Чему равен sin 2x

Обновлено: 30.06.2024

Улыбнуло))) Желаю вам, чтобы это была самая большая проблема в вашей жизни)))) Обращайтесь, если что, всегда буду рад помочь в решении таких проблем.
sin2x = 2sinx *cosx
cos2x = cosx*cosx-sinx*sinx (не понял, как записать степень)
Надеюсь, помог)))

Мне повезло, у меня отличная учительница по математике. С любым вопросом можно подойти, все объяснит. Я долго путала эти формулы, но она подсказала, как избавиться от этого. Надо формулы выучить словами. То есть: синус двойного угла будет равен удвоенному произведению синуса угла альфа на косинус угла альфа. Аналогично с косинусом двойного угла.

Прямые тригонометрические функции.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Подставляем значения sin α:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Тригонометрия Примеры

Используем вид записи для поиска переменных, используемых для вычисления амплитуды, периода, сдвига по фазе и вертикального сдвига.

Модуль - это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .

Заменим величины и в уравнении для фазового сдвига.

Нанесите опорный угол, находя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

Применяем опорный угол, находя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Делаем выражение отрицательным, поскольку синус является отрицательным в четвертом квадранте.

Subtract full rotations of until the angle is greater than or equal to and less than .

Тригонометрическую функцию можно изобразить на графике, опираясь на амплитуду, период, фазовый сдвиг, вертикальный сдвиг и точки.

Производные тригонометрические функции.

Тригонометрические функции. Значение тригонометрических функций.

Тригонометрические функции - это периодические функции с периодами для sin, cos, sec и cosec, и для tg и ctg.

Зачастую тригонометрические функции обозначают отношением сторон прямоугольного треугольника либо длины конкретных отрезков в единичной окружности.

Другие тригонометрические функции.

В современном мире есть 6 базовых тригонометрических функций, которые ниже в таблице указаны вместе с уравнениями, которые связывают их.

Функция

Соотношение

Знаки тригонометрических функций .

Основное тригонометрическое тождество

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Тождество записывается в следующем виде:
tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Синус угла — это ордината y.
Косинус угла — это абсцисса x.
Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Значения тригонометрических функций.

Значения sin, cos, tg, ctg, sec и cosec для определенных углов указаны в таблице. («∞» обозначает, что функция в данной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

0°

30°

π/6

45°

π/4

60°

π/3

90°

π/2

180°

270°

3π/2

360°

2π

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю.
В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 =
Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
1 + ctg 2 α = .
Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Читайте также: