Чему равен неопределенный интеграл sin x

Обновлено: 02.07.2024

Подынтегральная функция представляет собой показательную функцию. В таблице интегрирования находит формулу: $$ \int x^p dx = \frac> $$

Ищем аналогию и делаем вывод о том, что к степени нужно прибавить единицу, а затем полученную функцию разделить на эту же степень.

Теперь вводим неопределенный интеграл в онлайн калькулятор и сравниваем ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Сначала решим сами, а затем в онлайн калькуляторе. Видим, что выражение под неопределенным интегралом представляет собой произведение двух простейших функций. Это значит можно применить формулу интегрирования по частям: $ \int udv = uv - \int vdu $

$$ \int x \sin x dx = \begin u = x & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end = $$

$$ = -x\cos x - \int -\cos x dx = -x\cos x + \sin x + C $$

Стоит заметить, что когда мы находили чему равно $ v $, то мы интегрировали функцию равенство $ dv = \sin x $, то есть $ v = \int \sin x dx = -\cos x $

Теперь вставляем в онлайн калькулятор неопределенный интеграл в формате: $ x*sin(x) $ и получаем ответ тот же, что и при ручном решении. Значит решение выполнено верно!

Найти неопределенный интеграл онлайн в калькуляторе не составляет никаких проблем. В ответе можно не сомневаться.

Таблица интегралов

Таблица интегралов представляет собой набор интегралов от различных функций, таких как:

Эти интегралы в основном от элементарных функций и эта таблица приведена ниже:

В этой таблице в первой колонке приведен интеграл и чему он равен
Во второй колонке таблицы находится описание этого интеграла в словах
В третье колонке приведены примеры, как же пользоваться калькулятором интегралов

Видео примеры по использованию таблицы

Неопределенные интегралы:
Определенные интегралы:

Решение неопределённых интегралов

После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.

Найдем решение неопределенного интеграла от функции f(x) (первообразную функции).

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция - экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x ctg(x) Функция - Котангенс от x arcctg(x) Функция - Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция - Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание 15/7 - дробь
Другие функции: asec(x) Функция - арксеканс от x acsc(x) Функция - арккосеканс от x sec(x) Функция - секанс от x csc(x) Функция - косеканс от x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция - гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция - гиперболический косеканс от x sech(x) Функция - гиперболический секанс от x acsch(x) Функция - гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число "Пи", которое примерно равно

3.14159.. e Число e - основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности - знак для бесконечности

Интеграл от синуса

Словами это читается так: интеграл от синуса равен сумме отрицательного косинуса и произвольной постоянной.

Напрямую интеграл взять не получится, так как аргумент синуса и знака дифференциала отличаются. Выполняем подведение под дифференциал $ 2x $ и добавляем перед интегралом дробь $ \frac $:

$$ \int \sin 2x dx = \frac \int \sin 2x d(2x) = -\frac \cos 2x + C $$

В данном случае необходимо воспользоваться одной из тригонометрических формул. Конкретно формулой понижения степени синуса: $$ \sin^2 x = \frac $$

Заменяем выражение под интегралом:

$$ \int \sin^2 x dx = \int \frac dx = \frac \int (1-\cos 2x) dx = $$

$$ = \frac \int 1dx - \frac \int \cos 2x dx = \fracx - \frac\cdot\frac\int \cos 2x d(2x) = $$

Здесь нужно вспомнить свойство степеней и учесть: $$ \sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x $$

Подставляем, полученное выражение в интеграл и заносим $ \sin x $ под знак дифференциала:

$$ \int \sin^3 x dx = \int \sin x \sin^2 x dx = - \int \sin^2 x d(\cos x) = $$

Далее используем свойство $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $:

$$ = -\int (1-\cos^2 x) d(\cos x) = -\int d(\cos x) + \int \cos^2 x d(\cos x) = $$

$$ = - \cos x + \frac + C = \frac \cos^3 x - \cos x + C $$

$$ \int \sin^3 x dx = \frac \cos^3 x - \cos x + C $$

Вычисление начнем как в случае с неопределенным интегралом и в конце используем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg |_a^b = F(b)-F(a) $:

$$ \int_0^\pi \sin x dx = -\cos x \bigg |_0^\pi = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 1+1=2 $$

Читайте также: