Как комбинаторика применяется в реальной жизни или области применения комбинаторики
Обновлено: 05.07.2024
Актуальность этой работы определяется успешным применением комбинаторики и ее приложений в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.
Проект имеет социальную и личную значимость, которая заключается возможности овладения основными и нетрадиционными методами решения задач, а также возможностью научиться ориентироваться в проблемных ситуациях и использовании успешной игры в шашки, шахматы, лото и т.д. Также работая над проектом я расширил свой кругозор и базу математических знаний.
Объект исследования : область математики–комбинаторика.
Цель исследования : показать, что область комбинаторики
широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.
Гипотеза : комбинаторика имеет широкий спектр практической
Для подтверждения выдвинутой гипотезы были поставлены
следующие задачи исследования :
собрать, изучить и систематизировать материал о комбинаторике;
рассмотреть использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности;
рассмотреть как элементы комбинаторики, в частности сочетания, используются при решении различных жизненных ситуаций;
показать практическую значимость комбинаторики как области математики.
Базой моих исследований являются книги Н.Я.Виленкина, А.Н. Виленкина, П.А.Виленкина «Комбинаторика», Я.Бродского «Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе», Е.Я Гика «Математика на шахматной доске», Л.Я.Окунева «Комбинаторные задачи на шахматной доске» и задачники по комбинаторике, а также другие справочные материалы.
При работе над проектом применялись следующие методы:
1) теоретические: изучение и анализ источников информации по комбинаторике и занимательной математике; моделирование приемов использования комбинаторики в различных областях жизнедеятельности человека.
2) эмпирические: исследование различных игровых ситуаций и результатов игр в шахматы.
Работа «Комбинаторика в нашей жизни» имеет практическое значение. Оно заключается в следующем: знание основных правил комбинаторики и умение их применять позволяет с умом выигрывать и решать задачи.
Понятие о науке «Комбинаторика»
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, – возникла в XVI в. В жизни тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. Проблемы азартных игр явились движущей силой развития комбинаторики.
Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть р костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами. [4].
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.
Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находили отражение и в школьном курсе математики. [1].
Задача, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.
Комбинаторика как наука стала развиваться в XVIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым В. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер.
2. Комбинаторика в различных областях жизнедеятельности человека
2.1. Комбинаторика на шахматной доске
Профессиональный интерес математиков к шахматам проявился довольно давно и был связан с двумя направлениями: математической логикой и комбинаторикой. Первое — рассмотрение игры с точки зрения построения ее формальной модели, удобной для логического анализа на основе действующих соревновательных правил. Второе — исследование конкретных позиций или их классов в игре для достижения определенных результатов, например матовой позиции за определенное число ходов. Последнее направление породило множество изящных логико-вычислительных проблем. Некоторые из них и по сей день предлагаются на различных математических и программистских олимпиадах, а также для развлечения на досуге. Сошлемся на посвященные этим вопросам книги Л.Я. Окунева «Комбинаторные задачи на шахматной доске» [5]. и Е.Я. Гика «Математика на шахматной доске». [3]. Нужно упомянуть еще работы Мартина Гарднера, вышедшие под общим названием «Математические развлечения». В них содержатся материалы, посвященные шахматным задачам. Вот несколько примеров. Определение размера награды создателю шахматной игры потребовало от «администрации» легендарного индийского царя вычисления количества пшеничных зерен, равного числу с 20 значащими цифрами.
Задачи о шахматной доске, на которой не все поля принимаются во внимание, представляют собой алгоритмический интерес в игре, поскольку они определяют, в частности, поля внимания играющего при принятии решения о ходе, который он намерен сделать. Кроме того, вследствие изменения количества полей и формы шахматной доски появляются новые разновидности игры, например шахматы, предложенные Робертом Фишером.
Исследование геометрии шахматной доски приводит к разработке алгоритмов для известных и широко применяемых на практике интуитивных правил «квадрата», «треугольника» или «линии Троицкого», позволяющих оценить качество позиции не только на много ходов вперед, но и окончательно, как в приведенных случаях. Более того, при геометрическом анализе позиции в шахматной партии могут возникать и так называемые экстремальные задачи. Их решение помогает отыскивать мат за наименьшее количество ходов.
Если теперь обратить внимание на шахматную доску с расположенными на ней фигурами, то возникающие задачи уже будут носить явно выраженный игровой характер. Особенно тогда, когда это задачи с достаточно интересным набором фигур. К ним относятся не только случаи вроде такого, как обойти конем все поля шахматной доски, занимая каждое поле лишь один раз, но и знаменитые коллекции многофигурных эндшпилей. Значительная часть комбинаторных задач связана с определением числа возможных расстановок фигур на доске, что очень важно при поиске однотипных позиций, приводящих к одинаковому результату в дальнейшем течении партии.
Как известно, основной способ поиска наилучшего хода заключается в переборе возможных ходов, рассмотрении движения по дереву последовательных позиций и оценке возникающих в результате них состояний игры. Но это весьма дорогостоящий путь в том смысле, что при его прохождении играющему предъявляются непомерные требования по времени даже в случае использования компьютера. Поэтому при поиске наиболее эффективных алгоритмов в компьютерных шахматах принято учитывать как можно больше ограничений (условий), упорядочивающих перебор, т.е. позволяющих отбрасывать те позиции, которые при выборе хода рассматривать не нужно. Эти задачи представляют, как правило, трудности и для математиков, из-за чего получили распространение так называемые эвристические методы их решения. В разработку эффективных методов перебора внесли большой вклад советские математики А. Брудно и В. Арлазаров, предложившие альфа-бета процедуру и форсированный вариант, реализованные еще в шахматной программе «Каисса». [1].
Так как борьба за уменьшение времени на «обдумывание» хода всей программой является принципиальным фактором, то математики затрачивают массу усилий на создание входящих в нее приложений (задач, решаемых при поиске нужного хода), работающих наиболее быстро, а также требующих по минимуму оперативной памяти. Так, в свое время один из авторов «Каиссы» придумал изящную реализацию нахождения сочетаний для m фигур и n мест, которые они могут занимать, что весьма важно для эффективной работы подобной программы.
Клод Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее.
По существу компьютерные шахматы — едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.
2.4. Пароли и коды в нашей жизни.
Вся наша жизнь состоит из множества разнообразных программ. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль.
В качестве кода в зависимости от рода программы могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов, поведение или действие, и так далее.
Одна и та же программа, в зависимости от того какой пароль будет предложен, будет выполняться по-разному, в соответствии с предложенным паролем. [3].
Рассмотрим на следующем примере – завязывание отношений между двумя людьми. Допустим, знакомится парень с девушкой, возникает программа взаимоотношения. В зависимости от того, что сделает или будет говорить один из них, отношения, а вернее программа отношений будет принимать тот, или иной характер. Если, кто то из них вводит пароль дружбы, вражды, романтики или любой другой, путем каких-то слов или действий будет один результат, другой пароль – другой результат.
Когда мы узнаем что-то новое, развиваемся, к нам приходит жизненный опыт, он то как раз и есть ничто иное как набор всевозможных паролей, комбинаций. Ведь опытный человек всегда найдет лучшее решение в конкретной ситуации, потому – что он располагает большей комбинацией паролей.
Мир вокруг нас постоянно меняется, однако все происходящие изменения вовсе не хаотичны, как может показаться на первый взгляд. Любые трансформации внутри Вселенной могут быть классифицированы, их структура отражена в восьми триграммах, их шестидесяти четырех комбинациях (гексаграммах). [1].
3. Сочетания в нашей жизни
В зависимости от правил составления комбинаций можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. [2].
Изучив подробнее один тип комбинаций – это сочетания, я решил выполнить несколько задач и проанализировать полученные результаты.
Рассмотрим случай выбора двух элементов.
Пример 1. В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая команда играла один матч с каждой. Сколько всего было встреч?
Как комбинаторика применяется в реальной жизни или области применения комбинаторики
"Число, положение и комбинация -
три взаимно пересекающиеся, но
различные сферы мысли, к которым
можно отнести все математические
Дж. Сильвестр (1844 г.)
Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками, агроному – разместить посевы сельскохозяйственных культур га нескольких полях, заведующему учебной частью школы – составить расписание уроков и т. д. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.
Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. Широко были распространены всевозможные лотереи. Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр явились движущей силой в развитии комбинаторики и развивавшейся одновременно с ней теории вероятностей.
Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами (например, 1+3+4=4+2+2)
За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики и т. д.
Очевидно, комбинаторика – обширная, масштабная, увлекательная тема, занимающая немалую роль, как и в дискретной математике, так и в повседневной жизни. И в данном проекте, мы коснёмся основных понятий и формулировок комбинаторики, а также рассмотрим несколько задач. Более того, постараемся прийти к одному умозаключению.
Основные формулы комбинаторики
На самом начальном этапе нужно изучить основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки и научиться их применять для решения задач.
«Сколькими способами можно переставить n объектов?»
Пусть имеется n различных объектов.
Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно
Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n
Пример всех перестановок из n = 3 объектов (различных фигур) - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно P 3 = 3 != 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 так и получается.
С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно.
Пусть имеется n различных объектов.
Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно
= n !( n − m )!= n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ . ⋅ ( n − m + 1 )
Пример всех размещений из n = 3 объектов (различных фигур) по m = 2 m=2 - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно A 23 = 3 ⋅ ( 3 − 2 + 1 )= 3 ⋅ 2 = 6 A32=3 ⋅ (3−2+1)=3 ⋅ 2=6 .
Комбинаторика сочетания
Пусть имеется n различных объектов.
Будем выбирать из них m объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно
Пример всех сочетаний из n=3 объектов (различных фигур) по m=2 - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно =3!(3−2)!⋅2!=3. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m! раз, то есть верна формула связи:
Основные комбинаторные объекты и методы
На практике часто приходится выделять из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке т.д. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называют комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств любую комбинаторную задачу можно свести к задаче конечных множествах и их отображениях.
Есть несколько основных типов комбинаторных задач:
- существование объекта с заданными свойствами;
- подсчет или оценка количества искомых комбинаций или их описание;
- поиск оптимальной комбинации по какому-то параметру.
Простейшие способы комбинаторных подсчетов. Правило суммы.
Комбинаторика тесно связана теорией конечных множеств: понятия подмножество, объединение множеств, пересечение множеств оказываются полезными при решении комбинаторных задач, т. к. количество комбинаций — это число элементов соответствующего множества.
Задачи по комбинаторике
Морской семафор
Генетический код
Замечательным открытием биологии XX века была разгадка генетического кода. Удалось выяснить, каким образом наследственная информация передается потомству. Оказалось, что эта информация записана в гигантских молекулах дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК). Различные молекулы ДНК отличаются друг от друга тем, в каком порядке идут них 4 азотистых основания: аденин, тиамин, гуанин и цитозин. Эти основания определяют порядок построения белков организма из двух десятков аминокислот, причем каждая аминокислота зашифрована кодом из трех азотистых оснований. Легко понять, откуда взялось число 3. Ведь с помощью комбинаций двух оснований можно зашифровать лишь 4^2=16 аминокислот, а этого недостаточно. Если же брать по 3 основания, то получим 4^3=64 комбинации. А этого с избытком хватит, чтобы зашифровать два десятка. Было бы весьма интересно узнать, как используется в природе избыточность информации-ведь число комбинаций равно 64, а число аминокислот втрое меньше. В одной хромосоме содержится несколько десятков миллионов азотистых оснований. Число различных комбинаций, в которых они могут идти друг за другом, невообразимо велико). Ничтожной доли этих комбинаций достаточно было, чтобы обеспечить все разнообразие живой природы за время существования жизни на Земле. Разумеется, надо иметь в виду, что лишь ничтожная доля теоретически возможных комбинаций приводит к жизнеспособным организмам.
Можно сделать выводы и сказать, что: человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, может дать ответы на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае. Комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и сферы. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики.
Рассмотрев использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности, как элементы комбинаторики, в частности сочетания, используются при решении различных жизненных ситуаций; мы показали практическую значимость комбинаторики как области математики. Таким образом, мы пришли к умозаключению: комбинаторика – это раздел математики, находящийся на магистральном пути развития науки и имеющий широкий спектр практической направленности.
Н.Я. Виленкин “Комбинаторика”, 1969
М. А. Иванов, Ю. В. Якубович “Введение в комбинаторику. Теория и задачи” . 2018
Введение
Людям часто приходится иметь дело с задачами выбора элементов из некоторой совокупности и расположения этих элементов в определенном порядке. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Роль таких задач важна не только в математике, но и физике, химии, биологии, технике и экономике. Комбинаторные задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, математической статистики и т. д.
Трудно переоценить значимость той роли, которую играет обучение методам решения комбинаторных задач в общеобразовательной школе. Освоение методов решения таких задач способствует развитию умственных способностей и математического кругозора ученика. Комбинаторные задачи несут широкие возможности для способов решения таких задач, которые могут служить как формы общих методов решения задач.
Вопрос: Может ли нам помочь комбинаторика в реальной жизни?
Цель исследования: показать на примерах практическое применение комбинаторики в повседневной жизни.
Задача: учиться находить возможные комбинации предметов, отвечающие определённым условиям.
Гипотеза: решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из ЕГЭ, вырабатывает уверенность в собственных силах.
Результат: понимание значимости данной темы в практической деятельности человека.
1. Теоретические основы комбинаторики
Еще в доисторическую эпоху люди сталкивались с комбинаторными задачами. Выбирать и располагать предметы в определенном порядке, отыскивать среди разных расположений наилучшее – вот задачи, решаемые в быту, на охоте или в сражениях. По мере усложнения производственных и общественных отношений задачи усложнялись. Комбинаторные задачи встречались, как игры в досуге. При тайных переписках дипломаты стали применять шифры, которые были основаны на различных перестановках букв, чисел, заменах букв с использованием ключевых слов и т. д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей. Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники, комбинаторика «добилась» новых успехов. Были изданы журналы, книги по комбинаторике. Элементы комбинаторики были включены в школьный курс математики. Затем изъяты из программы. По желанию учителей и учащихся в 80–90 гг. прошлого столетия основы комбинаторики изучались на факультативных занятиях старших классов общеобразовательной школы. В настоящий момент комбинаторика вновь включена в школьный курс.
Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare , которое означает «соединять, сочетать»
Начав с анализа головоломок и азартных игр, комбинаторика оказалась исключительно полезной для решения практических задач почти во всех разделах математики. Кроме того, комбинаторные методы оказались полезными в статистике, генетике, лингвистике и многих других науках. Вместе с этим приходится очень часто просчитывать возможные варианты в жизни.
Основными правилами и формулами комбинаторики являются:
Правило суммы: Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b - n способами, то выбор «или а или b » можно сделать m + n способами.
Правило произведения: Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b - n способами, то выбор « а и b » можно сделать m * n способами
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Размещением из n элементов по k ( k ≤ n ) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.
2. Практическое применение комбинаторики в повседневной жизни
Вопросом применения комбинаторики в реальной жизни, я занимался в своей работе. Проводя свои исследования, я учился решать комбинаторные задачи, применяя различные способы решения. Мне хотелось посмотреть, обращаются ли люди в обычной жизни для решения какой-то задачи к научным обоснованиям или же делают как проще, доступнее и быстрее.
Я провёл небольшое исследование этих вопросов в лицее.
С утра мы очень часто отправляемся к расписанию или открываем дневники, посмотреть порядок уроков. А представим на миг, чтобы стало в школе, если бы не было расписания. Трудно пришлось бы всем: и детям, и учителям. Даже в одном классе и то вряд ли легко решили бы проблему.
Мы в 9 классе изучаем 14 предметов. Я подошёл к завучу нашей школы и поинтересовался, как она считает сколькими способами можно составить расписание для нашего класса на среду, когда у нас 7 различных предметов. Она ответила, что составление расписания очень серьёзное дело. Нужно учитывать много разных моментов. Поэтому всегда приходится исходить из практических соображений. А над количеством вариантов как-то и не задумываешься.
Попробуем найти ответ на этот вопрос с помощью комбинаторики.
Понятно, что расписание на один день, составленное из 7 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Здесь мы имеем дело с размещениями из 14 элементов по 7. А потому расписание можно составить 17 297 280 способами.
Далее непременно заглянем в столовую. Чтобы хорошо учиться, нужно хорошо кушать.
Я спросил у нашего повара, какие блюда у них сегодня на обед. Она ответила, что есть борщ, картофельное пюре, гречневая каша, рыба, сосиски, кисель, чай.
Я поинтересовался, как она считает, сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первого, вторых и третьих блюд?
Повар ответила, что дети выбирают сами, что хотят, не дожидаясь предложения.
Но сколько же в действительности можно составить вариантов обедов?
Первое блюдо можно выбрать 1 способом. Для первого блюда существует 4 выбора вторых блюд. Первые два блюда можно выбрать 4 способами. И, наконец, для каждого из этих выборов имеются 2 возможности выбора третьего блюда, т. е. Существует 1 * 4 * 2 способов составления обеда из трех блюд. Итак, обед может быть составлен 8 способами.
Далее заглянем в хранилище книг - библиотеку. Меня заинтересовала полка, где стояли энциклопедии школьника. Всего их было 12 книг. Среди них было 4 энциклопедии истории России. Я поинтересовался у библиотекаря, знает ли она сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все 4 энциклопедии истории России стояли рядом? На что она заметила, что это хорошая математическая задача, но в библиотеке главное, только то, чтобы эти книги стояли рядом, потому что они по одной теме. А способов сколько угодно, наверное, миллион.
А сколько же, действительно, способов?
Сначала надо рассмотреть 4 энциклопедии истории России как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 12, а 9 книг. Это можно сделать 362 880 способами. В каждой из полученных комбинаций нужно выполнить P 4 перестановок энциклопедий истории России. Поэтому искомое число способов 8 709 120.
На этом моё исследование практически завершилось. Но к решению ещё одной задачи меня подтолкнули одноклассники. Мы заканчиваем 9 класс. Наш класс достаточно дружен. Мы на память решили обменяться фотографиями. В классе у нас 23 человека. Сколько же фотографий для этого нужно? Кто-то, не думая, крикнул, что 44. Прав ли он? Конечно же, нет.
Всего детей-23.Каждый отдаст 22 фотографии. Значит, всего нужно 23*22=506 фото.
На примере рассмотренных задач мы увидели практическое применение "Комбинаторики" в различных сферах деятельности человека, т. е. выяснили, где в реальной жизни мы встречаемся с комбинаторикой.
Области применения комбинаторики:
учебные заведения (составление расписаний)
сфера общественного питания (составление меню)
лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
география (раскраска карт)
спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)
агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)
криптография (разработка методов шифрования)
доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
биология (расшифровка кода ДНК)
военное дело (расположение подразделений)
астрология (анализ расположения планет и созвездий)
В ближайшем будущем мы будем сдавать ОГЭ и проходить ГИА.
В КИМах используются задачи комбинаторики, и наша цель научиться владеть этой наукой на достаточном уровне
Заключение
Комбинаторика повсюду. Комбинаторика везде. Комбинаторика вокруг нас.
Комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и техники. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому, химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.д. Комбинаторика используется в музыке, в различных играх (нарды, шашки, шахматы). В каждой из этих игр приходится рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывает тот, кто их лучше изучает.
Рассмотрев использование комбинаторики в различных жизненных ситуациях, я показал практическую значимость комбинаторики как области математики. Таким образом, я подведу гипотезу: комбинаторика это раздел математики, находящийся на магистральном пути развития науки и имеющий широкий спектр практической направленности.
Список литературы:
Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. . Комбинаторика. М., 2006.
Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. П. Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах. – М.: Просвещение, 1997.
Дмитриев И. Г., Попов М. В., Федоров М. П. Решение олимпиадных задач по математике. – Якутск: ДНСПО МО РС(Я), 2000.
Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. . Элементы комбинаторики. М., 1977.
Когаловский С.Р. Роль комбинаторных задач в обучении математики. Математика в школе. – 2004. - №4.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей. – М.: Просвещение, 2003.
Урок математики на тему " Комбинаторика и её применение"
- воспитывать самоконтроль и взаимоконтроль при работе в группах.
Оборудование:
- кейс (раздаточный материал) для каждого учащегося;
Нацелить учащихся на урок
1.Историчемкая комбинаторика ( + самостоятельное решение учащимися задания, предложенного группой №1).
2. Теоретическая комбинаторика ( + самостоятельное решение учащимися задания, предложенного группой №2)
3.Домашняя комбинаторика ( + самостоятельное решение учащимися задания, предложенного группой №3)
4. Гимназическая комбинаторика ( + самостоятельное решение учащимися задания, предложенного группой №4)
Проверка умений решать комбинаторные задачи
Решить предложенные учителем задачи
Разъяснить содержание домашнего задания
Поведение итогов. Рефлексия.
Заполнение индивидуальных карточек.
Организационный момент, постановка целей и задач урока.
Человеку часто приходится сталкиваться с задачами, когда ему нужно посчитать число способов реализации некоторого действия. Например: вы забыли пароль на вашем компьютере, сколько вариантов вам придется перебрать, прежде чем вы сможете восстановить доступ? На данном уроке рассматривается раздел математики, который позволяет ответить на вопросы: сколькими способами, сколько вариантов и так далее. Этот раздел носит имя «комбинаторика» .
- Какие темы мы с вами изучили? (перестановки, размещения, сочетания)
- Что нам необходимо сделать, чтобы закрепить изученные темы? (применить теорию на практике, решать задачи по данной теме)
- Как вы считаете, какова цель сегодняшнего урока? (закрепить основные понятия комбинаторики с помощью решения задач)
Каждый из вас сегодня постарается ответить на проблемный вопрос:
Может ли комбинаторика помочь в реальной жизни?
Из этой проблемы вытекает цель урока. Сформулируйте цель урока?
Дети: продолжить знакомство с наукой комбинаторика.
Учитель: Какие перед нами ставятся задачи?
Дети: научиться решать комбинаторные задачи, узнать способы решения задач.
Учитель: А чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы вы шли, я выдвинула следующую гипотезу: решение комбинаторных задач развивает творческие способности, логическое мышление, помогает при решении олимпиадных задач и задач в жизни.
В конце урока вам предстоит подтвердить или опровергнуть ее.
За неделю сообщается тема урока и форма его проведения. К уроку готовятся все, собирая дополнительный материал по теме урока. Класс делится на группы по 5 человек. Группы получают материалы кейса, изучают их. В конце выступления групп и дискуссии учитель обращает внимание учащихся на вопрос, сформулированный в кейс -ситуации. Обучающиеся отвечают на него и приходят к выводу о том, что.
Участники в группах выбирают «модератора», координирующего работу, «секретаря» – фиксирующего результаты работы и «шкипера» – представляющего проект на общее обсуждение.
В процессе обсуждения завязывается дискуссия, и в споре рождается истина. Технология кейс-стади делает основной акцент на самостоятельное мышление, способность доносить свои мысли до аудитории и конструктивно отвечать на критику своих оппонентов.
Группы решают задачи разными способами и предлагают свои решения классу, обсуждаются достоинства и недостатки, решения оформляются в тетрадях, на доске, проверяются по готовым решениям.
Физкультминутка
4. Проверка умений решать комбинаторные задачи
Дополнительная задача « Бесплатный обед»
10 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие по возрасту, третьи - по успеваемости, четвертые - по росту и т.д.
Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился.
Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:
Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня.
Все сели как попало. Официант продолжал:
Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т.д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами. Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, ни мало, ни много, 3628800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 тысяч лет! Это покажется на первый взгляд невероятным, но так оно и есть
Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из 5 девочек?
На первое место – можно поставить любую из пяти девочек, а на второе место – любую из 4. По правилу произведения имеем, 5·4=20, но при таком подсчёте, одна и та же пара подсчитана дважды (пара 12 и 21). Тогда ответ,
Ответ: 10 вариантов
2 .Составляя расписание на понедельник в 11 классе, завуч может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, русский язык, история, физкультура. Сколько существует вариантов расписания?
Имеем дело с перестановками из 6 элементов ,
3..Сколькими способами можно составить расписание на день из шести различных уроков, если изучается 14 предметов?
Домашнее задание
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 3; 5; 7, если: а) все цифры различны; б) если цифры могут повторяться?
Сколькими способами можно разложить три разных по номиналу монеты в два кармана?
В комнате имеются 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них: а) 7 гостей; б) 3 гостей?
6. Поведение итогов.
При решении комбинаторных задач важно понять, к какому типу относится задача.
Вспомним, какие комбинации встречаются: перестановки, размещения, сочетания. Как же различить их друг от друга и выбрать правильную формулу для решения?
В заключение резюмируем основные моменты урока
На примере решенных задач мы увидели практическое применение «Комбинаторики» в различных сферах деятельности человека, т.е. выяснили, где в реальной жизни мы встречаемся с комбинаторикой.
Области применения комбинаторики:
-учебные заведения (составление расписаний)
-сфера общественного питания (составление меню)
-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
-география (раскраска карт)
-биология (расшифровка кода ДНК)
-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)
-азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
-криптография (разработка методов шифрования)
-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
Какими способами можно решать комбинаторные задачи?
- перебор возможных вариантов,
- дерево возможных вариантов;
- комбинаторное правило умножения;
- с помощью графов;
- формул перестановок, размещений и сочетаний.
В ближайшем будущем мы научимся решать более сложные задачи комбинаторики, а ваши знания будут востребованы при решении задач олимпиадного типа. Комбинаторика играет большую роль в практической деятельности человека.
Рефлексия (самооценка совместной работы)
В ходе моего проекта я.
Предлагал новые идеи и направления
Определял цели, ставил задачи
Ждал помощи от участников группы
Принимал участие в совместной работе
Задавал вопросы, искал факты, спрашивал разъяснения
Помогал группе в выборе правильных решений
Анализировал, обобщал точки зрения, делал выводы
Находил и исправлял ошибки
Оказывал помощь, откликался на работу других
Преодолевал трудности, добивался достижения результата
Осознавал ответственность за общее дело
Стимулировал дискуссию, предлагая различные точки зрения
Подводим итоги урока. Каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы класса, увлекательность и полезность выбранных форм работы. Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске:
Читайте также: