Чему равно sin альфа cos альфа
Обновлено: 18.05.2024
Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:
\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin <|l|l|>\hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1& \mathrm\, \alpha \cdot \mathrm\, \alpha =1 \\ &(\sin\alpha\ne 0, \cos\alpha\ne 0)\\[0.5ex] \hline &\\ \mathrm\, \alpha=\dfrac &\mathrm\, \alpha =\dfrac \\&\\ 1+\mathrm^2\, \alpha =\dfrac1 & 1+\mathrm^2\, \alpha=\dfrac1\\&\\ (\cos\alpha\ne 0)& (\sin\alpha\ne 0) \\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Формулы сложения углов: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha & \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &\\ \hline &\\ \mathrm\, (\alpha\pm \beta)=\dfrac<\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta><1 \mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta> & \mathrm\, (\alpha\pm\beta)=-\dfrac<1\mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta><\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta>\\&\\ \cos\alpha\cos\beta\ne 0&\sin\alpha\sin\beta\ne 0\\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Формулы двойного и тройного углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline \sin =2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin && & \cos=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<2\mathrm\, \alpha><1-\mathrm^2\, \alpha> && & \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<\mathrm^2\, \alpha-1><2\mathrm\, \alpha>\\&&&\\ \cos\alpha\ne 0, \ \cos2\alpha\ne 0 &&& \sin\alpha\ne 0, \ \sin2\alpha\ne 0\\ \hline &&&\\ \sin =3\sin \alpha -4\sin^3\alpha && & \cos=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Формулы произведения функций: \[\begin <|c|>\hline \\ \sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigg(\cos-\cos\bigg)\\\\ \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\cos+\cos\bigg)\\\\ \sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\sin+\sin\bigg)\\\\ \hline \end\]
\(\blacktriangleright\) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin=\dfrac<2\mathrm
\(\blacktriangleright\) Формула вспомогательного аргумента: \[\begin <|c|>\hline \text\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>4\right)>\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>6\right)>\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin<\left(x\pm \dfrac<\pi>3\right)>\\\\ \hline \text\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt\cdot \sin<(\alpha\pm \phi)>, \ \ \cos\phi=\dfrac a<\sqrt>, \ \sin\phi=\dfrac b<\sqrt>\\\\ \hline \end\]
Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.
Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.
\(\blacktriangleright\) Вывод формулы косинуса разности углов \(\cos<(\alpha -\beta)>=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)
Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы \(\alpha\) и \(\beta\) . Пусть этим углам соответствуют точки \(A\) и \(B\) соответственно. Тогда координаты этих точек: \(A(\cos\alpha;\sin\alpha), \ B(\cos\beta;\sin\beta)\) .
Рассмотрим \(\triangle AOB: \ \angle AOB=\alpha-\beta\) . По теореме косинусов:
\(AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cdot \cos(\alpha-\beta)=1+1-2\cos(\alpha-\beta) \ (1)\) (т.к. \(AO=BO=R\) – радиус окружности)
По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:
Таким образом, сравнивая равенства \((1)\) и \((2)\) :
Отсюда и получается наша формула.
\(\blacktriangleright\) Вывод остальных формул суммы/разности углов:
Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения \(\sin x=\cos(90^\circ-x)\) и \(\cos x=\sin (90^\circ-x)\) :
разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\)
(при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\mp \mathrm\,\beta\) , при \(\cos\beta=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\pm \mathrm\,\alpha\) ):
Таким образом, данная формула верна только при \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\) .
5) Аналогично, только делением на \(\sin\alpha\sin\beta\ne 0\) , выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.
\(\blacktriangleright\) Вывод формул двойного и тройного углов:
Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:
1) \(\sin 2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) , получим еще две формулы для косинуса двойного угла:
разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,2\alpha=0\) ):
Таким образом, эта формула верна только при \(\cos\alpha\ne 0\) , а также при \(\cos2\alpha\ne 0\) (чтобы существовал сам \(\mathrm\,2\alpha\) ).
По тем же причинам при \(\sin\alpha\ne 0, \sin2\alpha\ne 0\) .
5) \(\sin3\alpha=\sin(\alpha+2\alpha)=\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\cos\alpha\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=\)
6) Аналогично выводится, что \(\cos3\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)
\(\blacktriangleright\) Вывод формул понижения степени:
Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:
1) \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\dfrac2\)
2) \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha=\dfrac2\)
Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна \(2\) в левой части, а в правой части степень косинуса равна \(1\) .
\(\blacktriangleright\) Вывод формул произведения функций:
1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:
Получим: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\Big)\)
2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:
3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
\(\blacktriangleright\) Вывод формул суммы/разности функций:
Обозначим \(\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y\) . Тогда: \(\alpha=\dfrac2, \ \beta=\dfrac2\) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:
Получили формулу суммы косинусов.
Получили формулу разности косинусов.
Получили формулу суммы синусов.
4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:
Аналогично выводится формула суммы котангенсов.
\(\blacktriangleright\) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:
(разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0\) и \(\sin2\alpha=0\) ):)
2) Так же, только делением на \(\sin^2\alpha\) , выводится формула для косинуса.
\(\blacktriangleright\) Вывод формул вспомогательного угла:
Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.
Рассмотрим выражение \(a\sin x+b\cos x\) . Домножим и разделим это выражение на \(\sqrt\,\) :
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt\left(\dfrac a<\sqrt>\sin x+ \dfrac b<\sqrt>\cos x \right)=\sqrt\big(a_1\sin x+b_1\cos x\big)\)
Заметим, что таким образом мы добились того, что \(a_1^2+b_1^2=1\) , т.к. \(\left(\dfrac a>\right)^2+\left(\dfrac b>\right)^2=\dfrac=1\)
Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол \(\phi\) , для которого, например, \(\cos \phi=a_1, \ \sin \phi=b_1\) . Тогда наше выражение примет вид:
\(\sqrt\,\big(\cos \phi \sin x+\sin \phi\cos x\big)=\sqrt\,\sin (x+\phi)\) (по формуле синуса суммы двух углов)
\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:
\(a) \ \sin x\pm\cos x=\sqrt2\,\left(\dfrac1\sin x\pm\dfrac1\cos x\right)=\sqrt2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>4\right)\)
\(b) \ \sqrt3\sin x\pm\cos x=2\left(\dfrac2\sin x\pm \dfrac12\cos x\right)=2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>6\right)\)
\(c) \ \sin x\pm\sqrt3\cos x=2\left(\dfrac12\sin x\pm\dfrac2\cos x\right)=2\,\sin\left(x\pm\dfrac<\pi>3\right)\)
Тригонометрические формулы
Представляем вашему вниманию различные формулы, связанные с тригонометрией.
Калькулятор и таблица для вычисления синуса и косинуса.
С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить синус и косинус с точностью от одного до шестнадцати знаков после запятой. Чтобы вычислить синус и косинус, просто введите ваши данные.
Так же можно воспользоватся таблицей Брадиса синуса(sin) и косинуса(cos) от 0° до 360°.
Калькулятор для вычисления синуса и косинуса
Цифр после запятой
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
-
Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:
-
Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:
Подставляем значения sin α:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
Формулы общего вида
— версия для печати Определения Синус угла α (обозн. sin(α)) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе. Косинус угла α (обозн. cos(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе. Тангенс угла α (обозн. tg(α)) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α). Котангенс угла α (обозн. ctg(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α). Другие тригонометрические функции: секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α). Примечание Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается. Подсказка Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов. Дополнение Таблица производных
| Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью. |
© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
- Тождество записывается в следующем виде:
tg α * ctg α = 1.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.Основное тригонометрическое тождество
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
- Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Синус острого угла прямоугольного треугольника.
Sin (α) острого угла прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета(BC) к гипотенузе(AВ).
Пимер:
α = 40°; BC = 4,5см; AB = 7см.
sin (40°) = 4,5 7 = 0,6428
Косинус острого угла прямоугольного треугольника.
Cos (α) острого угла прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего катета(AC) к гипотенузе(AB).
Пимер:
α = 40°; AC = 6,98см; AB = 9см.
cos (40°) = 6,98 9 = 0,776
Тангенс и котангенс через синус и косинус
- Синус угла — это ордината y.
- Косинус угла — это абсцисса x.
- Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
- Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
- Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю.
- В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 =
- Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
1 + ctg 2 α = . - Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
- А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 =
1 + ctg 2 α =
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Читайте также: