Вычислите производную сложной функции f x sin 1 2x
Обновлено: 05.07.2024
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.
Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> --> Введите выражение функции Найти производную функции f(x)
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу. Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.
Неопределенные и определенные интегралы
Калькулятор пошагово вычисляет \(\displaystyle \int
Основные табличные интегралы \(\displaystyle\int\;\mathrmx=\dfrac>+C,\;\left(n\neq-1\right)\) , \(\displaystyle\int\;\mathrmx=\dfrac<\ln\left(a\right)>+C\) \(\dots\)
Правило интегрирования суммы (разности) \(\displaystyle\int<\left(u\pm v\pm w\right)>\;\mathrmx=\int\;\mathrmx\pm\int\;\mathrmx\pm\int\;\mathrmx\)
Вынесение постоянной за знак интеграла \(\displaystyle\int
Интегрирование рациональных функций: тригонометрических \(\mathrm\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\) ; гиперболических \(\mathrm\left(\operatorname\left(x\right),\;\operatorname\left(x\right)\right)\) ; рациональных дробей \(\dfrac
Интегрирование по частям \(\displaystyle\int<\;\mathrm
Произведение степенных функций \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) и гиперболических \(\operatorname^n\left(x\right)\,\operatorname^m\left(x\right)\)
Степенные, логарифмические, тригонометрические и гиперболические преобразования
Подстановки, группировки с использованием упрощений
Для вычисления несобственных интегралов рассматриваются пределы на бесконечности, левосторонние и правосторонние пределы в точках разрыва функции на промежутке
Список задействованных математических функций:
\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\operatorname\) \(\sec\) \(\operatorname\) \(\left|f\right|\)
Сборник решенных неопределенных интегралов: Google Drive .pdf
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение \( x \), найти \( f(x) \)
2. Дать аргументу \( x \) приращение \( \Delta x \), перейти в новую точку \( x+ \Delta x \), найти \( f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \( \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \( \frac \)
5. Вычислить $$ \lim_ \frac $$
Этот предел и есть производная функции в точке \(x\).
Если функция \(y=f(x)\) имеет производную в точке \(x\), то ее называют дифференцируемой в точке \(x\). Процедуру нахождения производной функции \(y=f(x)\) называют дифференцированием функции \(y=f(x)\).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция \(y=f(x)\) дифференцируема в точке \(x\). Тогда к графику функции в точке \( M(x; \; f(x)) \) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен \( f'(x) \). Такой график не может «разрываться» в точке \(M\), т. е. функция обязана быть непрерывной в точке \(x\).
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция \(y=f(x)\) дифференцируема в точке \(x\), то выполняется приближенное равенство \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \( \Delta x \) устремить к нулю, то и \( \Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно. Например: функция \( y=|x|\) непрерывна везде, в частности в точке \(x=0\), но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция \( y=\sqrt[3] \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке \(x=0\). И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке \(x=0\). Но в этой точке касательная совпадает с осью \(y\), т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид \(x=0\). Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \( f'(0) \)
Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Производная функции от двух или трех переменных
Это он-лайн сервис в один шаг:
- Ввести функцию, для которой надо найти частные производные
Определение производной
Определение. Пусть функция \( y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \( x_0 \). Дадим аргументу приращение \( \Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \( \Delta y \) (при переходе от точки \( x_0 \) к точке \( x_0 + \Delta x \) ) и составим отношение \( \frac \). Если существует предел этого отношения при \( \Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) и обозначают \( f'(x_0) \).
Для обозначения производной часто используют символ \( y' \). Отметим, что \( y' = f(x) \) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией \( y = f(x) \), определенная во всех точках \(x\), в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции \( y = f(x) \).
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x=a \) можно провести касательную, непараллельную оси \(y\), то \( f(a) \) выражает угловой коэффициент касательной:
\( k = f'(a) \)
Поскольку \( k = tg(a) \), то верно равенство \( f'(a) = tg(a) \) .
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \( y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \( x \):
$$ \lim_ \frac = f'(x) $$
Это означает, что около точки \(x\) выполняется приближенное равенство \( \frac \approx f'(x) \), т.е. \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке \(x\).
Например, для функции \( y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \( \Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если \(C\) — постоянное число и \( f=f(x), \; g=g(x) \) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
Производная неявной функции
Введите функцию, заданную в неявном виде, вы получите соответствующую производную.
Почему решение на английском языке?
При решении этой задачи используется большой и дорогой модуль одного "забугорного" сервиса. Решение он выдает в виде изображения и только на английском языке. Изменить это, к сожалению, нельзя. Ничего лучше мы найти не смогли. Зато он выводит подробное и очень качественное решение в том виде в котором оно принято в высших учебных заведениях. Единственное неудобство - на английском языке, но это не большая цена за качество.
Некоторые пояснения по выводу решения.
| Вывод | Перевод, пояснение |
|---|---|
| derivative | производная |
| Find the derivative of . with respect to x via implicit differentiation. | Находим производную . по x с помощью неявного дифференцирования. |
| \(\large\frac\) или \(\large\fracu\) | Это производная функции \(u\) по переменной \(x\). В общеобразовательных школах чаще пишут "штрих": \(u'_x\) или просто \(u'\) |
| \(\large\frac\) или \(\large\frace^u\) | Это производная функции \(e^u\) по переменной \(u\). |
| Express \(x^x\) as a power of \(e\) | Представим \(x^x\) как степень \(e\) |
| Factor out constants | Выносим константы за знак дифференциала |
| Simplify . using the identity . | Упрощаем . используя равенство . |
| Using the chain rule | Используем правило дифференцирования сложной (дословно - "цепи") функции |
| Using the product rule | Используем правило дифференцирования произведения |
| Using the quotient rule | Используем правило дифференцирования частного (дроби) |
| Using the power rule | Используем правило дифференцирования степени |
| Differentiate the sum term by term | Дифференцируем сумму почленно |
| The derivative of x is 1 | Производная x это 1 |
| Simplify the expression | Упрощаем выражение |
| Answer | Ответ |
| \(log(x)\) | Натуральный логарифм, основание - число e. У нас пишут \(ln(x)\) |
| \(arccos(x)\) или \(cos^(x)\) | Арккосинус. У нас пишут \( arccos(x) \) |
| \(arcsin(x)\) или \(sin^(x)\) | Арксинус. У нас пишут \( arcsin(x) \) |
| \(tan(x)\) | Тангенс. У нас пишут \(tg(x) = \frac\) |
| \(arctan(x)\) или \(tan^(x)\) | Арктангенс. У нас пишут \(arctg(x)\) |
| \(cot(x)\) | Котангенс. У нас пишут \(ctg(x) = \frac\) |
| \(arccot(x)\) или \(cot^(x)\) | Арккотангенс. У нас пишут \(arcctg(x)\) |
| \(sec(x)\) | Секанс. У нас пишут также \(sec(x) = \frac\) |
| \(csc(x)\) | Косеканс. У нас пишут \(cosec(x) = \frac\) |
| \(cosh(x)\) | Гиперболический косинус. У нас пишут \(ch(x) = \frac> \) |
| \(sinh(x)\) | Гиперболический синус. У нас пишут \(sh(x) = \frac> \) |
| \(tanh(x)\) | Гиперболический тангенс. У нас пишут \(th(x) = \frac>> \) |
| \(coth(x)\) | Гиперболический котангенс. У нас пишут \(cth(x) = \frac \) |
Если вам что-то осталось не понятно обязательно напишите об этом в Обратной связи и мы дополним эту таблицу.
Производная параметрической функции
Это он-лайн сервис в три шага:
- Ввести функцию x = x(t)
- Ввести функцию y = y(t)
Таблица производных
Вы также можете воспользоваться таблицей производных, чтобы самостоятельно вычислить любую производную, перейти:
Производная сложной функции
Производную сложной функции онлайн вы сможете вычислить с помощью калькулятора производных здесь.
Калькулятор решает \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^<\left(n\right)>\right)=0\) — обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) разных порядков, а именно:
Уравнения с разделяющимися переменными: \(p\left(x\right)\mathrmx=q\left(y\right)\mathrmy\)
Однородные уравнения: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)
Приведение к однородному подстановкой \(y=z^<\lambda>\)
Линейные уравнения первого порядка: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)
Дифференциальное уравнение Бернулли: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)
Дифференциальное уравнение Риккати: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)
Уравнение в полных дифференциалах: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrmx+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrmy=0\)
Поиск интегрирующего множителя: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrmx+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrmy=0\) — где \(\mu=\mu\left(x\right)\) , \(\mu=\mu\left(y\right)\) или \(\mu=\mu\left(z\left(x,\,y\right)\right)\)
Группировка полных дифференциалов и внесение под дифференциал \(\mathrm\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\) , \(\mathrm\left(F\left(x,\,y,\,y',\dots\right)\right)=0\)
Уравнения не разрешенные относительно производной: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\) — метод введения параметра \(p\,\) ; вычисление полного дифференциала; замена \(\mathrmy=p\,\mathrmx\) ; разрешение относительно \(y'\)
Уравнения, допускающие понижение порядка — замена \(y^<\left(k\right)>=z\) для уравнений вида \(F\left(x,\,y^<\left(k\right)>,\,y^<\left(k+1\right)>,\dots,y^<\left(n\right)>\right)=0\) ; подстановка \(y'=p\left(y\right)\) для \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^<\left(n\right)>\right)=0\) ; однородное уравнение относительно y и его производных \(y',\,y'',\dots,y^<\left(n\right)>\) ; однородное относительно \(x\) и \(y\) в обобщенном смысле
Однородные и неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами: \(y^<\left(n\right)>+a_\,y^<\left(n-1\right)>+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\) — со специальной правой частью; метод вариации постоянных
Различные замены из контекста уравнения
Для уравнений первого порядка используется метод Бернулли или вариации произвольной постоянной Лагранжа
Тригонометрические и гиперболические преобразования
Проверка на потерю частных решений
Во время вычислений калькулятор самостоятельно производит группировку, подстановки или домножение уравнения, выбирая в процессе более подходящий метод решения
Матричные вычисления
Калькулятор ориентирован на пошаговое выполнение операций с матрицами \(\mathrm\), \(\mathrm\) и \(\mathrm\)
Умножение матрицы на константу (любую функцию) \(a\cdot\mathrm\) или сложение с константой \(c+\mathrm\)
Калькулятор обрабатывает как числовые значения, так и комбинации из арифметических операций и функций
Если в ходе решения матрица, либо пара матриц не удовлетворяют условию выполнения текущей операции — отображаются все вычисленные ранее шаги и наглядно указывается несоответствие
При наведении на вычисленные элементы — подсвечиваются все значения, используемые в вычислении. Например, при умножении матриц можно увидеть какие элементы строки и столбца задействованы в расчете
Все не матричные операции проводятся в обычном порядке по ходу вычислений
Знаки операций:
+ - сложение,
- - вычитание,
* - умножение,
/ - деление,
^ - возведение в степень.
Знак умножения нужно вводить только между числами, во всех остальных случаях его можно не вводить.
Список функций:
| Функция | Описание | Пример ввода | Результат ввода |
|---|---|---|---|
| pi | Число \(\pi\) | pi | $$ \pi $$ |
| e | Число \(e\) | e | $$ e $$ |
| e^x | Степень числа \(e\) | e^(2x) | $$ e^ $$ |
| exp(x) | Степень числа \(e\) | exp(1/3) | $$ \sqrt[3] $$ |
| |x| abs(x) | Модуль (абсолютное значение) числа \(x\) | |x-1| abs(cos(x)) | \( |x-1| \) \( |\cos(x)| \) |
| sin(x) | Синус | sin(x-1) | $$ sin(x-1) $$ |
| cos(x) | Косинус | 1/(cos(x))^2 | $$ \frac $$ |
| tg(x) | Тангенс | x*tg(x) | $$ x \cdot tg(x) $$ |
| ctg(x) | Котангенс | 3ctg(1/x) | $$ 3 ctg \left( \frac \right) $$ |
| arcsin(x) | Арксинус | arcsin(x) | $$ arcsin(x) $$ |
| arccos(x) | Арккосинус | arccos(x) | $$ arccos(x) $$ |
| arctg(x) | Арктангенс | arctg(x) | $$ arctg(x) $$ |
| arcctg(x) | Арккотангенс | arcctg(x) | $$ arcctg(x) $$ |
| sqrt(x) | Квадратный корень | sqrt(1/x) | $$ \sqrt<\frac> $$ |
| root(n,x) | Корень степени n root(2,x) эквивалентно sqrt(x) | root(4,exp(x)) | $$ \sqrt[4] < e^> $$ |
| x^(1/n) | Корень степени n x^(1/2) эквивалентно sqrt(x) | (cos(x))^(1/3) | $$ \sqrt[\Large 3 \normalsize] $$ |
| ln(x) log(x) log(e,x) | Натуральный логарифм (основание - число e ) | 1/ln(3-x) | $$ \frac $$ |
| log(10,x) | Десятичный логарифм числа x | log(10,x^2+x) | $$ log_(x^2+x) $$ |
| log(a,x) | Логарифм x по основанию a | log(3,cos(x)) | $$ log_3(cos(x)) $$ |
| sh(x) | Гиперболический синус | sh(x-1) | $$ sh(x-1) $$ |
| ch(x) | Гиперболический косинус | ch(x) | $$ ch(x) $$ |
| th(x) | Гиперболический тангенс | th(x) | $$ th(x) $$ |
| cth(x) | Гиперболический котангенс | cth(x) | $$ cth(x) $$ |
Производная функции
После ввода функции \(f\left(x\right)\) или \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) — где \(y=y\left(x\right)\) , \(z=z\left(x\right)\) калькулятор отобразит её производную, вместе с используемыми правилами на конкретных шагах
Определены следующие правила:
Табличные функции \(\sin\left(x\right)\) , \(\cos\left(x\right)\)\(\,\ldots\) , сложение \(u+v\) , вычитание \(u-v\) , умножение \(u\,v\) , деление \(\dfrac\) , различные сложные функции \(e^<\cos\left(x\right)>\) , степенные функции \(x^a\) , \(a^x\) , модуль \(\left|f\right|\) и знаковая функция \(\operatorname\left(f\right)\)
Читайте также: