Чему равно sin alpha sin beta
Обновлено: 16.05.2024
Решение. Применяем основное тригонометрическое тождество в виде:
$ 5sin^5x+5cos^5x=5(sin^5x+cos^5x)=5 \cdot 1=5 $
Пример. Найти значение выражения:
Решение. Из основного тригонометрического тождества $ sin^x+cos^x=1 $ следует:
Подставим в выражение:
Тригонометрические формулы суммы и разности двух углов
| Формула | Название формулы |
| $ sin(\alpha+\beta)=sin \alpha \cdot cos \beta+cos \alpha \cdot sin \beta $ | Синус суммы |
| $ sin(\alpha-\beta)=sin \alpha \cdot cos \beta-cos \alpha \cdot sin \beta $ | Синус разности |
| $ cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cdot cos \beta-sin \alpha \cdot sin \beta $ | Косинус суммы |
| $ cos(\alpha-\beta)=cos \alpha \cdot cos \beta+sin \alpha \cdot sin \beta $ | Косинус разности |
| $ tg(\alpha+\beta)= \frac \\ \alpha, \; \beta, \; \alpha + \beta \neq \frac <\pi> + \pi n, \; n \in Z$ | Тангенс суммы |
| $ tg(\alpha-\beta)= \frac \\ \alpha, \; \beta, \; \alpha + \beta \neq \frac <\pi> + \pi n, \; n \in Z$ | Тангенс разности |
Пример. Вычислить $ \sqrt 2 (1 - \sqrt 3) sin 105^ $
Решение. $ sin 105^=sin(60^+45^)=sin 60 ^ \cdot cos 45 ^ + cos 60 ^ \cdot sin 45 ^ = \frac \cdot \frac +\frac \cdot \frac =\frac (1+\sqrt 3) $.
$ \sqrt 2(1-\sqrt 3) sin 105^=\sqrt 2(1-\sqrt 3)\frac (1+\sqrt 3)=\frac (1^- \sqrt 3^)=0,5 \cdot (-2)=-1 $
Пример. Вычислить $ \sqrt 2 (1- \sqrt 3) cos \frac $.
Решение. $ cos \frac =cos \big(\frac + \frac <\pi> \big)=cos \frac \cdot cos \frac <\pi> - sin \frac \cdot cos \frac <\pi> = - \frac \cdot \frac - \frac \cdot \frac = -\frac (1+\sqrt 3) $.
$ \sqrt 2(1-\sqrt 3) cos \frac = \sqrt 2(1-\sqrt 3)( -\frac (1+\sqrt 3)=- \frac (1^- \sqrt 3^ )=-0,5 \cdot (-2)=1 $
Тригонометрические формулы двойного угла
| Формула | Название формулы |
| $ sin2 \alpha=2sin\alpha \cdot cos \alpha $ | Синус двойного угла |
| $ cos2 \alpha = cos ^ \alpha - sin ^ \alpha \\ cos2 \alpha = 2cos^ \alpha - 1 \\ cos2 \alpha = 1 - 2sin^ \alpha $ | Косинус двойного угла |
| $ tg2 \alpha = \frac <1-tg^\alpha> \\ \alpha \neq \frac <\pi>+ \frac<\pi n>, \; n \in Z$ | Тангенс двойного угла |
Пример. Найдите 2cos2α, если sinα = - 0,7.
Решение. Используем формулу косинуса двойного угла: cos2α = 1 – 2sin²α.
Получаем: 2cos2α = 2·(1 – 2sin²α) = 2·(1-2·(-0,7) 2 ) = 2·(1-2·0,49) = 0,04.
Пример. Найдите значение выражения $ \frac \cdot cos 11^>
Решение. Применяем формулу sin2α = 2sinα·cosα:
Формулы понижения степени
| Формула | Название формулы |
| $ sin^ \alpha = \frac $ | ражение квадратного синуса через косинус двойного угла |
| $ cos^ \alpha = \frac $ | Выражение квадратного косинусачерез косинус двойного угла |
| $ tg^ \alpha = \frac \\ \alpha \neq \frac <\pi>+ \pi n, \; n \in Z$ | Выражение квадрата тангенсачерез косинус двойного угла |
Пример. Найти значение выражения $ 3sin^4x $, если $ cos8x=0,5 $
Решение. Используем формулу понижения степени:
Применительно к углам 4x и 8x она будет выглядеть так:
Находим значение выражения:
$ 3sin^4x= 3 \cdot \frac = 3 \cdot \frac = 3 \cdot \frac = \frac =0,75 $
Тригонометрические формулы произведения
| Формула | Название формулы |
| $ sin \alpha \cdot sin \beta = \frac (cos (\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)) $ | Произведение синусов |
| $ cos \alpha \cdot cos \beta = \frac (cos (\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)) $ | Произведение косинусов |
| $ sin \alpha \cdot cos \beta = \frac (sin (\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)) $ | Произведение синуса и косинуса |
Пример. Вычислить sin 20°·sin 40°, считать, что cos 20° = 0,9
Решение. Заметим, что
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Формулы приведения
Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения.
Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.
1. В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: $ \frac <\pi>, \pi, \frac <3\pi>, 2\pi $ и острого угла $ \alpha $, а в правой части аргумент $ \alpha $
2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».
Мнемоническое правило
Достаточно задать себе два вопроса:
1. Меняется ли функция на кофункцию?
Ответ: Если в формуле присутствуют углы $ \frac <\pi> $ или $ \frac <3\pi> $ — это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».
2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.
Например, sin $ ( \frac + \alpha ) $.
1) «Меняется функция или нет?»
$ \frac <3\pi> $ — угол вертикальной оси, киваем головой по вертикали: «Да, меняется». Значит, в правой части будет cosα.
Угол $ ( \frac + \alpha ) $ попадает в IV четверть. Синус в IV четверти имеет знак «минус». Значит, в правой части ставим знак «минус».
Итак, получили формулу, sin $ ( \frac + \alpha ) = –cosα. $
Пример. Найдите значение выражения $ \frac >> $
Решение. Используем формулу приведения:
Пример. Найдите значение выражения $ 5tg17^ · tg107^ $.
Решение. Используем формулу приведения:
Тригонометрический круг
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Он заменяет десяток таблиц.
Сколько полезного на этом рисунке!
1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2π радиан.
2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси x, а значение синуса — на оси y.
3. И синус, и косинус принимают значения от –1 до 1.
Тригонометрический круг:
1. Значение тангенса угла α тоже легко найти — поделив sinα на cosα. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
2. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
3. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
4. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2π.
Графики тригонометрических функций
На рисунках приведены графики тригонометрических функций: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.
Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций
Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций
Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:
В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.
Простейшие тригонометрические тождества
Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).
Формулы универсальной тригонометрической подстановки
Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .
Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.
sin(альфа + бета) + sin(альфа - бета)
2) Рассмотрим первый синус. sin(a + b). Перед нами тригонометрическая формула сложения. Используем ее. Получаем: sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa.
3) Рассмотрим второй синус. sin(a - b). Перед нами тригонометрическая формула сложения. Используем ее. Получаем: sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa.
4) Подставим, полученные в пунктах 2 и 3 выражения, в исходное. Получаем: sina cosb + sinb cosa + sina cosb - sinb cosa. Приведем подобные слагаемые: 2sina cosb.
Тригонометрические тождества преобразования половины угла
Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.
Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)
Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:
Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:
Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла
Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла
Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица
Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла
Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.
Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла
Формулы приведения тригонометрических функций
Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце - угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .
Тригонометрические формулы. Их вывод
Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:
\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin <|l|l|>\hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1& \mathrm\, \alpha \cdot \mathrm\, \alpha =1 \\ &(\sin\alpha\ne 0, \cos\alpha\ne 0)\\[0.5ex] \hline &\\ \mathrm\, \alpha=\dfrac &\mathrm\, \alpha =\dfrac \\&\\ 1+\mathrm^2\, \alpha =\dfrac1 & 1+\mathrm^2\, \alpha=\dfrac1\\&\\ (\cos\alpha\ne 0)& (\sin\alpha\ne 0) \\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Формулы сложения углов: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha & \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &\\ \hline &\\ \mathrm\, (\alpha\pm \beta)=\dfrac<\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta><1 \mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta> & \mathrm\, (\alpha\pm\beta)=-\dfrac<1\mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta><\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta>\\&\\ \cos\alpha\cos\beta\ne 0&\sin\alpha\sin\beta\ne 0\\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Формулы двойного и тройного углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline \sin =2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin && & \cos=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<2\mathrm\, \alpha><1-\mathrm^2\, \alpha> && & \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<\mathrm^2\, \alpha-1><2\mathrm\, \alpha>\\&&&\\ \cos\alpha\ne 0, \ \cos2\alpha\ne 0 &&& \sin\alpha\ne 0, \ \sin2\alpha\ne 0\\ \hline &&&\\ \sin =3\sin \alpha -4\sin^3\alpha && & \cos=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Формулы произведения функций: \[\begin <|c|>\hline \\ \sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigg(\cos-\cos\bigg)\\\\ \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\cos+\cos\bigg)\\\\ \sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\sin+\sin\bigg)\\\\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin=\dfrac<2\mathrm
\(\blacktriangleright\) Формула вспомогательного аргумента: \[\begin <|c|>\hline \text\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>4\right)>\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>6\right)>\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin<\left(x\pm \dfrac<\pi>3\right)>\\\\ \hline \text\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt\cdot \sin<(\alpha\pm \phi)>, \ \ \cos\phi=\dfrac a<\sqrt>, \ \sin\phi=\dfrac b<\sqrt>\\\\ \hline \end\]
Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.
Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.
\(\blacktriangleright\) Вывод формулы косинуса разности углов \(\cos<(\alpha -\beta)>=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)
Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы \(\alpha\) и \(\beta\) . Пусть этим углам соответствуют точки \(A\) и \(B\) соответственно. Тогда координаты этих точек: \(A(\cos\alpha;\sin\alpha), \ B(\cos\beta;\sin\beta)\) .
Рассмотрим \(\triangle AOB: \ \angle AOB=\alpha-\beta\) . По теореме косинусов:
\(AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cdot \cos(\alpha-\beta)=1+1-2\cos(\alpha-\beta) \ (1)\) (т.к. \(AO=BO=R\) – радиус окружности)
По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:
Таким образом, сравнивая равенства \((1)\) и \((2)\) :
Отсюда и получается наша формула.
\(\blacktriangleright\) Вывод остальных формул суммы/разности углов:
Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения \(\sin x=\cos(90^\circ-x)\) и \(\cos x=\sin (90^\circ-x)\) :
разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\)
(при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\mp \mathrm\,\beta\) , при \(\cos\beta=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\pm \mathrm\,\alpha\) ):
Таким образом, данная формула верна только при \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\) .
5) Аналогично, только делением на \(\sin\alpha\sin\beta\ne 0\) , выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.
\(\blacktriangleright\) Вывод формул двойного и тройного углов:
Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:
1) \(\sin 2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) , получим еще две формулы для косинуса двойного угла:
разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,2\alpha=0\) ):
Таким образом, эта формула верна только при \(\cos\alpha\ne 0\) , а также при \(\cos2\alpha\ne 0\) (чтобы существовал сам \(\mathrm\,2\alpha\) ).
По тем же причинам при \(\sin\alpha\ne 0, \sin2\alpha\ne 0\) .
5) \(\sin3\alpha=\sin(\alpha+2\alpha)=\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\cos\alpha\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=\)
6) Аналогично выводится, что \(\cos3\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)
\(\blacktriangleright\) Вывод формул понижения степени:
Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:
1) \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\dfrac2\)
2) \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha=\dfrac2\)
Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна \(2\) в левой части, а в правой части степень косинуса равна \(1\) .
\(\blacktriangleright\) Вывод формул произведения функций:
1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:
Получим: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\Big)\)
2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:
3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
\(\blacktriangleright\) Вывод формул суммы/разности функций:
Обозначим \(\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y\) . Тогда: \(\alpha=\dfrac2, \ \beta=\dfrac2\) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:
Получили формулу суммы косинусов.
Получили формулу разности косинусов.
Получили формулу суммы синусов.
4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:
Аналогично выводится формула суммы котангенсов.
\(\blacktriangleright\) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:
(разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0\) и \(\sin2\alpha=0\) ):)
2) Так же, только делением на \(\sin^2\alpha\) , выводится формула для косинуса.
\(\blacktriangleright\) Вывод формул вспомогательного угла:
Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.
Рассмотрим выражение \(a\sin x+b\cos x\) . Домножим и разделим это выражение на \(\sqrt\,\) :
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt\left(\dfrac a<\sqrt>\sin x+ \dfrac b<\sqrt>\cos x \right)=\sqrt\big(a_1\sin x+b_1\cos x\big)\)
Заметим, что таким образом мы добились того, что \(a_1^2+b_1^2=1\) , т.к. \(\left(\dfrac a>\right)^2+\left(\dfrac b>\right)^2=\dfrac=1\)
Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол \(\phi\) , для которого, например, \(\cos \phi=a_1, \ \sin \phi=b_1\) . Тогда наше выражение примет вид:
\(\sqrt\,\big(\cos \phi \sin x+\sin \phi\cos x\big)=\sqrt\,\sin (x+\phi)\) (по формуле синуса суммы двух углов)
\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:
\(a) \ \sin x\pm\cos x=\sqrt2\,\left(\dfrac1\sin x\pm\dfrac1\cos x\right)=\sqrt2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>4\right)\)
\(b) \ \sqrt3\sin x\pm\cos x=2\left(\dfrac2\sin x\pm \dfrac12\cos x\right)=2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>6\right)\)
\(c) \ \sin x\pm\sqrt3\cos x=2\left(\dfrac12\sin x\pm\dfrac2\cos x\right)=2\,\sin\left(x\pm\dfrac<\pi>3\right)\)
Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)
Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.
Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс - нечетные функции.
Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус "минус альфа" даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.
Чему равно sin alpha sin beta
Тригонометрические формулы сложения углов
cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:
Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой - сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель - единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.
Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель - единице плюс произведение тангенсов этих углов.
Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.
Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой - произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.
Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.
Формулы тройного угла - преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα
Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:
Читайте также: