Где пригодятся интегралы в реальной жизни
Обновлено: 05.07.2024
Есть такая штука в математике - интеграл. Даже среди состоявшихся инженеров есть такие, которые толком не знают, зачем он нужен.
По сути, это сумма бесконечно малых крупиц, как если бы для вычисления объема камней мы их раздробили в пыль, которую затем поместили в мензурку.
Есть целая куча интегралов самых разных, все они служат своей цели.
Неопределённый интеграл - это семейство первообразных подынтегральной функции. Первообразная - понятие, обратное производной.
Определённый интеграл - это как раз пресловутая мензурка. Измеряет она, правда, не объём, а площадь под графиком подынтегральной функции на участке [а; б].
У определённого интеграла есть расширения - криволинейный интеграл, площадной (двойной), объёмный (тройной).
Первый меряет длину подынтегральной кривой, второй - площадь объёмной поверхности, ну а третий - объём. Последний, кстати, было бы правильнее сравнить с мензуркой ☺
В автоматизированных системах для вычисления интегралов применяется численное интегрирование.
А теперь, обещаный бонус:
Однажды Остроградский встретил своего студента спустя много лет после выпуска и спрашивает его:
- Ну что, пригодился Вам мой предмет?
- Михаил Васильевич, знаете, да. Однажды у меня ключи упали в нужник, так я проволоку интегралом свернул да и достал😂😂😂
Ответ на пост:"Транспортный налог"
У меня друг ветеран боевых действий (прошу не стебаться), человек честно выслужил положенное. Данное звание даёт человеку ряд льгот. Одна из них - освобождение от транспортного налога. Так вот он ТРИ года носил в нашу налоговую заверенные копии своего удостоверения ветерана боевых, чтобы ему перестали начислять транспортный налог на его жигу. И только на 4ый год. думаете налог не пришёл, херас там, налоговая подала на него в суд за неуплаченный налог за три года!
Судья мирового суда читая материалы дела сидела с видом Лаврова из знаменитого мема.
Зачем нужен интеграл
Из примера выше уже понято, что одна из полезных задач интегрирования — это расчет площади криволинейных фигур. В любой сложной ситуации, если сложность эта заключается криволинейности или неравномерности мы используем интеграл.
Но лучший способ объяснить, что такое интеграл простыми словами — показать еще пару примеров. Как когда-то в детстве объяснили сложение на яблоках. Для чего интеграл может понадобиться?
Предположим, нужно построить храм кому-то из древнегреческих богов, такой чтобы место в нем хватило всем, крыша была прямоугольной, а колоны круглыми, ведь так красивее (а еще прочнее).
Давление колонны на фундамент легко посчитать, если она квадратного сечения, делим силу на площадь и вуаля. А если колонна круглого сечения? Какова площадь круга?
Можно конечно, не напрягаться, и заменить круг эквивалентным квадратом (квадратура круга), но каким? На всякий случай побольше, чтобы наверняка ничего не развалилось. Но это не наш метод, особенно, если ни бесконечного числа рабочих, ни бесконечного числа мрамора в действительности нет и взять негде, а казнить за неэффективное использование бюджета никто не запрещает.
Еще примеры из жизни
В обратную сторону: первая производная пути, это скорость, вторая производная — ускорение. Если ускорение равно нулю, значит скорость не менялась.
Если проинтегрировав функцию изменения скорости (ускорение) получим константу (число, например, 60, а не формулу y=2x), значит, скорость не изменялась со временем, ускорения не было. Если, взяв приводную (дифференциал) функции скорости по времени, получим ноль — скорость не менялась, ускорение равно нулю.
То есть, имея в своем распоряжении какую-то функцию (зависимость чего-то от чего-то), мы можем ее дифференцировать или интегрировать. Точно также как если бы умножали и или, вычитали и складывали обычные числа.
Например, у нас есть функция изменения координат от времени. В реальном мире мы вышли на пробежку. Бежал наш виртуальный спортсмен 30 минут, первые 10 минут очень быстро, вторые 10 минут уже с одышкой, ну а последние 10 прошел пешком.
Очевидно, что координаты бегуна в начале и в конце разные (он же не стоял на месте). Если координаты менялись — скорость не равнялась нулю.
Скорость не была одинаковой, а менялась в зависимости от времени (больше времени, больше усталость, меньше скорость).
Итак, у нас есть функция изменения координат. Первая производная даст нам новую функцию — изменения координат, вторая производная — функцию ускорения. И первая и вторая функции зависят от одной и той же переменной — времени.
Еще один пример, вычисление массы. Масса, это произведение плотности на объем. Если плотность и объем одинаковы (это стакан воды) никаких проблем нет. А если плотность меняется (тот же стакан, только с коктейлем в несколько слоев)? В таком случае нужно знать закон (зависимость с которой изменяться плотность жидкости в стакане).
Пусть это будет 2x 2 . Применяем магию интегрирования — (2x 3 )/3. Теперь осталось подставить вместо Х нужные значения глубины (от ноля на поверхности до значения на дне стакана) и получим массу неоднородной(!) жидкости, без взвешивания.
Ну а если уж совсем просто, для гуманитариев, то производная винограда — это вино. Интеграл вина — это виноград.
Батька решит
Был у меня как-то в январе (разгар сессии) замечательный выходной. Мой отдых нарушил телефонный звонок с неизвестного номера.
-Здравствуйте, Алексей? Я по объявлению.
-Да, добрый день. Что Вас интересует?
-У меня сын на первом курсе, ему нужно тут пять интегралов решить. Не возьметесь?
Тут стоить пояснить. В институте есть костяк ребят (я в него попеременно вхожу), которые помогают другим по учебе совершенно безвозмездно. Да и в группе всегда можно найти человека, который шарит. И на целые предметы к экзамену натаскивали, и что только не делали.
-Нет, извините, мне это не интересно.
-(недовольно) я думал, интересно деньги зарабатывать.
-Не только в этом дело. Может, он придет и я ему помогу?
-Нет, не подходит. До свидания.
Ну, вернулся к просмотру фильма. Сижу и думаю. Это ж насколько балбесом нужно быть, чтобы в разгар сессии батя твою попоньку прикрывал! Зачем тогда вообще что-то делать - ходить в институт, лабы писать, колки, нервничать. Зачем? Батя решит же.
Тест на сексуальность пройден
Во славу Императору!
Ответ на пост «Я тут у вас. »
Пару москвичей продали в рабство в Дагестан — их похитили на трассе Дон, по которой они автостопом ехали в Крым
Водитель автобуса предложил их довезти прямо до места. Утром оказалось, что они в Дагестане, и вместе с остальными пассажирами проданы в рабство.
Пару купил местный фермер за 50 тысяч. Месяц они работали на него, потом смогли сбежать. Ребята вернулись в Москву и планируют добиться справедливости — заявления в полицию Дагестана результата не дали.
Кому нибудь из вас в жизни реально пригодились решения интегралов,многочленов ,которые решают в школе,универе и т.п.
А потом ты такой покупаешь жёсткий диск на ровно 1TB и начинаешь удивляться: а почему в этом "гигабайте" мегабайтов не 1024х1024, а гораздо меньше? И тут оказывается, что у мракетологов 1ТБ - это один тибибайт, а не террабайт, и клали они хер на привычные обозначения.
Ответ на пост «Не подведи Рома. Живи»
Если кому интересно, Рома таки выжил! 3 месяца в реанимации, 23 операции, и врачам удалось его спасти! Молодец Рома. Ура докторам!
Кто не в курсе - 12ти летний парень при пожаре спасал двухлетнего брата, получил 50% ожогов, разбил окно, вылез через него с ребенком, передал брата подоспевшему соседу и только после этого потерял сознание.
Покупка квартиры
Как и множество наших сограждан – жил я на съемной квартире и не тужил.
За пять лет последнего съёма все вообще было замечтательно. Квартира – вот как для меня спроектирована. И хозяев я видел ажно два раза.
Разок на подписании договора и второй – при затоплении квартиры из за протечек на крыше. Актик для УК их пригласил подписывать.
Ну уведомили и пропали в туманной дали… Живу себе дальше… 1-е апреля - хозяева объявились вновь:
-Dizi17 мы, надумали! Купи квартиру сам! Все равно в ней живешь. И цена средняя по рынку.
-Да не вопрос, ток бабла у меня нет. Давайте ипотеку возьму?
-Да нам монопенесуально, бабло есть бабло. Бери ипотеку.
Ну ок, налоговая-банк-ипотека. Собрал бумаги, взял выписку о отсутствии задолженностей, принес в банк 2НДФЛ за пять лет…
Через неделю сбер мне одобрил нужную сумму.
-Квест выполнен, бабло добыто!
-Ну ты Dizi17 крут! Сейчас документы подготовим!
Апрель уже потихоньку к второй половине подходит. От хозяев не слуху не духу, ипотечное одобрение тоже на исходе… Я, попутно, мониторю сайты недвижимости. Ну так, любопытства для. И тут, с удивлением вижу свою хатку в объявах. Все огонь, все честно, цена та же, свободная продажа, подходит для ипотеки и вообще для чего угодно.
-Да вот так дядя Dizi17, эт наш, специально обученный риелтор накосячил. Но мы это исправим вот прям сча!
-Да? А нафига нам риелтор?
-Ну у нас риелтор специальный, высоко-анальный, мы без него не можем! Мы ему уже бабла заслали!
-Ну грузите хату силами риелтора в ДомКлик и звоните.
Проходит еще пару дней…
-ЗдГаствуйте Dizi17, это риелтор ваших квартирных хозяев. Приходите к нам договор подписывать.
-А вы в домклик квартиру загрузили?
-И все документы подготовили?
-Да. Вы что, в нашей компетенции сомневаетесь.
-Тогда ждем к 14-00.
Я, лезу в домклик, выбираю нужную квартиру и неспешно выдвигаюсь в офис к риелторам.
Думаю… А что мне нужно для подписание предварительного договора? Паспорт? Ок. Денег на аванс (задаток)? Тоже ок. Приехал.
Встречает меня тетенька риелтор:
-Дайте нам ваш паспорт для составления документов. А сами прочтите договор.
-А документы на квартиру? А условия сделки?
- Dizi17 вы что юрист?
-Ну вот и читайте договор.
Какая милота, думаю я… Логика то железная… Смотрю на договор. Маловато. Два экземпляра, каждый на одиноком листике А4…
Читаю… Договор между мной и агентством. На оказание консультационных услуг. Цена договора – скромненько. Всего 50 000 рублей. Зато про продажу квартиры там ни слова…
-Тетя риелтор, а что это значит?
-Как что, мы вас консультируем!
-Как найти квартиру, как подготовить документы, если квартиру найдете, то о ее особенностях.
-Э-эээ… Тут я даже подзавис на минутку…
-А ничего, что квартира найдена, документы готовит банк, хозяев я знаю дольше чем вы, и о особенностях квартиры я сам за 5 лет проживания - могу сагу написать? Так что давайте ка договорчик трёхсторонний, о продаже квартиры. И 50 000 рублей возьмёте хоть как задаток, хоть аванс?
- Dizi17, ты что самый умный? Подписывай что дали! Или вали отсюда нахрен.
Понимая, что дарить 50 000 рублей не очень приятной тете я не готов – ухожу. Благоразумно прихватив с собой не только свой паспорт, но и образец столь значимого договора…
Не прошло и часа, звонок арендодателей:
Ну ладно. Весна, обострения, неблагополучные отношения… Всякое бывает…
Следующее утро началось с очередного звонка риелтора:
-Это вновь риелтор ваших квартирных хозяев. Приходите к нам договор подписывать.
-Нет. Только на квартиру.
-А вы точно все документы подготовили?
Ну ок, прихожу. С недовольным лицом мне вручают папочку документов. Листаю, читаю, думаю о своем, о женском…
Адрес - тот, хозяин - тот, город - тоже тот. А вот, нестыковочка: В выписке квартира ДВУХ комнатная. Фигакс! Живу то я в студии. Ну ладно, ну 70 квадратов, но как я и люблю - студия. Даже балкона нет!
-Тетя риелтор, а что это значит?
-А фигня, там просто перепланировка не узаконена.
-А мы вам фальшивую бумажку с планами для оценщика дадим.
-Да? А банк потом меня нахлобучит за перепланировку в залоговом имуществе?
-Ну это уже не наша проблема.
Ок, время потрачено зря. Ухожу…
Что то не то.. Но… А… То! День сурка. Вновь, опять, звонок арендодателей:
-Не, не совсем. Но давайте вскладчину оплатим согласование и через пару недель оформим, как положено?
И, где то же в то же время звонят арендодатели:
-А может скидочку?
-Конский препуций тебе в пасть, а не скидочку!
-Дядя Dizi17, а фиг ли ты еще не съехал?
-Да у меня еще дофига времени оплачено.
-Да? А где договор?
Выдаю копию договора. Копию радостно забирает риелтор. Читает, улыбается, обращается ко мне:
- Dizi17, договорчик то старый! Его продлять надо было. Так что собрался и свалил. Пока полицию не вызвали!
-Ну что же вы документы так невнимательно читаете. Отвечаю я…
-Вот же все написано. Продление автоматически, при условии своевременной оплаты.
-Так расписок на оплату у тебя нет!
-Ну так вали из квартиры.
-Не-а. У меня выписки банковские есть. Квартиру организация снимает по безналу.
После этого, убедившись, что потенциального покупателя уже и след простыл – комиссия удаляется.
Следующие четыре месяца прошли у моих бывших арендодателей напряженно. Деньги за аренду поступать перестали. Неожиданно да? За то коммунальные платежи списывали исправно.
Мифический покупатель с толстой пачкой наличных и с полным презрением к документам тоже не нашелся. Редкие посетители на просмотр перемежались с не менее редкими любителями посуточной аренды.
При случайных встречах со мной – зачастившие в свою недвижимость собственники испепеляли меня гневными взорами…
В сентябре, цена на столь привлекательную недвижимость снизилась на 12%.
И тут, возникшие варианты экономии подвигли меня на хитрый ход.
Я взял в банке кредит. Просто кредит, без ипотеки.
А потом понадобилась помощь мамы. Ну обязаны же родители помогать своим великовозрастным детишкам? Обязаны. Вот и я так подумал. Благо фамилии у нас разные.
А я, ну что я… Просто пришел на заключительный акт. Который акт приема-передачи. Вид бывших владельцев был достоин кисти мастера. А слова, и целые идиомы в мой адрес заставляли руку тянуться за блокнотиком…
Сэкономленных денег хватило и на ремонт и на согласования перепланировок. Еще и на новоселье осталось.
Зачем нужны интегралы?
Проще заняться программированием. Я худший человек на свете в плане математики, но программировать могу и мне за это деньги платят. Программирование реально развивает логику, а математика с человеческой логикой напрямую не связана.
нифига школа не пригодится, это 90%.
но есть одно но - знаниями разьебывают мозг, чтобы после ухода осталась хоть какая инерция на поглощение знаний.
только беда инерция эта не достигается школьными способами, ученик заканчивая школу хочет все послать нах и больше не учиться. В школе ненавилео физику и математику.
В данный момент, окончив и школу и тех мне почему то физика очень интересна, хотя и не нужна совсем. Математикой пользуюсь по работе. Любовь к чтетнию школа отбила на пол жизни.
интеграл = сумма произведений
удельной величины на постоянную
и с данной кочки зрения применяется
и в расчёте зарплат и объясняет меню каждого
и в транспорте: сумма произведений
скорости в данную секунду на количество секунд
да как видим находить первообразную не требуется
казалось бы и решается численно
и задумавшись над функциями процессов
чаще всего функции линейные
а также:
кредит = интеграл
Сюрприз
Шутка над батей
Удобство
Я тут у вас.
Ответ на пост «Жадный таксист»
Помнится в 2000-е, когда не было никаких Уберов и Яндексов, и все ловили частников "от бордюра", останавливаю такси:
- Добрый вечер! До Марьино.
- Всегда езжу за 150.
- Да никто за 150 туда не поедет. Это стоит дороже. Я же вас не обманываю. Хотите поедем по счётчику, сами убедитесь.
- Ладно. Я опаздываю. Поехали по счётчику.
Приезжаем. На счётчике 90 руб.
Протягиваю купюру 100 руб. со словами:
- Спасибо! Сдачи не надо.
- Так вы же говорили 150.
- Ну, вы же сами сказали, что за 150 не поедете, что поедем по счётчику. Всего доброго!
Исторический юмор
Интеграл простыми словами
Интегралы начинают изучать еще в школе. Но никто из учителей не говорит, зачем это нужно, как использовать эти знания в жизни. Мало кто вообще способен объяснить простыми словами, что такое интеграл, даже в университете. А мы попробуем.
Если коротко — интеграл, это сумма маленьких частей. Да, точно так же как и сложение 2+2, только части бесконечно маленькие, естественно и количество их — бесконечно.
Интегрирование — это сложение бесконечного количества частей бесконечно маленького значения.
Бесконечно малая величина, это не какое-то конкретное число. Это абстракция, в реальном мире аналогов просто нет. Мы придумали так для удобства. Что-то настолько маленькое, что измерять его бессмысленно, но в расчетах использовать можно.
Можно, конечно, разбить фигуру на две, прямоугольник и треугольник.
Чем больше будет фигур, тем больше будет и точность расчета и тем меньше будут сами фигурки. Если площадь маленьких фигурок будет бесконечно малой, то есть стремится к нулю (но не равняться ему), сумма всех этих площадей будет равна сумме большой фигуры с бесконечно большой точностью.
То же самое происходит при интегрировании:
Сложение бесконечного числа частей бесконечно маленького размера это и есть интегрирование.
Высота конкретного прямоугольничка, это значение функции в этой конкретной точке (почему точке, потому, что ширина полоски у нас бесконечно маленькая, мы так договорились в самом начале).
Площадь, это высота умноженная на ширину. За высоту можем брать и y и f(x), они равны. За ширину у нас играет dx. Итак, момент истины:
f(x)dx — площадь нашего маленького столбика. В если собрать из все вместе, будет сумма бесконечно маленьких столбиков.
Осталось только указать, что интересуемся мы конкретным значением. Наша кривая, это часть параболы f(x)=x 2 .
А площадь нужна не бесконечной фигуры, а той что начинается от 1 и закачивается на 5. Если написать эти цифры над и под значком интеграла, получится определенный интеграл.
Собственно и все, интеграл — это сумма бесконечно малых приращений (то есть значений) какой-то функции. Не сложно и не страшно, если не усложнять.
Никакого противоречия здесь нет. Вот только умножение работает в случае одинаковых величин, простых фигур или прямолинейного движения без ускорения. В остальных случаях — интегрирование.
Случай в офисе
У нас сегодня в офисе раздался хлопок. Как потом выяснилось, это подорвался пердак одного из наших логистов, который давно просил новый монитор, а сегодня при получении аванса обнаружил что его стоимость вычли из его зарплаты.
Бухгалтер (недоумевая) - А чего ты кричишь то? Будешь увольняться, заберешь себе.
Действительно
Главное не пить, а то не получится
Читайте также: