии задачи.
Если дано положительное значение синуса,то угол находится в 1-й или во 2-й четверти. В первой четверти (0< a< 90) значение косинуса будет положительным. Здесь выбираем знак плюс. Во второй четверти (90< a< 180) значение косинуса будет отрицательным. Тогда перед корнем выбираем знак минус.
Если значение синуса отрицательное, то угол расположен в 3-й или 4-й четверти. В 3 четверти (180< a< 270) косинус угла будет меньше нуля.
В 4 четверти (270< a< 360) косинус угла будет больше нуля.
Примеры.
Пример 1. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 180<a<270 (в градусах)
Решение. Находим разность 1 и квадрата значения sina, т.е. квадрата (-0,6).
-0,6 в квадрате находится так: (-0,6)*(-0,6) = 0,36. Подставим его в искомую разность:
Получили квадрат значения косинуса. Для нахождения значения самого косинуса, извлечем корень квадратный из 0,64 и возьмем его со знаком + или со знаком - . Получим 0,8 или -0,8.
Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение косинуса будет также меньше нуля. Значит выбираем -0,8.
Рассмотрим пример для случая, когда угол находится в 4 четверти:
Пример 2. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 270<a<360 (в градусах)
Решение такое же (см. пример 1).
Перед выбором ответа рассуждаем так:
Т. к. по условию угол расположен в 4 четверти, то значение косинуса будет больше нуля. Значит выбираем 0,8.
Как найти cos альфа если известен синус альфа?
2. Дано променi a, b, ci d, що мають спільний початок. Промінь а проходить між сторонами кута (bc), а промінь b - між сторонами кута (ad). Знайти град … усну міру кута (ас), якщо він у 6 разів менший за кут (ab) і на 10" більший за кут (bd), а градусна міра кута (cd) дорівнює 110". 3. Дано променi a, bic, що мають спільний початок. Відомо, що Z(ас) =35 і 2(bc) = 55°. Довести, що промінь не про- ходить між сторонами кута (ас).
Читайте также: