Доказать что последовательность является ограниченной если xn sin p

Обновлено: 18.05.2024

Определение. Последовательность n> называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность (x_n) называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

Определение. Последовательность n>называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

Определение. Число а называется пределом последовательности n>, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность n> сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim n> = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность n>имеет два предела a и b, не равные друг другу.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если x_n ® a, то .

Доказательство. Из x_n ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если x_n ® a, то последовательность n> ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Монотонные последовательности

Определение:

1) Если x_n₊₁ > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_n₊₁ ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_n₊₁ < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4) Если x_n₊₁ £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример . n> = 1/n – убывающая и ограниченная

n> = n – возрастающая и неограниченная.

Пример . Доказать, что последовательность n> = монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности n₊₁> =

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n₊₁ > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример . Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность n> = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n₊₁ < x_n. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Эта последовательность ограничена сверху: x_n £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x_N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. n> - неубывающая последовательность, то при N > n а - e<x_N £ x_n,

Предел последовательности x_n=sin(n)

Предел с cos и sin
Это часть примера. Поясните пожалуйста кто знает, что мы здесь сделали? Как это получилось.

Предел последовательности и предел функции
Подскажите пожалуйста как найти эти пределы 1) а) \lim_1/n^2 + 2/n^2 + 3/n^2.

Вычислить предел последовательности, используя теорему о пределе монотонной последовательности
Вычислить предел последовательности, используя теорему о пределе монотонной последовательности.

Пусть предел равен p>0 (можно взять и p<0, это мало меняет доказательство). Выберем . Тогда нужно найти такой номер n>N, чтобы sinn был близок к -1, т.е. чтобы , тогда sinn выпадет за пределы , что и будет означать, что число p не является пределом такой последовательности.
Из равенства следует, что . Найдя k, ищем n:
Ошибка при нахождении n такого, чтобы , не превышает , что меньше четверти круга, т.е. sinn будет точно меньше 0, а значит, отклоняться от предполагаемого предела больше чем на
например, p=0,2, тогда выбираем (такое должно существовать) . Тогда для любого номера N, например для N=5, ищется сначала k= ,а затем такое, что . Действительно, правая часть равна 10,995574, а значит sin11 близок к -1, что вне интервала (0,2-0,1;0,2+0,1) Есть равносильное определению Коши - определение предела по Гейне. По этому определению для любых последовательностей для x_n стремящихся в бесконечность sin(x_n) должен стремиться к одному и тому же числу. Так вот это определение здесь не выполняется. По последовательности x_n=pin будет sin(x_n)=0, а например по последовательности x_n=pi/2+2pin будет sin(x_n)=1. То есть по разным последовательностям имеем разные числа в пределе. Таким образом, определение Гейне не может быть выполненным и предела не существует.

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Вычислить предел последовательности, используя теорему о пределе монотонной последовательности
Вычислить предел последовательности , используя теорему о пределе монотонной.

Предел последовательности
В определении сказано, что чиcло a называется пределом переменной величины x, если для каждого.

Предел последовательности
Здравствуйте, направьте на решение предела последовательности?

Последовательность

Последовательность
Нужно определить, является ли последовательность бесконечно большой, неограниченной, ограниченной.

Последовательность
Доказать что последовательность \sum_^\frac расходится при помощи критерия Коши.

последовательность и ее подпоследовательности
существует например последовательность xn=\lg x * sin(\pi *x/2) предел ее подпоследовательность.

ограниченная последовательность
может ли быть ограниченной последовательностью сумма двух неограниченных последовательностей?

1. Утверждение не верно. Например, последовательность a_n=n(1+(-1) n ) неограниченная, а подпоследовательность из элементов на нечётных местах очень даже сходится.

2. Неограниченная последовательность - это если выполняется одно из условий:
1)
или
2)
, ну, или
3) оба сразу.

Допустим что выполняется условие 1).
1. Выберем M₁=1 и для него найдём n₁ такое что x_n₁>M₁=1.
2. Следующее M₂ выбираем равное x_n₁+1. Тогда опять же найдется n₂ такое что x_n₂>M₂=2.
3. Следующее M₃ выбираем равное x_n₂+1. Тогда опять же найдется n₃ такое что x_n₃>M₃=3.
.
Таким образом, мы построили последовательность x_{n_k}, k=1, 2, 3. которая является подпоследовательностью x_n и является бесконечно большой, потому что она больше чем бесконечно большая последовательность 1, 2, 3.

Для 2) и 3) доказательство аналогичное.

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

функциональная последовательность
Найти все значения альфа , при которых функциональная последовательность _(x)= \frac

Рекуррентная последовательность
Последовательность задана рекуррентно: an+1 = 2an - n. При каких значениях a1 получится lim an = +.

Пределы и Последовательность
Здравствуйте, я списал с доски решение профессора, и не могу понять, что за трюк. У меня другой.

Доказать неограниченность последовательности

Нужно доказать,что последовательность неограниченна.
Доказываю по определению
Не знаю как поступить с логарифмом.Можно ли заменить его на что-нибудь по пороще?И если да,то на что?

Доказать неограниченность последовательности
Пожалуйста помогите разобраться с заданием по математическому анализу. 1. Доказать.

Доказать предел последовательности
Известно , что _ сходится к 0 , требуется доказать , что последовательность \sqrt<_> .

Доказать расходимость последовательности
Доброго времени суток. Как доказать расходимость последовательности? _=^ заранее.

Читайте также: