Подставляем точку $x=0$ в предел и получаем неопределенность.
Замечаем под пределом две функции, для которых можно использовать формулы эквивалентных бесконечно малых функций. Но перед этим проверим, что аргументы их стремятся к нулю.
$$ \sin 0^2 = \sin 0 = 0 $$ $$ \arcsin 0 = 0 $$
Значит для нашей задачи получаем следующие замены.
$$ \sin x^2 \sim x^2 $$ $$ \arcsin x \sim x $$
Подставим эквивалентности в предел, чтобы вычислить ответ.
Сокращаем знаменатель и подставляем в оставшееся выражение под числителем $x=0$.
$$ = \lim_\limits x^2 = 0^2 = 0 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
В пределе получаем неопределенность ноль делить на ноль $[\frac]$. Замечаем, что числитель похож на формулу из таблицы эквивалентности пределов. Подставим в него точку $x=0$.
$$ 1- \cos (4 \cdot 0) = 1-\cos 0 = 1 - 1 = 0 $$
Получили, что числитель равен нулю при $x=0$, а это значит допустима замена на бесконечно малую функцию.
Возвращаемся к пределу, подставляя в него полученное выражение для числителя.
Подставив $x=1$ получаем неопределенность $[ \frac ] $. Замечаем, что в числителе присутствует синус, который есть в таблице эквивалентностей. По необходимому условию аргумент синуса должен стремиться к нулю, чтобы применить формулу эквивалентности. Проверим это подставив $x=1$ в него.
$$ \sin (1-1) = \sin 0 = 0 $$
Проверка показала, что формулу можно применить, так как аргумент равен нулю.
Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя упрощаем его.
Как решать пределы с синусами и косинусами?
Чтобы решать пределы с синусами и косинусами необходимо уметь выполнять элементарные преобразования под первый замечательный предел, а также знать основные тригонометрические формулы. Так же применимо правило Лопиталя для вычисления с помощью производной. Рассмотрим примеры решений.
Воспользуемся формулой первого замечательного предела $$ \lim_ \frac = 1 $$ Подстраиваем дробь под знаком предела путем элементарных преобразований. Одновременно умножаем и делим на 7 числитель со знаменателем: $$ \lim_ \frac = $$
Выносим множители из числителя и знаменателя за знак предела $$ = \frac \lim_ \frac = $$ Переворачиваем подпредельную дробь под вид общей формулы первого замечательного предела $$ = \frac \lim_ \frac<\frac> = \frac \cdot 1 = \frac $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Используем тригонометрическую формулу разности косинусов: $$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac \sin \frac $$
Выполняем преобразование разности косинусов в произведение синусов $$ \cos 3x - \cos x = -2 \sin \frac \sin \frac = -2 \sin x \sin 2x $$ Записываем предел с новым числителем $$ \lim_ \frac = $$
Разбиваем предел на два, чтобы воспользоваться первым замечательным пределом: $$ = -2\lim_ \frac \cdot \lim_ \frac = $$ Первый предел равен единице, поэтому остаётся разобраться со вторым. Подгоним его под формулу замечательного предела путем домножения числителя и знаменателя на число равное аргументу синуса $$ = -2 \lim_ \frac = -4 \lim_ \frac = -4 $$
В данном случае целесообразно прибегнуть к таблице эквивалентных элементарных функций, а именно $$ 1- \cos x = \frac $$
Подставляем в предел и получаем $$ \lim_ \frac = \lim_ \frac $$ Осталось выполнить сокращение числителя на знаменатель, чтобы записать ответ $$ \lim_ \frac = \frac $$
Эквивалентность синуса
Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:
\[a = e \Rightarrow e^x - 1 \underset x\]
сделаем замену \(z = \log_a(1+x)\) и выразим \(x\) через \(z\) : \(x = a^z - 1\) . Из эквивалентности логарифма следует \[z \sim \frac<\ln a>\] при \(x \to 0\) , откуда \(x \sim z \ln a\) . Из непрерывности логарифма следует, что \(z \xrightarrow 0\) и, значит, \(a^z - 1 \sim z\ln a\) при \(z \to 0\) . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на
Бесконечно малые функции \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) называются эквивалентными или равносильными бесконечно малыми одного порядка при \(x \to a\) , если:
Обозначают:
\(\alpha(x) \sim \beta(x)\) при \(x \to a\) или просто \(\alpha(x) \underset \beta(x)\)
Читайте также:
